Trờng THPT số 2 Bắc Hà
Chuyên đề: Phơng pháp toạ độ trong không gian
Đờng thẳng
1. Bài toán 1
( )
qua
0 0 0 0
( , , )M x y z
và nhận
( , , )u a b c
r

0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

hoặc
0 0 0
x x y y z z
a b c


=

uur r r
VD 1. Vit ptts, ptct, pttq ca ng thng (d) bit :
a) (d) i qua A(2 ;0 ;1) v cú vtcp
(1; 1; 1)u =
r
b) (d) i qua hai im A(1 ;2 ;1) v B(-1 ;0 ;0).
c) (d) i qua M(-2;1;0) v vuụng gúc vi mt phng (P) : x+2y-2z+1=0
d) (d) i qua N(-1;2;-3) v song song vi ng thng
3 0
:
2 5 4 0
x y z
x y z
+ + =



+ =

e) (d ) i qua M(2;-3;-5) v vuụng gúc vi (ABC), bit A(1;0;1),B(1;1;0),C(0;1;1).
VD 2. Vit phng trỡnh ng thng (d) i qua A(2 ;-1 ;1) v vuụng gúc vi hai ng thng :
1
1 0
( ) :
2 0
x y
d
x z

+ + + =

VD 3. Vit phng trỡnh hỡnh chiu (d) ca ng thng
2 5
( ) :
2 3 0
x y z
d
x z
+ +


+ =

lờn mt phng
( ) : 7 0x y z

+ + =
VD 4. Vit phng trỡnh hỡnh chiu (d) ca
1 2 3
( ) :
2 3 1
x y z
d
+
= =
lờn cỏc mt phng Oxy, Oyz.
3. Bài toán 3
1 1 1
1 1 1

a b c
u a b c



= =



uur
1 2
( ),( )d d
chéo nhau

1 2
, . 0u u AB



ur uur uuur
1 2
( ),( )d d
cắt nhau

1 1 1 2 2 2
1 2
: : : :
, . 0
a b c a b c
u u AB

z t
=


= − −


= − −

Và
0
( ') :
2 2 0
x y z
d
x y z
+ − =


− + =

b)
1 2
( ) :
2 2 1
x y z
d
− −
= =
−

x y z
+ − =


− − − =

song song với nhau.
Viết phương trình mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng đó.
VD 7. Chứng minh hai đường thẳng
1 2
( ) : 3
2 3
x t
d y t
z t
= −


= +


= − −

và
2
( ') : 1
3 2
x t
d y t
z t

2
,m u t
 
=
 
ur uur r
+,§êng vu«ng gãc chung cña
1
( )d
vµ
2
( )d
lµ giao tuyÕn cña
( )
α
vµ
( )
β
VD 8. (Đường vuông góc chung)
Xác định phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng :
7 3 9
( ) :
1 2 1
x y z
d
− − −
= =
−
và
3 1 1

2
2 1 1
( ) :
2 3 5
x y z
d
− + −
= =
.
VD 11. Lập phương trình đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng
( ) : 2 0P y z+ =
và cắt cả 2 đường thẳng
1
1
( ) :
4
x t
d y t
z t
= −


=


=

Và
2
2

x
+ − + =


+ =

2
Trờng THPT số 2 Bắc Hà
Chuyên đề: Phơng pháp toạ độ trong không gian
Mặt Cầu
1. Bài toán 1 (Phơng trình mặt cầu)
Mặt cầu (S) có phơng trình:

2 2 2
2 2 2 0x y z Ax By Cz D+ + + + + + =
điều kiện:
2 2 2
0A B C D+ + >
Có tâm
( , , )I A B C
và bán kính
2 2 2
R A B C D= + +
VD1: Xác định tâm và bán kính cho bởi phơng trình sau:
a.
2 2 2
2 2 4 3 0x y z x y z+ + + + =
b.
2 2 2
2 4 6 67 0x y z x y z+ + =

v ti p xúc vi mt phng
( )
a 2 2 6 0x y z+ - + =
d. Mt cu tâm I(1;-1;2) v ti p xúc vi
( ) : 3 4 - - 23 0 P x y z+ =
. Tìm ta tip im.
e. Mt cu (S) i qua 3 im A(1;1;0), B(-1;1;2), C(1;-1;2) v có tâm thu c mt phng (P): x+y+z-4=0
2. Bài toán 2(Đờng tròn)
Phơng trình đờng tròn:
2 2 2
2 2 2 0
0
x y z Ax By Cz D
Ax By Cz D

+ + + + + + =

+ + + =

Bán kính
2 2
r R d=

Tâm đờng tròn là hình chiếu của tâm I mặt cầu lên mặt phẳng
( )

Chú ý: (Cách tìm hình chiếu của điểm I lên mặt phẳng
( )

)

( ) :
.
Bit A, B, C l giao im tng ng ca mt phng (

) vi cỏc trc to Ox, Oy, Oz, cũn D l giao im ca
ng thng (d) vi mt phng to Oxy. Vit phng trỡnh mt cu (S) i qua 4 im A, B, C, D. Xỏc nh
to tõm v bỏn kớnh ca ng trũn l giao tuyn ca mt cu (S) vi mt phng (ACD).
3. Bài toán 3( tiếp diện)
( ) : 0Ax By Cz Da + + + =
và (S)
2 2 2
2 2 2 0x y z Ax By Cz D+ + + + + + =
( )

là tiếp diện của (S)

( ( ))I
d R


=
Chú ý: B1: Xác định dạng phơng trình mặt phẳng (xem phần mặt phẳng)
B2: áp dụng điều kiện tiếp xúc

phơng trình mặt phẳng
3
Trờng THPT số 2 Bắc Hà
Công thức khoảng cách
0 0 0
2 2 2

2 2 0
2 0
x y
x z
+ =



=

( ) :
;
2
1
1 1 1
x y z
= =

( ) :
.
Vit phng trỡnh tip din ca mt cu (S), bit tip din ú song song vi hai ng thng (
1
) v (
2
).
VD 9*. Lp phng trỡnh mt phng (P) cha ng thng:
13 1
( ) :
1 1 4
x y z

Chú ý
( )
( )
d
d n u


=
uuur uur
( ) ( )
( ) //( ) n n =
uuur uuur
VD 1. V
it
ph

ng
t
r
ỡ
nh mp(P) b
it
a) (P) i qua A(1;0;-3) v cú vtpt
(1; 3;5)n =
r
b) (P) l mp trung trc ca on MN vi M(-4 ;3 ;2), N(0 ;-1 ;4).
c) (P) i qua B(3,-1,4) v song song vi mt phng x-2y+5z-1=0




=

uuur uur uur
( nếu
( )

chứa d, d thực hiện tơng tự)

( ) ( )
( )
( ) ( ),( ) ;n n n




=

uuur r r
VD 2.
V
it
ph

ng
t
r
ỡ

u
c

a

i
m M(4 ;-1 ;2) trờn cỏc mt phng ta .
h) (P) i qua cỏc hỡnh chiu ca im M(4 ;-1 ;2) trờn cỏc trc ta .
3. Bài toán 3
( )

qua
0 0 0 0
( , , )M x y z
và chứa (d) :
0 0 0
x x y y z z
a b c

= =
( ) 0 1
;
d
n M M u


=

uuur uuuuuuuruur
(


+ =
ng thi vuụng gúc
vi mt phng
( ) : 2 1 0x y

=
.
c) i qua giao tuyn ca hai mt phng
( ) :3 3 8 0x y z

+ + =
v
( ) : 2 2 0x y z

+ + =
ng thi
song song vi mt phng
( ) : 1 0x y

=
.
5