Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong

TOAÙN 12

CHUYÊN ĐỀ 4: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

CHUYÊN ĐỀ 6: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN – HÌNH HỌC GIẢI TÍCH



LỜI NÓI ĐẦU

Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!
Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán,
tôi biên soạn tập tài liệu ôn thi THPTQG của lớp 12.
Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và
chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục
và Đào tạo quy định.
NỘI DUNG
A. Lí thuyết cần nắm.
B. Trắc nghiệm.
C. Đáp án.

Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm
khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý
đồng nghiệp và các em học sinh để lần sau cuốn bài tập
hoàn chỉnh hơn.
Mọi góp ý xin gọi về số 01655.334.679 – 0916 620 899
Email:
Chân thành cảm ơn.


∫ f ( x)dx =F ( x) + C ⇔ F ′( x) = f ( x)

2. Tính chất
∫ f ′( x)dx = f ( x) + C

∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx

∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx

3. Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của các hàm số sơ
cấp thường gặp

Nguyên hàm của những hàm số hợp
đơn giản

1. ∫ 0dx = C
2. ∫ dx = x + C

xα +1
3. ∫ x dx =
+ C (α ≠ −1)
α +1
1
1
+C
4. ∫ α dx = −
x
(α − 1) xα −1


9. ∫ e x dx = e x + C
10. ∫ a xdx =

ax
+ C(a ≠ 1, a > 0)
ln a

∫ 0dt = C
∫ dt = t + C

∫ kdx = kx + C

∫ ( ax + b )

α

1 ( ax + b )
dx =
a α +1

α +1

1

+ C (α ≠ 1)

1

∫ ( ax + b )α dx = − a (α − 1)( ax + b )α

dx =

1
+C
a(ax + b)

2 ax + b
+ C , ax + b > 0, a ≠ 0
a

1 ax + b
ax + b
∫ e dx = a .e + C
1 aα x + β
α x+ β
a
d
x
=
.
+ C (a ≠ 1, a > 0)
∫
α ln a
1

11. ∫ cos xdx = sin x + C

∫ cos ( ax + b ) dx = a .sin ( ax + b ) + C

12. ∫ sin xdx = − cos x + C

d
t
=
t + C = t3 + C
∫
3
3
1
∫ t dt = ln t + C
1
1
∫ t 2 dt = − t + C

∫

1
t

dt = 2 t + C , t > 0

∫ e dt = e
t

t

+C

at
+C
ln a


1

∫ tan

2

x

∫ cot tdt = ln sin t + C

1

∫ cot(ax + b)dx = a ln sin x + C

dx = tan x + C

1
1
∫ cos2 ( ax + b ) dx = a .tan ( ax + b ) + C

∫ cos

dx = − cot x + C

1
1
∫ sin2 ( ax + b ) dx = − a .cot ( ax + b ) + C

∫ sin

x ln x − x
(mx + n)ln(mx + n) − mx
loga (mx + n)dx =
+C
+C
21. ∫ log a xdx =
∫
ln a
m ln a
4. Phương pháp tính nguyên hàm
a. Phương pháp biến đổi
Nếu ∫ f (u)du = F (u) + C và u = u( x ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
17.

2

∫ tan

2

(ax + b)dx =

1

dt = tan t + C

2

t


b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu hai hàm số u = u( x ) và v = v( x ) có đạo hàm liên tục trên K thì

∫ u( x )v '( x )dx = u( x ).v( x ) − ∫ u '( x )v( x )dx
Đặt u = f ( x) ⇒ du = f /

∫ udv = uv − ∫ vdu
( x)dx và dv = g ( x )dx ⇒ v = ∫ g ( x )dx = G ( x ) (chọn C = 0)
hay

Lưu ý: Với P( x ) là đa thức
N.Hàm
P( x )e x dx
∫
∫ P( x ) cos xdx hay ∫ P( x )sin xdx
∫ P( x ) ln xdx
Đặt
u
P(x)
P(x)
lnx
x
dv
hay
cos
x
d
x
sin
x

∫ f ( x )dx = 3sin x + 2 ln x + C.

D.

Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = (1 + cos x ) .
2

3x
1
− 2 sin x − sin 2 x + C.
2
4
3x
1
f ( x )dx =
+ 2 sin x + sin 2 x + C.
2
4

3x
1
+ 2 cos x + cos 2 x + C.
2
4
1
f ( x )dx = 2 sin x + sin 2 x + C.
4

A.



x
là.
2
1

x

1

x

B.

∫ f ( x )dx = 2 sin 2 + C.

D.

∫ f ( x )dx = 2 sin 2 .

x3 + 1
.
x2 −1
f ( x )dx =

x2
+ ln x − 1 + C .
2

∫

3
2
1
C. H = ln  x − 2 ( x + 3 )  + C.


15 

Câu 6: Hãy tính M = ∫
A. M =

1
ln
2

C. M = ln

1
x 1+ x

x +1 −1
x +1 +1
x +1 −1
x +1 +1

3
2
B. H = ln  x − 2 ( x + 3 )  + C.




Câu 7: Tính I = ∫ cot xdx.
A. I = − ln cos x + C .

B. I = ln cos x + C .

Câu 8: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
A. F ( x ) = ln ( e + 1) + C .

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

C. I = ln sin x + C .
ex
.
ex + 1

(

D. I = − ln sin x + C .

)

B. F ( x ) = ln e x + 1 + C.
3

Ứng dụng của tích phân


GV. Lư Sĩ Pháp



5
2

+ C.

Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

∫ f ( x )dx = ln tan x + C.
C. ∫ f ( x )dx = ln sin x + C .
A.

C. H =

1
1+ x2
5

(

)

2
5

+ C . D. H =

1
1+ x2
5

2
2
x
x
x
x
C. F ( x ) = −2 cos + 4 sin + C.
D. F ( x ) = 2 x cos + 4 sin + C.
2
2
2
2

Câu 12: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
1

x −1

1

x −1

A.

∫ f ( x )dx = 4 ln x + 3 + C.

C.

∫ f ( x )dx = 2 ln x + 3 + C.


.
biết F   =
2
cos x
4 2

A. F ( x ) = − cos x + tan x + 2 − 1.

B. F ( x ) = sin x + cot x + 2 − 1.

C. F ( x ) = − cos x + tan x + 2.

D. F ( x ) = cos x − tan x + 2 − 1.

Câu 14: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x +

1
e2
biết F (e) = .
x
2

x3
x2
x2
2
A. F ( x ) = + ln x + 1 B. F ( x ) =
+ ln x − 1 C. F ( x ) = x + ln x − 1 D. F ( x ) =
+ ln x
3

3
3
3
x
x
x3
A. f ( x ) = 2 x − + 1. B. f ( x ) = 2 x + + 1. C. f ( x ) = 2 − + 1.
3
3
3

Câu 17: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x 3 x 4 + 3.

(

A. F( x ) = x + 3
4

)

x + 3 + C.
4

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

(x
B. F ( x ) =

4



Tài Liệu Ôn Thi THPTQG
+3

x4 + 3

4

Câu 18: Tính K = ∫
A. K =

)

(x
D. F ( x ) =

+ C.

4

+3

)

x4 + 3

3

+ C.


5
2
5
4
x
x
3
C. ∫ f ( x )dx = x 6 − x 5 + x 3 − x 2 + C .
D. ∫ f ( x )dx =
− + x 2 − x + C.
5 4
2
Câu 20: Cho f ( x ), g( x ) là hai hàm số liên tục trên K và k ≠ 0 . Khẳng định nào sau đây là sai ?

A.

f ( x )dx =

x6 x5
3
− + x3 − x2 .
6
5
2

∫  f ( x ).g( x )dx = ∫ f ( x )dx.∫ g( x )dx.
C. ∫ f ′( x )dx = f ( x ) + C .

∫  f ( x ) ± g( x )dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx.
D. ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx.

1 + cos x
+ cos x + C .
1 − cos x

1 1 + cos x
ln
− cos x + C.
2 1 − cos x

Câu 22: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 2 x là.
1

1

1

1

A.

∫ f ( x )dx = 2 x − 4 cos 2 x + C.

C.

∫ f ( x )dx = 2 x + 4 cos 2 x + C.

(

1



2x

2x

+ C.

+ C.

1

2

1

2

B.

∫ f ( x )dx = 4 (1 + 2 x − 2 x ) e

D.

∫ f ( x )dx = 2 (1 + 2 x − 2 x ) e

2x

2x

+ C.

4 




x2 
x2 
D. E =  x +  ln x +  x +  + C.
2 
4 



Câu 26: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 cos x − 3 x −1 là .
Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

5

Ứng dụng của tích phân


GV. Lư Sĩ Pháp
A.

∫

C.

∫


A.

5

∫ f ( x )dx = 4 x .
5

B.

5

∫ f ( x )dx = 4 x

5

+ C. C.

4

∫ f ( x )dx = 5 x

5

+ C. D.

4

∫ f ( x )dx = 5 x .
5


3 x −9

Câu 30: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = e

(

)

2
3 x − 9.e 3 x −9 + e 3 x −9 + C .
3
2
C. F ( x ) =
3 x − 9.e 3 x − 9 + C .
3

A. F ( x ) =

.

B. F ( x ) =

(

3x − 9 − 1 e

)

D. F ( x ) =


B. F ( x ) = x + sin 2 x + sin x − tan + C.
2
4
2
2
4
2
3
1
x
3
1
x
C. F ( x ) = x + sin 2 x − sin x − tan + C .
D. F ( x ) = x − sin 2 x − sin x − tan + C.
2
4
2
2
4
2

Câu 32: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x x 2 − 5.

(x
A. F ( x ) =

(

2


−5

)

4

x2 − 5

+ C.

Câu 33: Tính I = ∫ (1 − x ) dx.
9

A. I = −

(1 − x )10
+ C.
9

Câu 34: Tính H = ∫

B. I = −(1 − x )10 + C .

C. I =

(1 − x )10
+ C.
10



6

D. I = ln sin x + C .

Ứng dụng của tích phân


GV. Lư Sĩ Pháp

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG

Câu 36: Hãy tính I = ∫ esin x cos xdx.
A. I = esin x + C.

B. I = ecos x + C.

C. I = esin x .cos x + C.

Câu 37: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
A. F ( x ) = tan x − cot x + C .
C. F ( x ) = tan x + cot x + C .

D. I = −esin x + C.

1
.
sin x cos2 x
B. F ( x ) = sin x + cos x + C .
D. F ( x ) = sin x.cos x + C .

x

C. F ( x ) = 2e x − tan x + C .

D. F ( x ) = 2e x − cot x + C .

2

Câu 40: Hãy tính I = ∫ esin x .sin 2 xdx.
2

2

A. I = −esin x + C.
2
C. I = esin x + C .

B. I = ecos x + C.
2
D. I = esin x .cos 2 x + C.

(

Câu 41: Hãy tính J = ∫ 2 x − 3x

)

2

dx .

−
+
+ C.
ln 4 ln 3 ln 9

A. J =

B. J =

Câu 42: Hãy tính M = ∫ (1 − 2 x )e x dx.
A. M = 2 xe x + C.

B. M = (2 x − 3)e x + C .

Câu 43: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x 2 +

C. M = (3 + 2 x )e x + C .

1
3

x

2

là .

2

3


+ 3 x + C.

3

3

+ 3 3 x + C.

Câu 44: Tính H = ∫ cos3 x sin xdx.
1
A. H = − sin 4 x + C .
4

B. H =

1 4
sin x + C .
4

C. H =

1
cos4 x + C .
4

1
D. H = − cos4 x + C.
4


GV. Lư Sĩ Pháp

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG


e− x 
Câu 46: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = e x  7 −
.
cos2 x 

B. F ( x ) = 7e x − tan x + C .
A. F ( x ) = 7e x − cot x + C .
C. F ( x ) = 7e x + tan x + C .

D. F ( x ) = 7e x + cot x + C .

Câu 47: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x x + 1.
 x +1 2 
A. F ( x ) = 2 x + 1 
−  + C.
3
 5
 x +1 2 
C. F ( x ) = 2 ( x + 1) 
−  + C.
3
 5

 x +1 2 
B. F ( x ) = 2 ( x + 1) x + 1 

1
A. P = − cos ( 2 x + 1) + sin ( 2 x + 1) + C.
2
4
1
1
C. P = − x cos ( 2 x + 1) + sin ( 2 x + 1) + C.
2
4

1
1
x cos ( 2 x + 1) + sin ( 2 x + 1) + C .
2
4
1
D. P = x cos ( 2 x + 1) + sin ( 2 x + 1) + C .
4

B. P =

Câu 50: Hãy tính I = ∫ x 2 sin xdx.
A. I = − cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C.
C. I = − x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C.

B. I = x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C.
D. I = cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C.

Câu 51: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x ln x .
2 23

C.

∫ f ( x )dx = −2

A. H =

1− x

.
C

+ C.

B.

∫ f ( x )dx =

1 − x + C.

D.

∫ f ( x )dx = C

1− x

Câu 53: Tính H = ∫

1

1− x

1 2
C. H = − e x + C.
2

D. H = −

1
+ C.
1 + ex

2

Câu 54: Tính H = ∫ xe− x dx.
1 2
A. H = − e − x + C.
2

B. H =

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

8

D. H =

Ứng dụng của tích phân

1 x2
e + C.
2

x
2
+
là.
2
x

x 3 + 4 x + C.

1

x 3 + 4 x + C.

Câu 57: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2

∫ f ( x )dx = 2
C. ∫ f ( x )dx = 2

A.

x +1

x

x

+ C.

C. F ( x ) =


B.

+C

1

∫ f ( x )dx =

ln x

Câu 58: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
A. F ( x ) =

B.

1
6 ( x + 1)

6

1
6 ( x + 1)

6

x

( x + 1)

x


1
5 ( x + 1)

6
5 ( x + 1)

5

1
6 ( x + 1)

Câu 59: Hãy tính I = ∫ cos(7 x + 5)dx.
1
A. I = sin(7 x + 5) + C.
7
1
C. I = − sin(7 x + 5) + C.
7

1
cos(7 x + 5) + C .
7
1
D. I = − cos(7 x + 5) + C.
7

B. I =

Câu 60: Tìm hàm số f ( x ) biết f / ( x ) = 4 x − x và f ( 4 ) = 0.

e x − e− x
Câu 61: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x − x .
e +e
x
A. F ( x ) = 2 ln e + C .
B. F ( x ) = 2 ln e − x + C .

(

)

C. F ( x ) = ln e x + e− x + C.
Câu 62: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
A. F ( x ) =

1 2x 1 2x
xe − e + C .
6
2

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

(

)

D. F ( x ) = ln e x − e − x + C .
x 2x
e .
3


C. F ( x ) =

∫
C. ∫
A.

x 2 sin x
+ C.
2
f ( x )dx = − x cos x + sin x + C .

f ( x )dx = −

(

)

∫
D. ∫
B.

x 2 cos x
+ C.
2
f ( x )dx = x sin x + cos x + C .

f ( x )dx =

3

)

D. I =

4
1 2
x + 1 + C.
2

(

)

Câu 65: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x 3 x 2 + 7.

(x
A. F ( x ) =
(x
B. F ( x ) =
C. F ( x ) =

2

2

+7
+7

)


3

7 x2 + 7

5

x2 + 7 7 x2 + 7
−
+ C.
5
3

(x
D. F ( x ) =

2

+7

)

2

x2 + 7

5

Câu 66: Hãy tính I = ∫

−

x +1

2
x +1
− ln
+ C.
x +1
x

D. I = ln

x +1
1
−
+ C.
x
x +1

A. I = ln
C. I =

+

(

7 x2 + 7

Câu 67: Hãy tính I = ∫ cos2 x sin xdx.
1
A. I = − sin 3 x + C.

f ( x )dx =
−
+ C.
3
cos x cos x

A.

1
C. I = sin3 x + C.
3

−

Câu 69: Giá trị của K = ∫ x cos xdx là
A. K = x sin x + cos x + C.
C. K = sin x + cos x + C.

1

1
+ C.
x cos x
1
1
f ( x )dx =
+
.
3
3 cos x cos x

1
2 x + 1) + C .
(
4

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

C. I =

10

5
1
2 x + 1) + C .
(
2

D. I =

Ứng dụng của tích phân

5
1
2 x + 1) + C .
(
10


GV. Lư Sĩ Pháp


x+2

1
x+2
+ 2 ln
+ C.
x+2
x +1

ln x
dx .
(1 + x )2

A. F = −

ln x
x
+ ln
+ C.
x +1
x +1

B. F =

ln x
x
+ ln
+ C.
x +1
x +1

C. M = ln (1 + x ) − x 2 + x + C .
2
4
2

A. M =

(

1 2
1
1
x − 1 ln (1 + x ) − x 2 + x + C.
2
4
2
1
1
D. M = x 2 − 1 ln (1 + x ) − x 2 + x + C .
4
2

)

(

B. M =

(


.
2

C. −1.

D.

C. N = e x x 2 − 1 + C.

D. N = e x x 2 − 1 + C.

)

Câu 76: Hãy tính N = ∫ x 2 + 2 x − 1 e x dx.
A. N = e x − x + C.

B. N = e x + C.

(

)

Câu 77: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x − 1 .
2

A.

∫ f ( x)dx = 3 ( 2 x − 1)

C.

2x
3

1

2x −1 + C

x2 + 4

1

2 x − 1 + C.
2 x − 1 + C.

dx.

3
B. I = x 2 + 4
2

(

)

2
3

+ C.

3

1
C. I = sin3 x + C.
3

1
D. I = cos3 x + C.
3

π 
Câu 80: Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = (1 − x ) cos x và F   = 1 . Hằng số C bằng .
2

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

11

Ứng dụng của tích phân


GV. Lư Sĩ Pháp

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG

A. 0.

π

B.

2


x2 − x −1
.
x +1

2

.

D. F ( x ) =

x2 + x −1
.
x +1

Câu 82: Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x là.
2

A.

∫ f ( x )dx = 3

C.

∫ f ( x )dx = 2

x 3 + C.
1

.

3
2

1  (2 x + 1)3 2 x + 1 
 + C.
−
C. N = 
2
3
2 



(
A. F = x ln ( x + 1 + x ) +
C. F = x ln ( x + 1 + x ) −

)

1  (2 x + 1)3 2 x + 1 
 + C.
+
B. N = 
2
3
2 


 (2 x + 1)3 2 x + 1 
 + C.

Câu 85: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x 3 ln(2 x ) .
x 4 ln(2 x ) x 4
− + C.
4
16
x ln(2 x ) x 4
C. F ( x ) =
− + C.
4
16

ln(2 x ) x 4
− + C.
4
16
4
x ln(2 x ) x 4
D. F ( x ) =
+ + C.
4
16

A. F ( x ) =

B. F ( x ) =

e2 x − 1
và f ( ln 2 ) = 1.
ex
3

Câu 88: Tính J = ∫ 2 x ln ( x − 1) dx.
A. J = x 2 ln( x − 1) −

x2
− x − ln x − 1 + C.
2

x2
C. J = ln( x − 1) − − x − ln x − 1 + C .
2

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

B. J = x 2 ln( x − 1) − x 2 − x − ln x − 1 + C .
x2
D. J = x ln( x − 1) − − x − ln x − 1 + C.
2

12

Ứng dụng của tích phân


GV. Lư Sĩ Pháp

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG

Câu 89: Hãy tính K = ∫ cos x dx.
A. K = 2 x cos x + 2sin x + C.


2 1− x

D. J = x ln ln x + C .

1 − x2 1 + x
B. E = x +
ln
+ C.
2
1− x
x2 1 + x
D. E = x − ln
+ C.
2 1− x

Câu 92: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = x 2 cos x .
A. F ( x ) = x 2 sin x + 2 x cos x − 2 sin x − 2C .

B. F ( x ) = sin x + 2 x cos x − 2 sin x − 2C .

C. F ( x ) = x cos x + 2 x sin x − 2 sin x − 2C .

D. F ( x ) = x sin x + 2 x cos x − 2 sin x − 2C .

2

Câu 93: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos2 x là .
1

1


2 x 2 + 41x − 91

( x − 1) ( x

2

− x − 12

)

.

A. F ( x ) = 4 ln x − 1 + 5 ln x − 4 − 7 ln x + 3 + C .

B. F ( x ) = 5 ln x − 1 + 7 ln x − 4 − 4 ln x + 3 + C .

C. F ( x ) = 4 ln x − 1 + 7 ln x − 4 − 5 ln x + 3 + C .

D. F ( x ) = 7 ln x − 1 + 4 ln x − 4 − 5 ln x + 3 + C .

Câu 95: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
1
A. F ( x ) = ln x + 1 + ln 2 x + 1 + C .
2
1
x +1
C. F ( x ) = ln
+ C.
2 2x + 1


Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

C. I =

1 x2
e + C.
2

D. I =

1
.
(1 + x )(1 − 2 x )

13

Ứng dụng của tích phân

1
e + C.
2


GV. Lư Sĩ Pháp

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG
1− 2x
+ C.
1+ x

3
2 ( x − 1)

2
3 ( x − 1)

3

−

3

−

1
3 ( x − 1)

1
4 ( x − 1)

∫ f ( x )dx = 3 ln

1

( x − 1)

5

4



3

2
3 ( x − 1)

3

+
−

1
4 ( x − 1)

4

+ C.

4

+ C.

1
4 ( x − 1)

.

B. F ( x ) = ln

x3


1+ x

B.

D. F ( x ) =

x3
+ C.
x3 + 4

1
x3
− ln 3
+ C.
4
x +4

Câu 101: Tìm hàm số f ( x ) biết f / ( x ) = 2 x + 1 và f (1) = 5.
A. f ( x ) =

x3 x
+ + 3.
3 2

C. f ( x ) =

B. f ( x ) = x 2 + x + 3.

Câu 102: Hãy tính J = ∫

x2
+ x + 3.
2

2

2

2

Câu 103: Hãy tính I = ∫ e cos x .sin xdx.
A. I = esin x + C.

B. I = −esin x + C.

Câu 104: Tìm hàm số f ( x ) biết f / ( x ) = x −

C. I = esin x .sin x + C.

1
+ 2 và f (1) = 2.
x2

3 43 x 4
x + + x + 1.
4
4
4
3
x4


D. F ( x ) = tan x − x + C .

Câu 106: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x + 1 là.

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

14

Ứng dụng của tích phân


GV. Lư Sĩ Pháp
A.

C.

∫ f ( x )dx =

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG

( 2 x + 1)

2

3

∫ f ( x )dx =

C. Q =


dx .

+ C.

1+ x

∫ f ( x )dx =

B. Q = ln

1 1+ x
ln
+ C.
2 1− x

D. Q =

1+ x

+ C.

1− x

1 1− x
ln
+ C.
2 1+ x

Câu 108: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2 .

D.

∫ f ( x )dx = x

2 −1
2 −1

+ C.

+ C.

2

Câu 109: Hãy tính I = ∫ ecos x .sin 2 xdx
2

2

A. I = −esin x + C.
2
C. I = −e cos x + C.

(

B. I = ecos x + C.
2
D. I = −ecos x sin 2 x + C.

)



B. Q = (1 − x ) sin x + cos x + C .

D. Q = (1 − x ) sin x − cos x + C .

Câu 112: Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos4 x là.


1
1
1
1
A. ∫ f ( x )dx =  3 x + 2 sin 2 x + sin 4 x  + C .
B. ∫ f ( x )dx =  3 x + 2 sin 2 x + sin 4 x  .
8
4
8
4


C.

1

∫ f ( x )dx = 3x + 2 sin 2 x + 4 sin 4 x.

sin(ln x )
dx.
x
A. H = cos ( ln x ) + C .


Ứng dụng của tích phân

x3
− 2.
3


GV. Lư Sĩ Pháp
Câu 115: Biết

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG

 a
3 x 2 + 11x + 9
b
c 
∫ ( x + 1)( x + 2)2 dx = ∫  x + 1 + ( x + 2)2 + x + 2  dx. Tính P = abc.

A. P = 8.

B. P = 4.

1
D. P = .
2

C. P = 2.



)

1
2 x cos 2 x − sin 2 x + 2 x 2 sin 2 x + C.
4
3
D. F = 2 x sin 2 x − cos2 x + 2 x 2 cos 2 x + C.
4

B. F =

(

)

(

)

Câu 118: Hãy tính P = ∫ x 2 3 1 + x 3 dx ,( x > −1).
4

1

4

1
1
3
4


3
1
A. S = .
B. S = .
C. S = 1.
D. S = 0.
2
2
Câu 120: Cho ∫ ( x 2 + e − x − sin 2 x + m)dx = ax 3 + be− x + c cos 2 x + mx + C . Tìm tham số thực m sao cho
a + b + c = 4.
25
A. m = .
6

B. m =

21
.
4

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

C. m = 3.

16

D. m =

Ứng dụng của tích phân

1. Khi a = b ta định nghĩa

f ( x )dx = 0

a

a

2. Khi a > b , ta đinh nghĩa

a

b

a

a

b

∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx

3. Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong dấu tích phân, tức là
b

∫ f ( x )dx

hay

a


a

Tính chất 3.

b

∫  f ( x ) ± g( x ) dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx
a

a

b

c

b

a

a

c

∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx,

a

c)

∫x
a

b

∫
a

∫
a

 π π
dx . Đặt x = sin t, t ∈  − ;  .
2
 2 2
1− x

 π π
dx . Đặt x = k sin t, t ∈  − ; 
 2 2
k −x
a
b
 π π
1
∫a x 2 + k 2 dx . Đặt x = k tan t, t ∈  − 2 ; 2 


b

1

b

f (b)

2

2

 π π
dx . Đặt α x + β = k tan t , t ∈  − ; 
 2 2
+ k2

2. Phương pháp tính tích phân từng phần
Nếu u = u( x ) và v = v( x ) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn  a; b  thì
b

b

b

b

a

a


a

dv = g ( x )dx ⇒ v = ∫ g ( x )dx

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
π
2

Câu 1: Tính tích phân I = ∫ (1 − x ) sin x cos xdx.
0

A. I =

1
(4 − π ).
3

π

B. I =

8

.

C. I =

π


Câu 3: Tính tích phân I = ∫ x ln xdx. .
1

A. I =

2

e
.
4

B. I =

1

Câu 4: Biết

∫
0

A.

dx
4 − x2

∫x
0

6+ 2
4

Câu 5: Biết

1

= α và

e2 − 1
.
4

C.

2
−1
2

D.

3 +1
2

xdx = α . Giá trị của P = sin 2α + cos2α là

0

A. P =

2 3 −3
6


C. I = 3 + 1.

D. I = 1.

C. J = π − 2

D. J =

π
2

Câu 7: Tính J = ∫ x 2 sin xdx
0

A. J = π + 2

B. J = π
2

π
2

−1

2

Câu 8: Tính H = ∫ 3 x.e x dx
−1

A. H =

2

1

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

2

Ứng dụng của tích phân

3 4
e +e
2

(

)


GV. Lư Sĩ Pháp

Tài Liệu Ôn Thi THPTQG
e

e

e

A. F = x ln x 1 − ∫ dx


e

π
3

x
dx
cos2 x

Câu 10: Tính L = ∫
0

A. L =

π 3 − ln 2
3

π 3

B. L =

3

+ 2 ln 2

C. L =

π 3
3



1
.
10

D. I = −

Câu 12: Tính I = ∫ x 2 ( x + 1) dx.
3

−1

A. I =

2
.
15

1
.
60

B. I =

C. I = −

1
.
60


∫

2

π2 +2

C. C =

4

π2 −2
4

3
. Giá trị của b là:
4 ln b
B. b = 4
C. b = 1

D. C =

π2
4

−2

xdx = b −

D. b = 2


B. a = 2
1

a

Câu 17: Biết

C. cos2α = 1.

∫ ( 2 x − 1) ln xdx = a ln a − a . Giá trị của a là
1

B. a = 4
a

Câu 18: Giá trị nào của a để

∫ ( 3x

2

0

A. a = 2

C. a = 2

D. a = 8

C. a = 1


2π
3

π

C. P =

24

D. P =

1
12

D. A =

8 π
+
15 4

π
2

(

)

Câu 20: Tính A = ∫ cos3 x − 1 cos2 xdx
0

3
1

∫ ( 2 f ( x ) − g( x )) dx = 5. và ∫ ( 3 f ( x ) + g( x )) dx = 10. . Khi đó ∫ f ( x )dx bằng.
0

B. 5.
2

0

C. 3.

D. 15.

1 + x2
dx
x4

Câu 23: Tính E = ∫
1

1  −5 5 + 16 2 
A. E = 


3 
8



8π
15

C. A =

x 2 + ex + 2 x 2ex
dx
1 + 2e x

Câu 21: Tính K = ∫
A. K =

8 π
−
15 4

π

π

2

Câu 24: Biết a = ∫ sin 5 xdx và b = ∫ cos3 xdx . Khi đó a.b bằng:
0

A.

0

45

Câu 26: Tính M = ∫
1

3 + ln x

( x + 1)

1
27 
A. M =  3 − ln 
2
16 
π
3

Câu 27: Tính E = ∫
π

2

1

C. F = e 2

3

D. F = e 2

dx


sin 2 x

4

A. E =

1
2

B. E =

1
ln 3
2

C. E = ln 3

2

Câu 28: Cho I = ∫ 2 x x 2 − 1dx và u = x 2 − 1 . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau ?
1

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

4

Ứng dụng của tích phân


GV. Lư Sĩ Pháp

0

π
2

2

Câu 29: Tính F = ∫ esin x sin x cos3 xdx
0

A. F =

e
+1
2

B. F =

e
−1
2

C. F =

4

1
Câu 30: Biết ∫  x +  dx = 6 + ln b . Giá trị của b là:
x
2


5
D. K = ln .
3

5

Câu 32: Cho E = ∫ 2 x ln ( x − 1) dx và đặt u = ln( x − 1), dv = 2 xdx . Chọn khẳng định Sai trong các khẳng
2

định sau
5

27
2

 x2

A. E = 25 ln 4 −  + x + ln x + 1 
 2
2

B. E = 24 ln 4 −

5

1 
C. E = 25 ln 4 − ∫  x + 1 +
 dx
x


(

5

B. N = 71

C. N = 17

D. N = 15

2

Câu 34: Cho J = ∫ x ln xdx và đặt u = ln x , dv = xdx . Chọn khẳng định Sai trong các khẳng định sau
1

2

2

2

2
 x2

A. J =  ln x  − ∫ xdx
 2
1 1

 x2

A. P =

π
4

2 (1 − cos 2 x )dx

2

B. P = 4

e

3
Câu 36: Tính I = ∫  2 x −  ln xdx
x
1
2
e
1 + e2
B. I =
A. I = + 1
2
2

Chuyên đề 4. Nguyên hàm – Tích phân

C. P =

C. I =