MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................... 2
PHẦN I: MỞ ĐẦU ........................................................................................ 3
1. Lý do chọn đề tài .................................................................................. 3
2. Mục đích nghiên cứu............................................................................. 3
3. Đối tƣợng nghiên cứu............................................................................ 3
4. Phƣơng pháp nghiên cứu ....................................................................... 3
5. Phạm vi nghiên cứu............................................................................... 4
6. Cấu trúc khóa luận ................................................................................ 4
PHẦN II: NỘI DUNG ................................................................................... 5
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN ..................................................................... 5
1.1 Khái niệm về tƣ duy ........................................................................... 5
1.2 Đặc điểm của tƣ duy ........................................................................... 5
1.3 Thao tác tƣ duy phân tích - tổng hợp ................................................... 8
1.4 Những khó khăn thƣờng gặp của học sinh khi giải các bài toán khoảng
cách trong HHKG .................................................................................. 11
Chƣơng 2: CÁC DẠNG BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH
HỌC KHÔNG GIAN................................................................................ 13
2.1 Kiến thức cơ bản .............................................................................. 13
2.2 Các dạng bài tập về khoảng cách ....................................................... 15
Chƣơng 3: VẬN DỤNG THAO TÁC TƢ DUY PHÂN TÍCH – TỔNG HỢP
ĐỂ TÌM RA LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN...................................................................... 24
KẾT LUẬN ................................................................................................. 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 44


Khóa luận tốt nghiệp
LỜI CẢM ƠN
Trong suốt thời gian thực hiện đề tài, em đã nhận đƣợc nhiều sự quan tâm
giúp đỡ từ quý thầy cô giáo cũng nhƣ ngƣời thân và bạn bè để hoàn thành đề tài:

hình học không gian” làm khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu:
Vận dụng thao tác tƣ duy phân tích – tổng hợp để giúp học sinh tìm ra lời
giải các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian.
3. Đối tƣợng nghiên cứu:
Tìm ra lời giải các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu:
3


Khóa luận tốt nghiệp
- Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu các tài liệu liên quan đến
các dạng bài tập, đề thi.
- Phƣơng pháp quan sát, điều tra: học hỏi các thầy, cô giáo.
5. Phạm vi nghiên cứu:
Đề tài tập trung nghiên cứu các kiến thức trọng tâm trong sách giáo khoa
hình học lớp 11, 12 (cơ bản và nâng cao), sách giáo viên và các sách tham khảo
liên quan.
6. Cấu trúc khóa luận:
Khóa luận gồm 3 chƣơng sau:
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận.
Chƣơng 2: Các dạng bài toán về khoảng cách trong hình học không
gian.
Chƣơng 3: Vận dụng thao tác tƣ duy phân tích – tổng hợp để tìm ra lời
giải các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian.
Các chữ viết tắt sử dụng trong đề tài:
HHKG: hình học không gian.
THPT: trung học phổ thông.
SGK: sách giáo khoa.
NC: nâng cao.

ngƣời, tƣ duy đóng vai trò vô cùng quan trọng vì tƣ duy giúp ích rất nhiều cho
việc mở rộng giới hạn nhận thức; nâng cao khả năng nhìn nhận sâu sắc vào bản
chất của sự vật, hiện tƣợng và tìm ra các mối quan hệ có tính quy luật giữa
chúng với nhau. Tƣ duy giúp ta vận dụng những những kiến thức đã tích lũy
5


Khóa luận tốt nghiệp
đƣợc để giải quyết những vấn đề liên quan, nhờ đó tiết kiệm đƣợc công sức. Tƣ
duy có phƣơng tiện là ngôn ngữ và có sản phẩm là những khái niệm, những
phán đoán, những suy luận đƣợc biểu đạt bằng từ ngữ, kí hiệu, công thức.
1.2.1 Tính có vấn đề của tƣ duy:
Trong thực tế tƣ duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề. Nhƣng
không phải bất cứ tác động nào của hoàn cảnh đều xuất hiện tƣ duy.
Hoàn cảnh có vấn đề là những tình huống mà bằng vốn kiến thức,
phƣơng pháp cũ không giải quyết đƣợc mà cần đến những phƣơng pháp, tri thức
mới để giải quyết vấn đề, tức là phải tƣ duy. Nhƣng không phải bất cứ hoàn
cảnh nào có vấn đề nào cũng xuất hiện tƣ duy ở bản thân. Vậy để kích thích
đƣợc tƣ duy thì hoàn cảnh có vấn đề phải đƣợc cá nhân nhận thức đầy đủ và có
nhu cầu chuyển thành nhiệm vụ của tƣ duy để giải quyết vấn đề đó (nghĩa là cá
nhân phải xác định đƣợc cái gì đã biết, đã cho, cái gì chƣa biết, cần phải tìm).
Ví dụ: Khi dạy bài “Khoảng cách” trong chƣơng trình toán hình học
11NC, giáo viên hƣớng dẫn học sinh làm bài toán sau: “Cho hình chóp S.ABCD
có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy. Tìm khoảng cách từ B đến mặt
bên (SCD)”

S

K
A

tƣ duy.
b) Tính khái quát hóa:
Là khả năng con ngƣời hợp nhất nhiều đối tƣợng khác nhau nhƣng
có chung những thuộc tính, những mối liên hệ thành một nhóm.
Ví dụ: Khi hƣớng dẫn học sinh làm các bài tập về khoảng cách của một
điểm tới một mặt phẳng, ta có thể gợi ý cho học sinh tìm hiểu phƣơng pháp tính
cho trƣờng hợp này có thể áp dụng cho các trƣờng hợp tính khoảng cách khác
hay không.
1.2.4 Tƣ duy gắn liền với ngôn ngữ:
Tƣ duy của động vật bao giờ cũng dừng lại ở tƣ duy hành động trực
giác mà không vƣợt quá giới hạn đó. Còn ở con ngƣời, tƣ duy mang tính gián
tiếp, trừu tƣợng hóa và khái quát hóa. Mối liên hệ giữa tƣ duy và ngôn ngữ là
mối liên hệ biện chứng; là mối liên hệ giữa nội dung và hình thức. Trong đó,
7


Khóa luận tốt nghiệp
ngôn ngữ là hình thức biểu đạt cố định của tƣ duy. Nhờ đó, ngƣời khác và chủ
thể tƣ duy tiếp cận kết quả tƣ duy một cách dễ dàng. Hay nói cách khác, ngôn
ngữ là phƣơng tiện tƣ duy.
1.2.5 Tƣ duy quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính:
Tƣ duy bao giờ cũng liên hệ gắn bó mật thiết với nhận thức cảm tính.
Nhận thức cảm tính là cửa ngõ của tƣ duy liên hệ với thế giới bên ngoài; nhận
thức cảm tính cung cấp chất liệu cho tƣ duy và cuối cùng toàn bộ sản phẩm của
tƣ duy đƣợc kiểm nghiệm trong hoạt động thực tiễn.
Trong học tập Toán, đặc điểm này thể hiện để tìm hiểu nội dung hay
chứng minh một bài toán. Trƣớc hết dựa vào nhận thức cảm tính về yêu cầu hay
giả thiết (thử hƣớng này, hƣớng khác) đi đến nhận xét, kiểm tra bằng hoạt động
tƣ duy đi đến kết quả.
Ví dụ: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông, AB  a ,

Đây là hai thao tác trái ngƣợc nhau, nhƣng lại liên hệ chặc chẽ với
nhau trong một thể thống nhất.
1.3.2 Tác dụng trong dạy học toán:
Thao tác tƣ duy phân tích – tổng hợp có vai trò hết sức cần thiết cho các
em học sinh trong quá trình học tập môn Toán nhƣ:
- Giúp học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trƣờng
hợp riêng lẻ nằm trong một khái niệm, một định lý,...
- Từ những thuộc tính riêng lẻ đó học sinh tổng hợp lại để nhận biết
chính xác, đầy đủ một khái niệm,...
Đây là thao tác cơ bản luôn đƣợc sử dụng để tiến hành những thao tác
khác.
1.3.3 Một vài biện pháp thực hiện:
* Khi dạy khái niệm, định nghĩa, tập cho học sinh phân tích các thuộc
tính bản chất để từ đó tổng hợp lại nhận biết và phân biệt với khái niệm khác
hay để tìm ra mối liên hệ giữa các khái niệm gần gũi nhau.

9


Khóa luận tốt nghiệp
Ví dụ 1: Định nghĩa “Khoảng cách từ một đến một mặt phẳng” đƣợc
phân tích thành:
- Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là: d (M ; H ) , H  ( P)
sao cho MH  ( P) . Kí hiệu: d (M ;( P)) .
Ví dụ 2: Phân tích để thấy sự khác nhau và giống nhau của hai định
nghĩa “ Khoảng cách giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng song song” và “ Khoảng
cách giữa hai mặt phẳng song song ”
- Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với
đường thẳng a là: d ( A;( P)) với A  a . Kí hiệu: d (a;( P)) .
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là: d ( B;(Q))

đƣợc một số ý thì tổng hợp lại để xem ta thu đƣợc điều gì bổ ích không, còn
thiếu yếu tố nào nữa?
+ Tách bài toán đã cho (thƣờng là khó hơn) thành nhiều bài toán thành
phần, bài toán đặc biệt đơn giản hơn và dễ hơn, và cuối cùng tổng hợp lại để có
kết quả.
1.4 Những khó khăn thƣờng gặp của học sinh khi giải các bài toán khoảng
cách trong HHKG:
HHKG là một phần kiến thức trong chƣơng trình toán THPT tƣơng đối
khó nên nhiều học sinh chƣa quen với tính tƣ duy trừu tƣợng của nó, học sinh
khó khăn ngay từ bƣớc đầu tiếp cận ở lớp 11 và dễ dẫn đến sự mất hứng thú đối
với HHKG.
Qua thực tế cho thấy nhiều học sinh khi làm các bài tập về khoảng cách
trong HHKG còn lúng túng, không phân dạng đƣợc các bài toán và chƣa định
hƣớng đƣợc cách giải,... Học sinh thƣờng hay gặp phải những khó khăn sau:
+ Vẽ hình chƣa đúng hoặc vẽ khó nhìn, khó hình dung.
+ Quen với hình học phẳng, óc tƣởng tƣợng không gian chƣa tốt, chƣa
vận dụng đƣợc các tính chất của hình học phẳng cho hình không gian.
+ Khả năng suy luận hình học còn hạn chế, dẫn đến việc xây dựng
thuật toán giải còn khó khăn.

11


Khóa luận tốt nghiệp
+ Việc trình bày bài giải của học sinh còn thiếu chính xác, chƣa khoa
học, còn lủng củng, suy luận chƣa logic.
+ Không phân dạng đƣợc các bài toán về khoảng cách.
+ Không biết đƣa các bài tập về khoảng cách từ các trƣờng hợp phức
tạp về đơn giản hơn.


H

K

13


Khóa luận tốt nghiệp
Định nghĩa 4: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng
cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Khoảng cách
giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) đƣợc kí hiệu là: d (( P),(Q))
A

B

Q

H

K

P

Định nghĩa 5:
- Đƣờng thẳng vuông góc với hai đƣờng thẳng chéo nhau gọi là đƣờng
vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau.
- Nếu đƣờng vuông góc chung cắt hai đƣờng thẳng chéo nhau tại A và
B thì đoạn thẳng AB là đoạn vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau.
- Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông
góc chung của hai đƣờng thẳng đó.

b

- Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau bằng khoảng cách
giữa hai mặt phẳng song song lần lƣợt chứa hai đƣờng thẳng đó.
a

Q

b
P
Tính chất: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O ( OA  OB, OB  OC,
OC  OA ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi đó đƣờng cao

OH đƣợc tính bằng công thức:

1
OH

2



1
2

OA



1

AO  4cm . Tính khoảng cách từ điểm A và điểm O đến đƣờng thẳng BC.

O

Giải:

A

C
B

H

Dựng AH là đƣờng cao của tam giác ABC thì: d ( A, BC)  AH
Theo công thức Hêrông, diện tích S của tam giác ABC là:

S  10.5.3.2  10 3 (cm2)  AH 

2S 20 3

 4 3 (cm)
BC
5

 AH  BC
 BC  (OAH )  BC  OH  d (O, BC )  OH .
Vì: 
OA  BC

Trong tam giác AOH vuông tại A: OH 2 OA 2 AH 2  16 48  64


   AK .
 AK  

Do 

 AK  SH

S

K
H

A

Q

 AK  ( P).

Bước 3: Vậy d ( A;( P))  AK.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
A, SA  a và SA  ( ABC ) , biết BC  a . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(SBC).
17


Khóa luận tốt nghiệp
Giải:

S


2

a.

SA. AH
Trong SAH vuông tại A, ta có: AK 

SA2  AH 2

Vậy: d ( A;(SBC ))  AK 

a
2

a2 

a2
4



a 5
.
5

a 5
.
5



 BK  SH

S

 BK  (SAC ) .

 d (B,(SAC))  BK .
A

Trong ABC vuông tại B, ta có:

B
H

BK 

AB.AC
a.a 3
a 3


2
AB2  BC 2
a 2  3a 2

Vậy d (B,(SAC )) 

D


Khóa luận tốt nghiệp
+ Nếu AB  ( P) tại trung điểm của AB. Khi đó: d ( A,( P))  d ( B,( P)) .
A

P

c. Cách 3: (Ứng dụng thể tích)

B

1
3V
Thể tích của khối chóp V  S .h  h 
(trong đó S là diện tích
3
S
đáy và h là chiều cao của khối chóp).
Ta có thể dùng công thức này để tính khoảng cách từ đỉnh của hình
chóp đến mặt đáy.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có SA  3a và SA  ( ABC ) , ABC có
AB  BC  2a, ABC  1200. Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

S

A

Giải:

C
B


 sin BSC 
2SB.SC
273
91

1
 SSBC  SB.SC.sin BSC  2 3a 2 .
2
Vậy khoảng cách cần tìm là: d  A,  SBC   

3VS . ABC 1
 a.
SSBC
2

2.2.2 Khoảng cách giữa hai đoạn thẳng chéo nhau:
Phương pháp: Để tính khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau d1 và
d2, ta thƣờng gặp hai trƣờng hợp sau:
a. Trường hợp 1: d1  d2 .
Bước 1: Dựng mặt phẳng (P) chứa d2 và vuông góc với d1.
d1
Bước 2: Tìm giao điểm d1  ( P)  O
d2

Bước 3: Trong (P) kẻ OH  d2 .
OH  d1
Bước 4: Do 
nên
OH  d2


Ta có: AH 

 AD  (SAB)  AD  AH .

S

nên d ( AD, SB)  AH .
SA. AB
a 3.a
a 3 H
.


2
SA2  AB2
3a 2  a 2

Vậy d ( AD, SB ) 

a 3
.
2

A

B

D



Vì 

 AH  SD

 AH  (SCD)

S

 d ( A,(SCD))  AH .
 AH 

SA.AD
a 3.a
a 3


2
2
2
2
2
SA  AD
3a  a

 AB / /CD
Ta có: 
 AB / /(SCD)
CD  (SCD)


toán để tìm hƣớng giải quyết. Để học sinh có thể làm tốt bƣớc phân tích này,
ngƣời giáo viên cần rèn kĩ năng phân tích – tổng hợp thông qua các bài toán về
khoảng cách sau:
3.1 Bài toán 1: Cho hình chóp S. ABC có SA  a 3 , SA   ABC  , tam
giác ABC vuông tại B và AB  a . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
(SBC).

S

H
A

C
B

Phân tích bài toán:
Cần chỉ ra rằng, khi tính khoảng cách từ điểm A đến (SBC) thực chất là
tìm cho đƣợc mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Vận
dụng thuật toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta sẽ dựng
đƣợc khoảng cách.
Chính vì hƣớng tiếp cận theo thuật toán này, học sinh chủ động tìm ra
đƣợc  SBC    SAB (do BC   SAB ). Dựng đƣờng thẳng AH vuông góc với
SB (với H  SB ) nên AH   SBC  . Vậy d  A,  SBC    AH . Tính độ dài đoạn
AH là giải xong bài toán.

24


Khóa luận tốt nghiệp
Bài giải:

2
2
2
AH
SA
AB
3a
a
3a

Vậy d  A,  SBC   

3a
.
2

3.2 Bài toán 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a, mặt bên (SAB) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với  ABCD  .
Gọi H là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng
(SCD).

S
K
A

D

H

B