Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương

trình vô tỉ.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Khối 10, 11, 12.
3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 1 tháng 9 năm 2015 đến ngày
1 tháng 9 năm 2016.
4. Tác giả:
Họ và tên: Lê Thị Phượng
Năm sinh: 1987
Nơi thường trú: Nam Định
Trình độ chuyên môn: Cử nhân toán
Chức vụ công tác: Giáo viên toán
Nơi làm việc: trường THPT chuyên Lê Hồng Phong
Địa chỉ liên hệ: 76 Vị Xuyên Nam Định
Điện thoại: 0972313265.
5. Đồng tác giả (nếu có): Không
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong
Địa chỉ:

76 Vị Xuyên Nam Định

Điện thoại:

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Page 1




Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
1.

Phương pháp nhân liên hợp.
Mục đích: Biến đổi đưa phương trình đã cho về phương trình tích.
Phương pháp: Sử dụng các hằng đẳng thức.

a.
b.

a −b
am b

a± b=

3

c.
1.1.

a±3b=

( a, b > 0, a ≠ b )

a±b
3

hợp. Như vậy ta tìm hai số
sao cho:

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Page 3

bằng phương pháp nhân liên


Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

 3 x + 1 − a = 0  a = 4
⇒

b = 1
b − 6 − x = 0
Lời giải:

Tập xác định:
∀x

 1 
D =  − ;6 
 3 

thỏa mãn điều kiện xác định ta có:

3 x 2 − 14 x − 8 + 3 x + 1 − 6 − x = 0
⇔ 3x 2 − 14 x − 5 +

 3 x + 1 + 4 1 + 6 − x
⇔ ( x − 5 ) ( 3x + 1) +

 1 
∀x ∈  − ;6
 3 

ta có:

3
1
+
+ 3x + 1 > 0
3x + 1 + 4 1 + 6 − x

Vậy tập nghiệm của phương trình là:
Ví dụ 2: Giải phương trình:

S = { 5}

.

2 x2 − 5x − 1 = x − 2 + 4 − x

.

Phân tích: ý tưởng tương tự ví dụ 1. Nhận xét pt có một nghiệm
Ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp.
Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ


x−3
x −3
−
= ( x − 3) ( 2 x + 1)
x − 2 +1
4 − x +1
1
1


⇔ ( x − 3) 
−
− 2 x − 1÷ = 0
4 − x +1
 x − 2 +1

⇔

 x = 3 ( t / m)
⇔
1
1

−
= 2 x + 1 ( 1)
 x − 2 + 1
4 − x +1

Nhận xét:
⇒


S = { 3}

.

Ví dụ 3: ( ĐHKD 2006 ) Giải phương trình:
Lời giải:
Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Page 5

x 2 − 3x + 1 + 2 x − 1 = 0

.


Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Nhận xét

x =1

x≥
Đkxđ:
∀x

là một nghiệm của pt.

1
2

2x − 1 + 1

Giải pt (1) , đặt

t = 2x −1 ≥ 0

. Phương trình (1) trở thành:

t = −1 − 2 ( l )
t 2 + 2t − 1 = 0 ⇔ 
t = −1 + 2 ( t / m )

Với

t = 2 − 1 ⇒ x = 2 − 2 ( t / m)

{

S = 1;2 − 2
Vậy tập nghiệm của pt ( 1 ) là:
•

Cách 2:

}

.

x 2 − 3x + 1 + 2 x − 1 = 0 ⇔ x 2 − ( 2 x − 1) − x + 2 x − 1 = 0


Nhận xét :

1
2

.

là một nghiệm của pt.

Lời giải:
Điều kiện xác định:

0 < x ≤1

.

∀x

thỏa mãn điều kiện xác định ta có:
1 − x x2 + 2x
=
⇔ ( 1 + x2 ) 1 − x = ( x2 + 2x ) x
2
x
1+ x
⇔ x2

(

) (

2
x
x


1

 x = 2 ( t / m)
⇔
x2
2x2 + x + 1

+
= 0 ( 1)
 1 − x + x
1 − x + 2x x
0 < x ≤1

Với mọi

ta dễ dàng chứng minh được pt (1) vô nghiệm.

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Page 7


Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

1 


Page 8


Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ
3

3x + 2 + x 3x − 2 = 2 2 x 2 + 1

⇔

(

3

) (

3x + 2 − 2 + x
3x − 6

⇔
3

( 3x + 2 )

2

) (

3x − 2 − 2 = 2

2x + 1 + x + 1 ÷


 x = 2 ( t / m)

3
3x
2x
⇔
+
−
= 0 ( 1)
2
 3 3x + 2 2 + 2 3 3x + 2 + 4
3
x
−
2
+
2
2x + 1 + x + 1
)
 (

(

)

x 3 2 x 2 + 1 − 2 3x − 2 + 3x − 1
3x

3
x
−
2

3x
2x
−
>0
3x − 2 + 2
2x2 + 1 + x + 1
Suy ra

do đó pt (1) vô nghiệm.
S = { 2}

Vậy tập nghiệm của pt là

.
x2 + x + 1 x2
+
=
x+4
2

Ví dụ 6: Giải phương trình :
Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Page 9


Điều kiện xác định:
∀x
Với

thỏa mãn điều kiện xác định ta có:

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Page 10

.

.


Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

x2 + x + 1 x2
+ =
x+4
2

1
x +1
2

+2

 x2 + x + 1   x2 3   1
1 

(

 x2 − 3 = 0 ⇔ x = ± 3 ( t / m )

1
1
1
⇔
+ +
= 0 ( ptvn )
 x2 + x + 1
2 2 x2 + 1 x2 + 1 + 2

+1
x+4


)

(

S=

{

3; − 3

Vậy phương trình có tập nghiệm:

}

.
Đáp án:
.
9 4 x + 1 − 3x − 2 = x + 3
x=6
.
Đáp án:
.
Nhân liên hợp bằng cách thêm bớt ẩn số.

(

)

Phương pháp: Sử dụng máy tính CASIO tìm nghiệm của phương trình, sau đó
thêm bớt biểu thức thích hợp để làm xuất hiện nhân tử chung.
Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Page 11


Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Ví dụ 1: Giải phương trình:

4 x + 2 + 22 − 3 x = x 2 + 8

.

Phân tích:

Cho
Cho

c, d

sao cho

22 − 3x − ( cx + d ) = 0

x = 2 ⇒ 4 = 2c + d

x = −1 ⇒ 5 = − c + d

1

c
=
−

3
⇒
d = 14

3
Lời giải:

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

x = −1; x = 2


 3

− x2 + x + 2
− x2 + x + 2
⇔ 4.
+
= x2 − x − 2
9 x + 2 + 3 x + 12 9 22 − 3 x − 3 x + 42
4
1


⇔ ( x 2 − x − 2 ) 1 +
+
÷= 0
 9 x + 2 + 3 x + 12 9 22 − 3 x − 3 x + 42 
 x2 − x − 2 = 0
⇔
4
1
1 +
+
= 0 ( 1)
 9 x + 2 + 3 x + 12 9 22 − 3 x − 3 x + 42
Ta có:
−2 ≤ x ≤
⇒1+
⇒

22 9 x + 2 + 3 x + 12 > 0

Ví dụ 2: Giải phương trình:

x3 + 3 x 2 − 4 x + 1 = ( x 2 + 3) x 2 − x + 1

.

Phân tích: Sử dụng máy tính CASIO ta nhận thấy phương trình có một nghiệm
x=−

8
7

. Như vậy phương trình có nhân tử chung là

7x + 8

.

Lời giải:
Điều kiện xác định:

x∈¡

+ ta có nhận xét:
 x ≤ −3
 x ≤ −3

x + 3 + x − x +1 = 0 ⇔  2
⇔


− 1÷ = 0
2
 x + 3 + x − x +1 
8

 x = − 7 ( t / m)
⇔
 x 2 + 3 = x + 3 + x 2 − x + 1 ( 1)
2

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Page 14

( không thỏa mãn )


Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Giải phương trình

Đặt

( 1) ⇔ x 2 − x =

t = x2 − x + 1 ( t > 0)

x2 − x + 1

. Phương trình (1) trở thành:

Ví dụ 3: Giải phương trình :

( 4x

2

 8 1 ± 3 + 2 5 
S = − ;

7
2



− x − 7 ) x + 2 = −8 x 2 + 4 x + 10

Lời giải:
Điều kiện xác định:
Với mọi

x

x ≥ −2

.

thỏa mãn điều kiện xác định ta có:

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ



x + 2 + 2 4x2 − x − 3 − 2


(

)

x+2+2 =0


 x + 2 + 2 = 0 ( ptvn )
⇔
 4 x 2 − x − 3 − 2 x + 2 = 0 ( 1)
Giải pt (1) ta có:

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Page 16

)

x+2−2 =0


Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

 x ≥ −2

1


 x = −1 ( t / m )

x = 1 ( l )

4

⇔
 x = 5 + 41 ( t / m )

8

 x = 5 − 41 ( l )
8


Vậy tập nghiệm của pt là

5 + 41 

S = −1;

8 


Ví dụ 4: Giải phương trình :

x2 + x − 1 = ( x + 2) x2 − 2 x + 2

Lời giải:

2
 3 + x − 2x + 2 


x+2
⇔ ( x 2 − 2 x − 7 ) 1 −
÷= 0
2
3
+
x
−
2
x
+
2


 ( x − 1) 2 + 1 − ( x − 1) 
 =0
⇔ ( x2 − 2x − 7 ) 
2
 3 + x − 2x + 2 


2
 x − 2 x − 7 = 0 ( 1)
⇔
 ( x − 1) 2 + 1 − ( x − 1) = 0 ( 2 )


}

pt (2) vô nghiệm.

.

3 ( x 2 + 2 x − 3)

Ví dụ 5: Giải phương trình:

7 x 2 − 19 x + 12
−
= 16 x 2 + 11x − 27
x + 4 −1
12 − 7 x

Lời giải:
Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Page 18

.


Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Điều kiện:
Với mọi

x

⇔ 3 x + 4 + 12 − 7 x = 9

(

(
12 − 7 x ) ( 3

x+4

) (
2

−

12 − 7 x

)(

)

2

⇔ 3 x + 4 + 12 − 7 x = 3 x + 4 + 12 − 7 x 3 x + 4 − 12 − 7 x

(

⇔ 3 x+4+

)


256





Page 19

.

( t / m)

)


Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Ví dụ 6: Giải phương trình:

x3 − x + 2 = 2 3 3x − 2

Lời giải:
Điều kiện xác định:
Với mọi

x

x∈¡

thỏa mãn điều kiện xác định ta có

÷
3

3x − 2 + x 3 3x − 2 + x 2 ÷


 x3 − 3x + 2 = 0 ( 1)

2
⇔ 1 +
= 0 ( ptvn )
2

2
3
3
3x − 2 + x 3x − 2 + x

x = 1 ( t / m)
2
( 1) ⇔ ( x − 1) ( x + 2 ) = 0 ⇔ 
 x = −2 ( t / m )

(

(

)

)


x

thỏa mãn điều kiện xác định ta có

Xét trường hợp 1:
x ≥ 2
7 x 2 + 20 x − 86 = x − 2 ⇔  2
⇔ x = −2 + 19
6
x
+
24
x
−
90
=
0


Thử lại:

x = −2 + 19

không là nghiệm của phương trình trên.

Xét trường hợp 2:
7 x 2 + 20 x − 86 ≠ x − 2 ⇔ x ≠ −2 + 19

Ta có:


 x 2 + 4 x − 15 = 0 ( 1)

⇔
6
x
−
= 0 ( 2)
 7 x 2 + 20 x − 86 + 2 − x
31 − 4 x − x 2 + 4
 x = −2 − 19 ( t / m )

( 1) ⇔ 

 x = −2 + 19 ( l )

( 2) ⇔ 6

31 − 4 x − x 2 + 24 = x 7 x 2 + 20 x − 86 + 2 x − x 2

7 x 2 + 20 x − 86 = 3 x + 2 − x 31 − 4 x − x 2

(

6 31 − 4 x − x 2 + 24 = x 3x + 2 − x 31 − 4 x − x 2
⇔ ( x 2 + 6 ) 31 − 4 x − x2 = 2 x 2 + 4 x − 24

)

⇔ ( 31 − 4 x − x 2 ) + ( x 2 + 6 ) 31 − 4 x − x 2 − x 2 − 7 = 0

Page 22

}

.


Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Ví dụ 8: Giải phương trình:

( 5x

2

− 5 x + 10 ) x + 7 + ( 2 x + 6 ) x + 2 = x 3 + 13x 2 − 6 x + 32

Lời giải:
Điều kiện xác định:
Với mọi

x

x ≥ −2

thỏa mãn điều kiện xác định ta có

( 5 x − 5 x + 10 ) x + 7 + ( 2 x + 6 ) x + 2 = x + 13x − 6 x + 32
⇔ ( 5 x − 5 x + 10 ) ( x + 7 − 3) + ( 2 x + 6 ) ( x + 2 − 2 ) = x − 2 x
2



1
1
1
1

− ÷+ ( 2 x + 6 ) 
− ÷= 0
 x +7 +3 5
 x+2 +2 2

( 1) ⇔ ( 5 x 2 − 5x + 10 ) 

5 x 2 − 5 x + 10 > 0

2 x + 6 > 0

1
1
x ≥ −2 ⇒ 
−
pháp này là đoán được nghiệm của phương trình từ đó ta sẽ biết được cần thêm bớt
hằng số nào, biểu thức nào. Ta có thể dựa vào máy tính cầm tay CASIO để đoán
nghiệm của phương trình.
Ví dụ 1: Cho
5 x − 1 = 3,

x=2

ta có:

x + 2 = 2,

5x − 1 + x + 2 = 5 = 7 − x

Như vậy ta có bài toán sau.
Bài 1: Giải phương trình:
Ví dụ 2: Cho
x − 2 = 1,

x =3

5x −1 + x + 2 = 7 − x

.

ta có:

4 − x = 1,

2 x − 5 = 1, 2 x 2 − 5 x = 3

Ví dụ 4: Xét ba hàm số

như sau:

f ( x ) = x ( x + 1) ( x − 3) + 3 ⇒ f ( 0 ) = 3, f ( 3) = 3
 g ( 0 ) + h ( 0 ) = 3
g ( x) = 4 − x, h( x) = 1 + x ⇒ 
 g ( 3) + h ( 3) = 3
Như vậy hai số 0, 3 là hai nghiệm của phương trình
x ( x + 1) ( x − 3) + 3 = 4 − x + 1 + x
Bài 4: Giải phương trình:
x ( x + 1) ( x − 3) + 3 = 4 − x + 1 + x
Gợi ý:
Ta tìm hàm số

k ( x ) = ax + b

sao cho:

1

k ( 0 ) = 4 − 0 = 2 b = 2
1
a = −
⇒
⇒
3 ⇒ k ( x) = − x + 2

3
3a + b = 1 b = 2