UBND T NH QU NG NGÃI

TR

NG

I H C PH M V N

NG

------------

BÀI GI NG

TOÁN CAO C P B1

NG

I BIÊN SO N: NGUY N VI T TRÍ
Đ N V : KHOA C

B N

Qu ngNgãi, tháng 04 - 2014


GI I THI U MÔN H C
Toán cao c p B1 là ch ng trình toán dành cho sinh viên kh i ngành k
thu t. N i dung c a toán cao c p B1 g m nh ng ki n th c c b n v dãy s , hàm
s , gi i h n và liên t c, đ o hàm và vi phân, nguyên hàm và tích phân c a hàm m t
bi n s . Các khái ni m c b n c a hàm s nhi u bi n s th c. Ph ng trình vi phân,

Sinh viên n m v ng các khái ni m dãy hàm s , đ nh ngh a và các d u hi u v
s h i t , h i t đ u c a dãy hàm s , chu i hàm s . nh ngh a, cách khai tri n và
ng d ng c a chu i l y th a, Chu i l ng giác.
Trong m i ch ng sau vi c trình bày lý thuy t đ u có nêu lên các thí d đ
minh ho tr c ti p khái ni m, đ nh lý ho c thu t toán đ giúp sinh viên d dàng
trong ti p thu bài h c, c ng nh t h c. Cu i ch ng có các câu h i và bài t p

2


luy n t p, giúp sinh viên n m ch c h n lý thuy t và ki m tra m c đ ti p thu bài
h c. Sinh viên c n tr l i các câu h i và làm đ y đ bài t p sau m i ch ng.
h c t t h c ph n này, sinh viên c n chú ý nh ng v n đ sau:
+ Thu th p đ y đ các tài li u tham kh o.
[1] Tr n Ng c H i- Nguy n Chính Th ng- Nguy n Vi t ông (2005), Giáo trình
toán cao c p B và C, Tr ng H Qu c gia Tp HCM.
[2] Nguy n Công Khanh (2003), Toán cao c p 1 , HQG Tp HCM.
[3] Thái Xuân Tiên (2005), Giáo trình toán cao c p, Tr ng H à N ng.
[4] Nguy n ình Trí và nhi u tác gi khác (2003), Bài t p toán cao c p t p II ,
NXBGD.
[5] Nguy n V n Khuê (1998), Bài t p, Toán cao c p, NXN khoa h c và k thu t
[6] Nguy n M nh Quý (2007), Giáo trình ph ng trình vi phân, NXB HSP.
[7] Lê V n H t (2005), H ng d n gi i bài t p toán cao c p, H Kinh t Tp HCM
[8] anKô- A.G. PoPôp- T.IA.CogiepNhiCôVa (1996), bài t p toán cao c p
(Sách dùng cho các tr ng i h c k thu t), NXB Giáo d c.
+ N m v ng l ch trình gi ng d y, nghiên c u n m nh ng ki n th c c t lõi c a bài
gi ng tr c khi lên l p h c.
+ Khi k t thúc m i ch ng sinh viên ph i hoàn thành các bài t p do gi ng viên yêu
c u c a ch ng đó vào tu n ti p theo, cu i m i ph n l n có các bài t p t ng h p.



2n
n 1

1.1.2 Các dãy s đ c bi t
1.1.2.1 Dãy s đ n đi u
nh ngh a 1.1.2 Dãy a n  đ

c g i là:

- Dãy s t ng (ho c t ng nghiêm ng t) n u an 1  an .(ho c an 1  an ) ;   N *
- Dãy s gi m ( ho c gi m nghiêm ng t) n u an 1  an .(ho c an1  an ) ; n  N *
- Dãy s có t t c các ph n t đ u b ng nhau đ c g i là dãy d ng
- Dãy s t ng ho c gi m g i chung là dãy s đ n đi u
Thí d 1.1.2 Dãy an    21


; n  N *  là dãy gi m nghiêm ng t
n 1


Dãy an  v i an   1  1   1  1  ...  1  1n  là dãy t ng nghiêm ng t
2
4
2
Dãy an   (1)



n 1

iđ

c g i là dãy s

b ch n

( t c là  k  R: k  0 sao cho an  k v i n  N )
*

Thí d 1.1.3 Dãy an    22

n 1

ch n trên b i 1, b ch n d


; n  N *  là dãy s gi m nghiêm ng t và b ch n (b


i b i 0).

4


1.1.3 Dãy con

an   a1 , a2 , ..., an ,...(1) ta trích ra m t dãy

nh ngh a 1.1.4 T dãy s



ng đ

c dùng trong tin h c:

- Dãy s theo th t t ng (ho c gi m) d n: Trong tin h c th ng yêu c u nh p vào
m t dãy s và s p x p dãy s y theo th th t ng d n ho c gi m d n, ch ng h n bài
toán tuy n sinh sau khi có dãy các t ng đi m, đ xác đ nh đi m chu n và danh sách
trúng tuy n c n s p x p t ng đi m theo th t gi m d n.
- Các dãy s đ c cho b i công th c truy h i (Ch ng h n dãy s bi u th bài toán
tháp Hà N i, Dãy s Fibonaci, …)
1.1.5 Gi i h n c a dãy s
1.1.5.1

nh ngh a 1.1.5 Ta nói r ng dãy s th c an  có gi i h n l  R khi

n   và vi t

lim an  l hay an  l khi n   n u   0 bé tu ý cho tr
n 

t n t i s nguyên d

ng

N ( )

c,

sao cho n  N * : n  N ( )  an  l  



n

n

1
1
1
   n  . Do đó ch n N ( )    (V i  x  là ph n nguyên c a s th c x)
n

 

1.1.5.2 Các d u hi u h i t
nh lý 1.1.1 N u 3 dãy s th c an  , bn  , cn  th a mãn
bn  a n  cn ;  n  N * : n  n 0 và lim bn  lim cn  l thì a n  c ng h i t và lim an  l .
n 

n 

5

n 


1
1 
 1



n 

2

n
n n
2

; cn 

n
n2 1

n 

nh lý 1.1.2 M i dãy đ n đi u và b ch n đ u h i t
- Dãy s đ n đi u t ng và b ch n trên thì dãy h i t
- Dãy s đ n đi u gi m và b ch n d i thì dãy h i t
Thí d 1.1.7 Ch ng minh s h i t c a dãy s an  v i
1  
1 
 1 
an   1    1  2  ...  1  n 
 2  2   2 

Gi i: Ta có a n 1   1  1n 1   1  a n 1  a n ;  n  a n  là dãy s t ng (1)
2
a
n

nh lý 1.1.3 N u a n  và bn  h i t thì an  bn  , an .bn  ,  n  c ng h i t
 bn 
lim(an  bn )  lim an  lim bn
n 

n 

và

n 

lim( an .bn )  lim an .lim bn
n 

n 

n 

an
an lim
 n
, v i lim bn  0
n  b
n
lim bn
n

lim

n 

3. lim n n  1
n 

b. S e
Ta ch ng minh đ

c dãy s a n  v i s h ng t ng quát
 1
an  1  
 n

n

t ng và b ch n trên nên h i t
n

 1
nh ngh a 1.1.6 lim  1    e
n
 n

S e là m t s vô t , có giá tri e = 2,718 281 828 459 045... S e đóng vai trò quan
tr ng trong k thu t. Lôgarit c s e g i là lôgarit Neper hay lôgarit t nhiên;
Lôgarit Neper c a x ký hi u là lnx.
1.2 Hàm s
1.2.1

nh ngh a

nh ngh a 1.2.1 Cho t p X  R


4  x 2  0  2  x  2



cos x neáu x   2





y
2)
có t p xác đ nh là R
5 x  3 neáu 
g
Thí d 1.2.3 Hàm s y = cosx + sinx là t ng c a hàm s f(x) = cosx và hàm s
g(x) = sinx.
1.2.3.2 Hàm s h p
nh ngh a 1.2.3 Cho hàm s y = f(x) xác đ nh trên t p X, nh n giá tr trên t p Y và
hàm z = g(x) xác đ nh trên t p Y. Khi đó z c ng là hàm c a x xác đ nh trên t p X

8


z  g  f ( x) .

z đ

c g i là hàm s h p c a hai hàm s f và g. Ký hi u: g f
V y z ( x)   g 0 f  ( x )  g  f ( x )  .

Thí d 1.2.4 Cho hai hàm s

f ( x )  2 x và g ( x ) 



 g f  ( x)  g  f  x   g  2x  



 f g  ( x) 

f  g  x    f

phân giác th nh t.

ng vi t l i hàm s ng
1

( y) .

c c a hàm s

th hai hàm s ng

Thí d 1.2.5 Hàm s y = 3x có hàm s ng

1
y  f (x) là y  f (x)

c nhau đ i x ng nhau qua đ

c là y 

ng

x
3

1.3 Các hàm s đ c bi t
1.3.1 Hàm s đ n đi u
nh ngh a 1.3.1 Hàm s y  f ( x) đ
-


1.3.3 Hàm s ch n l
1.3.3.1

nh ngh a 1.3.3 Cho hàm s

y  f ( x) xác đ nh trên t p đ i x ng D.

Hàm s y  f ( x) đ c g i là hàm s ch n (ho c hàm s l ) trên t p D n u
 x  D luôn có:  x  D và f (  x)  f ( x) f (  x)  f ( x) (ho c f (  x)   f ( x) ).
1.3.3 Hàm s
f ( x)  f ( x) .

Thí d

y  x 2 là hàm s

ch n trên R. vì x  R   x  R và

Hàm s y  x 3 là hàm s l trên R vì x  R   x  R và f ( x)   x3   f ( x) .
1.3.3.2 Tính ch t
th c a hàm s ch n nh n tr c tung làm tr c đ i x ng.
th c a hàm s l nh n g c t a đ làm tâm đ i x ng.
1.3.4 Hàm s tu n hoàn
1.3.4.1 nh ngh a 1.3.4 Cho hàm s y  f ( x) xác đ nh trên t p D.
Hàm s y  f ( x) đ c g i là hàm s tu n hoàn trên D  [x  D,
L  R : L  0  x  L  D sao cho f ( x  L)  f ( x) ]

1.3.4.2 Chu k c a hàm tu n hoàn
nh ngh a 1.3.5 Gi s y  f ( x) là hàm s tu n hoàn trên t p D. N u t n t i s
d ng T nh nh t sao cho: f ( x  kT )  f ( x); x  D; k  Z thì T đ c g i là chu


arc sinx = y  
   
y 2 , 2 




ng

   
Hàm s y = arc sinx có t p xác đ nh là [-1,1] và có mi n giá tr là  , 
 2 2
1.4.1.2 Hàm s y = arc cosx
cosy  x
arc cosx = y  
 y  0,  
Hàm s y = arccosx có t p xác đ nh là [-1,1] và có mi n giá tr là  0,  
c c a hàm s y= tan x
  
arc tanx=y  x = tan y v i y    ;  .
 2 2
Hàm s y = arc tanx có t p xác đ nh là (   ,   ) và có mi n giá tr là

1.4.1.3 Hàm s

y =arctanx là hàm s ng

  
 ; 


c g i là gi i h n c a hàm s

f ( x) khi x d n v x0 n u    0 cho tr

c bé

tùy ý,    ( )  0 sao cho x  U ( x0 ) : 0  x  x0    f ( x)  L   .
Ký hi u: lim f ( x)  L hay f ( x)  L khi x  x 0 .
x  x0

Thí d 1.5.2 Dùng đ nh ngh a ch ng minh lim(4 x  1)  9 .
x2

Gi i: Xét

 4 x  1  9

 4 x2   x2 



. Khi đó:   0 ta ch n   sao
4
4

cho  x  U  (2) : 0  x  2     4 x  1  9  4 x  2    lim(4 x  1)  9
x2

nh ngh a 1.5.3 (Theo ngôn ng dãy s ).



Gi i: Th t v y l y 2 dãy  xn  ,  xn/  v i xn 

1
; xn/ 
2 n

1

khi y xn  0;

2
ng ng c a hàm là dãy f ( xn )  0  0; f ( xn/ )  1  1

x n/  0 nh ng dãy giá tr t

2n 

V y khi x  0 thì f(x) không có gi i h n
1.5.1.3 Gi i h n m t phía
nh ngh a 1.5.4 Cho hàm s y  f ( x) xác đ nh trong lân c n trái c a x0 (có th tr
x0 ). S L đ

c g i là gi i h n trái c a hàm s

  0 cho tr

f ( x ) khi x d n v x0 t bên trái n u


x  x0

x  x0

1 khi x  0

Thí d 1.5.3 f ( x)  0 khi x  0  lim f ( x)  1; lim f ( x)  1
x 0
1 khi x  0 x0


V y f(x) không có gi i h n khi x  0
1.5.2 Gi i h n

vô t n và gi i h n vô t n:

1.5.2.1 Gi i h n vô t n
nh ngh a 1.5.5 Cho hàm s y  f ( x) xác đ nh t i m i x có x khá l n.
Hàm f(x) đ

c g i là có gi i h n L khi x   , n u    0 cho tr c bé
tu ý, luôn luôn t n t i s M  0 l n tùy ý sao cho khi x  M thì f ( x)  L   . Ký
hi u: lim f ( x )  L
x 

Hàm f(x) đ

.
c g i là có gi i h n L khi


c nh

1
1
1
 0 l n tùy ý, sao cho x  M   0   . V y lim  0 .
x  x
x


1.5.2.2 Gi i h n vô t n
nh ngh a 1.5.6 Cho hàm s

y  f ( x) xác đ nh trong lân c n U ( x0 ) , ( có th tr

t i đi m x0 ). Hàm s

c g i có gi i h n là  khi x  x 0 , n u v i m i s

f ( x) đ

A  0 l n bao nhiêu tu

Ký hi u: lim f ( x)  

0  x  x 0   thì f ( x)  A .

Hàm s

f ( x) đ

0 x 

A  0 cho tr

1
1
hay
 A  0  0  x2 
2
A
x

1 . Do đó ch c n ch n
1
 
A
A

1.5.3 M t s tính ch t c a hàm s có gi i h n
nh lý 1.5.2
1. Gi i h n c a m t hàm s (n u có) là duy nh t
2. N u f ( x)  C (h ng s ) thì lim f ( x)  C .
x  x0

3. N u f ( x)  g ( x) trong lân c n nào đó c a x0 và khi x  x0 các hàm f(x), g(x)
h i t thì lim f ( x)  lim g ( x )
x  x0

4.



x  x0

f ( x)  g ( x) .

6. N u lim f ( x )  L thì lim f ( x )  lim f ( x )  L .
x x
x x
x x
0

0

0

1.5.4 Các phép toán v gi i h n
1.5.4.1 Gi i h n c a t ng, hi u, tích, th

ng các hàm s

14


nh lý 1.5.3 N u f(x) và g(x) h i t

khi x  x0 thì f ( x )  g ( x ); f ( x ). g ( x );

f ( x)
g ( x)



H qu 1 N u t n t i lim f ( x) và k  const thì lim k . f ( x)  k . lim f ( x) .
x  x0

x  x0

x  x0

H qu 2 N u f1 ( x ), f 2 ( x ),..., f n ( x) là m t s h u h n các hàm s có gi i h n khi
x  x0 thì ta có:

a) lim  f1 ( x)  f 2 ( x)  ...  f n ( x)   lim f1 ( x)  lim f 2 ( x)  ...  lim f n ( x) .
x  x0

x  x0

x  x0

x  x0

b) lim  f1 ( x). f 2 ( x)... f n ( x)   lim f1 ( x). lim f 2 ( x)... lim f n ( x) .
x  x0

x  x0

x  x0

x  x0

1.5.4.2 Gi i h n hàm s h p

1.5.4.3 Gi i h n hàm s s c p
nh lý 1.5.5 (Gi i h n c a hàm s s c p)
N u f(x) là hàm s s c p xác đ nh t i x0 và lân c n x0 thì lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0

Thí d 1.5.7 lim

x 1

5 x  2 5 1  2

7
4x  3 4 1  3

1.5.5 Tiêu chu n t n t i gi i h n
1.5.5.1 Tiêu chu n 1 (Nguyên lý k p)
nh lý 1.5.6 N u g ( x)  f  x   h  x  ; x  U  x0 
thì f(x) c ng h i t khi x  x0 và lim f ( x)  L .
x  x0

s inx
 1 (1)
x
s in u(x)
1
(2)
c lim
u ( x )0
u ( x)


sin x
sin x
1
x
1.5.5.2. Tiêu chu n 2 (đ n đi u b ch n)
nh lý 1.5.7 N u hàm f(x) là hàm s t ng và b ch n trên trong kho ng (a,b) thì
hàm f(x) có gi i h n bên trái khi x  b 
nh lý 1.5.8 N u hàm f ( x ) là hàm s gi m và b ch n d i trong kho ng (a,b) thì

Thí d 1.5.8 Tính các gi i h n sau lim

hàm f ( x ) có gi i h n bên ph i khi

x  a
x

 1
c s t n t i gi i h n c a 1   khi x  
 x

Áp d ng tiêu chu n 2 ch ng minh đ



1

x

và lim 1   = e (3)
x  

x 2

Thí d 1.5.9 Tính các gi i h n sau lim 

x  x  1


 x  1
lim 

x  x  1



x 2

2 

 lim 1 

x 
x 1


x 1 3

x 1
3

2  

Hàm   x  đ

c g i là m t vô cùng l n khi x  x0 n u lim  ( x)  
x  x0

Thí d 1.5.10 Khi x  0 thì  ( x )  sin x là m t VCB . Vì lim sin x  0 .
x 0
1
1
là m t VCB . Vì lim  0 .
x x
x
1
1
Khi x  0 thì  ( x)  là m t VCL . Vì lim  
x

0
x
x

Khi x   thì  ( x) 

1.5.6.2 Liên h gi a VCB và hàm có gi i h n

16

n u



+ N u k  1 thì ta nói  ( x ) và  ( x ) là hai VCB t ng đ ng trong quá

+ N u lim

trình đó, ký hi u  ( x)   ( x) khi x  x0 . ( ho c x   )
sin x
Thí d 1.5.12 Khi x  0 thì sinx  x vì lim
1
x0 x
Khi x  0 ta ch ng minh đ c các VCB sau t ng đ ng sau:
sin ax ~ ax; (a  0) ;
arc tan ax ~ ax; (a  0)
log a (1  x) ~
1  cos x ~

1
x ;(0  a  1)
ln a

ln(1  x) ~ x ;

(1  x )  1 ~  x ; (   R) ;

1 2
x ; ;
2

a x  1 ~ x. ln a ; (0  a  1) ;

e x 1~ x

a.Thay th t ng đ ng:
nh lý 1.5.11 N u   x  ,   x  là các VCB khi x  x0 và  ( x) ~  1 ( x) ;

ng

  x
  x
 lim 1
và
x  x0   x 
x  x0   x 
1

 ( x) ~ 1 ( x) khi x  x0 thì lim
lim  ( x ). ( x )  lim  1 ( x ).1 ( x)

x  x0

x  x0

1  cos 2 x  tan 2 x
0
( có d ng vô đ nh ).
x0
x sin x
0

Thí d 1.5.14 Tìm lim
Gi i: Khi x  0


đó thì   x     x     x  trong quá trình đó
Quy t c ng t b các VCB b c cao
N u   x   1  x    2  x   ...   n  x  ;   x   1  x    2  x   ...   m  x  ; trong
m t quá trình nào đó và 1 ( x) ; 1 ( x) là các VCB b c th p nh t

trong t ng

 x
  x
 lim 1
x  x0   x 
x  x0   x 
1

  x  ,   x  Thì lim

x  sin 3 x  t an 7 x
x
1
 lim

4
8
x0
x0 3 x
3
3x  x  6 x
3
7
4

Vì khi x  

3

thì

2

3

3x 3  2x  1
x 2

x 

3

3

3

3x 3
x

3 x 3  2 x  1 và

x 2  2 , nên các vô cùng l n b c th p

ng d ng kh d ng vô đ nh



lim
x 2

x 3  3 x 2  2x

3. lim 1  x 2 
x0

x2  x  6

2x 2  3x  5
x
5x  1

lim

2.

cot 2 x

4. lim

x 



1 x  x



 x2
2x 2  3x  5
2x 2
2 x  2
~
~
.

5x  1
5x
5 x
5

2. Khi x   ta có

2x 2  3x  5  2

x
5x 1
5

V y lim
ng t

T

2x 2  3x  5
2

x


D ng 1



cot 2 x


= lim  1  x 2
x0




x2



1
x2



x



2

lim 

1 x 
x



x

  lim

x  



1
1 x 

x



0

1.6 S liên t c c a hàm s .
1.6.1

nh ngh a

1.6.1.1 S liên t c c a hàm s t i m t đi m
nh ngh a 1.6.1 Hàm s f ( x ) đ c g i là liên t c t i x0 n u và ch n u tho mãn
2 đi u ki n:

x0

x0

1.6.1.2 S liên t c m t phía
nh ngh a 1.6.2 Hàm s y  f ( x) đ

c g i là liên t c trái t i x0 n u

+ f ( x ) xác đ nh t i x0 và trong lân c n trái x0
+ lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0 

T

ng t hàm s

f ( x) đ

c g i là liên t c ph i t i x0 n u

+ f ( x ) xác đ nh t i x0 và trong lân c n ph i x0
+ lim f ( x)  f ( x0 ) .
x  x0 

nh lý 1.6.1

i u ki n c n và đ đ hàm s

y  f ( x) liên t c t i x0 là y  f ( x)


N u hàm s y  f ( x) liên t c trên đo n a; b  thì đ th c a nó là m t đ
n i đi m Aa; f (a) và Bb; f (b)  (Hình 1.1)

ng li n nét

1.6.2 Các phép toán trên hàm s liên t c
1.6.2.1 T ng, hi u, tích, th
nh lý 1.6.1 N u hàm s

ng các hàm s liên t c
f ( x); g ( x) liên t c t i x0 thì f ( x)  g ( x), f ( x ). g ( x),

f ( x)
g ( x)

.v i g ( x )  0 là nh ng hàm s liên t c t i x0 .
1.6.2.2 S liên t c c a hàm s h p
nh lý 1.6.2 N u hàm u   ( x ) liên t c t i x0 và hàm f (u ) liên t c t i u0    x0 
thì hàm h p z   f  ( x) c ng là hàm s liên t c t i x0 .
N u hàm lim  ( x )  L và f liên t c t i
x  x0

L

thì lim  ( f 0 )( x )   f  lim  ( x )   f  L 
x x
 x  x

0


và có

t là giá tr nh nh t và l n nh t c a f ( x) trên đo n đó

thì t n t i ít nh t m t đi m c   a, b  sao cho f (c)  
H qu : N u f ( x ) liên t c trên đo n  a , b  và có f (a). f (b)  0 thì t n t i ít nh t
m t đi m c   a, b  sao cho f (c)  0 t c là ph
nghi m trong (a, b)

21

ng trình f ( x)  0 có ít nh t m t


1.6.4.4 B o toàn d u c a hàm s liên t c
nh lý 1.6.5 N u f ( x ) liên t c trên đo n  a , b  , x0   a, b  và f ( x0 )  0 ho c
( f ( x0 )  0) thì U ( x0 )  (a, b) sao cho x  U ( x0 ) : f ( x)  0 ( ho c f ( x)  0 )
Chú ý: Các tính ch t hàm s liên t c trên m t đo n có nhi u ng d ng
Thí d 1.6.3 Ch ng minh r ng ph ng trình x 5  3 x  1 có ít nh t m t nghi m
thu c kho ng (1,2)
Gi i: t f ( x)  x5  3 x  1 thì ph ng trình đã cho  f ( x)  0 ta có hàm s f ( x)
liên t c trên đo n [1,2], f (1)  3  0; f (2)  35  0 theo h qu c a nh lý 1.6.7 có
ít nh t c  1, 2  : f (c)  0 . V y ph

ng trình x 5  3x  1 có ít nh t m t nghi m thu c

kho ng (1,2)

H

NG I
Bài 1 Tính các gi i h n c a các dãy s an  sau

22


1) an =

( n  1)( n  2)(n  3)
;
n3
2

2

2

2) an = 1  1  ... 
1.2

3) an = (1 + 2 + ... + n )/ n
5) an =

3;

2.3

1
n ( n  1)


Bài 5. 1). Cho f(x) = ax + a-x. Ch ng minh r ng: f(x+y) + f(x-y) = f(x).f(y)
2). Cho hàm f ( x) 

x

, hãy tìm

1  x2

f  f ... f ( x) 


n lan

Bài 6 Tìm t p xác đ nhc a các hàm s sau:
1) y  2  x 2
3) y  arcsin

2) y 

3x 2
1 x

1
c os 2 x

4) y  lg  lg x 

Bài 7. Cho bi t:
lim u( x)  1, lim v( x)  , lim[u( x)  1]v( x)  L

x


2) lim(1  tan 2
x 0

1
cot g
x

1

x )2x
1

 1  tgx  s inx
4) lim 

x  0 1  s inx



Bài 8 Tính các gi i h n

23


1) lim

x 

x 



1  cos x 
5) lim
x4

x0

 1  x2 
7) lim  2 
x 
 x 
9)

2

x 2 1

 s inx 
lim 

x 
x 0 

 x 3
10) lim 

x x  2


1
x
n
x
 ( x )  1  cosx ,  ( x )  sin
3

 ( x )  n 1  x  1,  ( x ) 

khi x  0
khi x  0

Bài 10 Tính các gi i h n b ng thay th VCB t

ng đ

ng

1 2x 1
1) lim
tan 3 x
x0

2) lim

sin 2
x  0 ln 2 (1  2 x )

4) lim


khi x  2
4

1

 x sin khi x  0
2. f ( x )  
x
0
khi x  0

Bài 12 Tìm k đ hàm s f(x) liên t c trên R:
 sin 3 x
khi x  0

1) f ( x)   x
 k
khi x  0

e x
2) f ( x)  
x  k

24

khi x  0
khi x  0





-

Cho f ( x)   A sin x.  B neáu  x 
2
2



neáu x 
cos x
2


Tìm A và B đ hàm s liên t c trên toàn tr c s .

25