PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU
BÁO CÁO ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG
Chủ nhiệm đề tài: Huỳnh Thanh Toàn

TP Hồ Chí Minh - 2017

.

1 / 24


Tổng quan đề tài

Khái niệm bình phương cực tiểu bắt nguồn từ công trình tiên phong
của Gauss và Legendre trong khoảng đầu thế kỷ 19. Bình phương cực
tiểu được sử dụng nhiều trong thống kê hiện đại và mô hình toán
học.
Các bài toán có nhu cầu sử dụng phương pháp bình phương cực tiểu:
giải hệ phương trình, tìm đường cong phù hợp nhất ứng với dải dữ liệu
cho trước (curve fitting), tìm phương trình hồi quy trong thống kê ...

2 / 24


Tổng quan đề tài
Bài toán giải hệ phương trình tuyến tính Ax = b với A ∈ Rm×n ,
b ∈ Rm , x ∈ Rn . Trường hợp Ax = b vô nghiệm
+ Phương pháp khử Gauss không đưa ra nghiệm chính xác.
+ Phương pháp thay thế: tìm x¯ ∈ Rn sao cho x¯ là gần nhất để trở
thành nghiệm theo nghĩa khoảng cách Euclide, tức là A¯
x − b 2 nhỏ

phương cực tiểu là tìm các tham số xj sao χ2 là bé nhất.
Bài toán tìm phương trình hồi quy trong thống kê

4 / 24


Tổng quan đề tài
Bài toán tìm đường cong khớp nhất với dữ liệu cho trước.
Giả sử với dữ liệu (ti , yi )i=1..m , ta cần tìm đường cong g (xj , t)j=1..n
sao cho g (ti ) ≈ yi . Đặt χ2 =

m

[yi − g (xj , ti )]2 , phương pháp bình

i=1

phương cực tiểu là tìm các tham số xj sao χ2 là bé nhất.
Bài toán tìm phương trình hồi quy trong thống kê

4 / 24


Các định nghĩa và định lý

Giả sử A ∈ Rm×n , b ∈ Rm , x ∈ Rn
Định nghĩa 1. (Hệ không nhất quán (inconsistent))
Hệ Ax = b không có nghiệm gọi là hệ không nhất quán.
Định nghĩa 2. (Nghiệm bình phương cực tiểu (least squares
solution))

địa phương của F (x) nếu F (x ∗ ) F (x), ∀x thỏa x − x ∗ < δ.

6 / 24


Các định nghĩa và định lý

Định nghĩa 5. (Điểm dừng (stationary point))
Điểm xs gọi là điểm dừng của F (x) nếu F (xs ) = 0.
Định nghĩa 6. (Ma trận xác định dương (positive definite matrix))
Ma trận đối xứng M ∈ Rn×n gọi là
+ Xác định dương nếu x T Mx > 0, ∀x ∈ Rn , x = 0.
+ Nửa xác định dương (positive semidefinite) nếu x T Mx
∀x ∈ Rn , x = 0.

0,

7 / 24


Các định nghĩa và định lý
Định nghĩa 7. Gradient của F là

∂F1
(x)

 ∂x1





Nghiệm bình phương cực tiểu của hệ không nhất quán
Xét hệ phương trình không nhất quán Ax = b
Định lý 3. (Nghiệm bình phương cực tiểu)
Đặt S = {x ∈ Rn , b − Ax
x ∈ S ⇔ AT rx = 0

2

→ min} và rx = b − Ax. Khi đó

Chứng minh
(i) AT rx = 0 ⇒ x ∈ S
(ii) x ∈ S ⇒ AT rx = 0
Kết quả từ định lý 3: nghiệm bình phương cực tiểu của Ax = b là
nghiệm x¯ thỏa AT rx¯ = 0. Khi đó
AT rx¯ = 0 ⇔ AT (A¯
x − b) = 0 ⇔ AT A¯
x = AT b
9 / 24


Phương pháp đạo hàm cho bài toán bình phương cực tiểu
1. Xấp xỉ bởi hàm tuyến tính
Giả sử g (xj , t) = α + βt là hàm cần tìm, trong đó (x1 , x2 ) = (α, β).
m

Đặt G (x) =

[α + βti − yi ]2 . Khi đó (α, β) được tìm từ hệ


∂β

i=1

m

m

ti

β=

i=1

yi
i=1

m

m

ti2

α+
i=1

β=

yi ti

t
β
+
t
γ
=
yi
i

i
∂G




=
0


i=1
i=1
i=1


∂α




m

m




=0

2
3
4

∂γ

t
α
+
t
β
+
t
γ
=
yi ti2
i
i
i

i=1

i=1

[fi (x)]2 =
i=1

1
f (x)
2

2

1
= f T (x)f (x)
2

Thuật toán Gauss-Newton tìm nghiệm bình phương cực tiểu
(i) Tính ma trận Jacobian J(x) của f và tìm hgn từ hệ phương trình
tuyến tính
J T Jhgn = −J T f
(ii) Bước lặp x = x + hgn .

13 / 24


Các bài toán áp dụng
Bài toán 1. Tìm hàm tuyến tính và hàm bậc hai khớp nhất với các dữ
liệu về độ lệch nhiệt độ trung bình toàn cầu từ năm 1991-2000 được cho
như bảng sau (xem [4])

14 / 24




18 / 24


Các bài toán áp dụng
Dùng phương pháp giải hệ Ax = b với mô hình
+ Mô hình 1: g1 (xj , t) = αe βt . Kết quả thu được g1 (t) = 2.0907e 2.0553t
+ Mô hình 2: g2 (xj , t) = αt β . Kết quả thu được g2 (t) = 16.3044t 2.4199

19 / 24


Các bài toán áp dụng

Bài toán 4. Tìm đường cong khớp nhất với dải dữ liệu mô tả số lượng ô
tô hoạt động trên thế giới từ năm 1950 đến 1980 (xem [3])

20 / 24


Các bài toán áp dụng

Dùng phương pháp Gauss-Newton sau 5 bước lặp với điều kiện ban đầu
(x1 , x2 ) = (50, 0.1) và mô hình g (xj , t) = x1 e x2 t

21 / 24


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] ˚


2

1
= f T (x)f (x)
2

(1)

Ta có
Ma trận Jacobian của f : J(x) =

∂fi
∂xj (x) ij

Gradient của f : F (x) = J T (x)f (x)
Khai triển Taylor của f :
f (x + h) = f (x) + J(x)h + O( h 2 )

(2)

23 / 24