SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH
TRƯỜNG THPT TRỰC NINH

BÁO CÁO SÁNG KIẾN
ĐỀ TÀI: “MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ
VÀ ỨNG DỤNG”

Tác giả:

Nguyễn Đình Dùng

Trình độ chuyên môn:

Thạc sỹ Toán học

Chức vụ:

Phó hiệu trưởng

Nơi công tác:

Trường THPT Trực Ninh

Nam Định, ngày 20 tháng 5 năm 2016


Mục lục

Trang

Thông tin chung về sáng kiến


1.1.2. Cách xác định một dãy số.

4

1.1.3. Giới hạn của dãy số.

5

1.2. Một vài dãy số trong chương trình Toán phổ thông

7

1.2.1. Cấp số cộng.

7

1.2.2. Cấp số nhân.

8

1.2.3. Dãy Fibonacci.

8

1.2.4. Dãy Farey.

9

1.2.5. Dãy Lucas.


bất phương trình hàm.
2.4.3. Ứng dụng tính chất của dãy số trong chứng minh bất đẳng thức.

45

2.4.4. Một vài ứng dụng khác của dãy số.

53

IV. Hiệu quả do sáng kiến đem lại

59

V. Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền

61

Tài liệu tham khảo

62



1

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1.Tên sáng kiến: “ Một số dạng toán về dãy số và ứng dụng”
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học
3.Thời gian áp dụng sáng kiến:

Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến

Trong chƣơng trình Toán phổ thông nói chung, trong các dạng bài tập, đề
thi chọn học sinh giỏi nói riêng thì các bài tập liên quan đến dãy số rất phong
phú, đa dạng. Hiện nay trong các trƣờng THPT nói chung nhiều giáo viên bộ
môn Toán đã khai thác có hiệu quả các vấn đề liên quan đến dãy số, tuy nhiên
việc đi sâu tìm hiểu để dạy, bồi dƣỡng, học sinh giỏi các cấp về dạng bài tập
cho học sinh khá, giỏi liên quan đến dãy số trong chƣơng trình Toán phổ
thông còn hạn chế. Đặc biệt việc bổ sung nguồn tài liệu cho giáo viên tổ
Toán của nhà trƣờng để tham khảo và ôn thi cho học sinh lớp 11,12 nhằm
mục đích cho học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi tỉnh và kì thi học sinh
giỏi quốc gia .
Với mong muốn tìm hiểu, học hỏi và tích lũy thêm kinh nghiệm để phục
vụ ngay chính công tác giảng dạy Toán ở trƣờng THPT , tôi chọn hƣớng
nghiên cứu để viết báo cáo sáng kiến với đề tài: "Một số dạng toán về dãy số
và ứng dụng" với mục đích: Hệ thống và đƣa ra lời giải một cách chi tiết cho
một số dạng bài toán về dãy số và ứng dụng trong bồi dƣỡng học sinh giỏi
Toán ở THPT.
Nhiệm vụ chính của sáng kiến bao hàm:
(1). Hệ thống hóa các kiến thức cơ sở về dãy số, một số tính chất về dãy số và
một số ứng dụng của dãy số đƣợc giới thiệu trong chƣơng trình phổ thông.
(2). Chọn lọc một số dạng bài tập liên quan đến dãy số thƣờng xuất hiện trong
các đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi quốc gia và cố gắng đƣa ra lời
giải tƣờng minh cho những bài tập mà tài liệu tham khảo chƣa đƣa ra lời giải
chi tiết.
II. Mô tả giải pháp
1.Trước khi tạo ra sáng kiến


3

NỘI DUNG.
Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Dãy số
1.1.1. Định nghĩa
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dƣơng ℕ∗ đƣợc gọi là
một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:
u: ℕ∗



n

u(n)

Dãy số thƣờng đƣợc viết dƣới dạng khai triển: u1, u2, u3,…, un, … trong
đó u1 là số hạng đầu, un = u(n) là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của
dãy số.
Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2,3,…, m} với m 

*

đƣợc gọi

là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của của dãy số hữu hạn: u1, u2,
u3,…,um trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối.
Dãy số (un) đƣợc gọi là:
- Dãy đơn điệu tăng nếu un+1 > un, với mọi n = 1, 2, …
- Dãy đơn không giảm nếu un+1  un, với moi n = 1, 2, …
- Dãy đơn điệu giảm nếu un+1 < un, với mọi n = 1, 2, …

n

ii). Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
Ví dụ: Dãy số (un) đƣợc xác định bởi:
u1  1, u2  50

un1  4un  5un1  1975 n  2,3, 4...

iii). Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
Ví dụ: Cho a1 = 19, a2 = 98. Với mỗi số nguyên n  1, xác định an +2
bằng số dƣ của phép chia an + an +1 cho 100.
1.1.3 Giới hạn của dãy số
Định nghĩa. Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là hằng số thực a hữu
hạn nếu với mọi số dƣơng  (có thể bé tùy ý), luôn tồn tại chỉ số

n0 

thể phụ thuộc vào  và vào dãy số (un) đang xét), sao cho với mọi chỉ số

(n0 có
n

,

n  n0 ta luôn có un  a   . Khi đó kí hiệu lim un  a hoặc limun = a và còn
n 

nói rằng dãy số (un) hội tụ về a. Dãy số không hội tụ gọi là dãy phân kì.
Định lý 1: Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất
Định lý 2 (Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass):

 a (Định lý Stolz).
n

Định lý 7: Cho f: D  D là hàm liên tục, khi đó:
i). Phƣơng trình f(x) = x có nghiệm phƣơng trình fn(x) = x có nghiệm.
ii). Gọi  ,  là các mút trái, mút phải của D. Biết lim [f ( x)  x] và
x 

lim [f ( x)  x] cùng dƣơng hoặc cùng âm. Khi đó phƣơng trình f(x) = x có

x  

nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phƣơng trình fn(x) = x có nghiệm duy nhất
trong đó fn(x) = f ( f (....( f ( x)...)
n lân

Chứng minh
i). Nếu x0 là nghiệm của phƣơng trình f(x) = x thì x0 cũng là nghiệm
của phƣơng trình fn(x) = x. Ngƣợc lại, nếu phƣơng trình f(x) = x vô nghiệm thì
f(x) – x > 0 hoặc f(x) – x < 0 với mọi x D do đó fn(x) – x > 0 hoặc

fn(x) – x

< 0 với mọi x  D nên phƣơng trình fn(x) = x cũng vô nghiệm.
ii) Giả sử phƣơng trình f(x) = x có nghiệm duy nhất là x0 thì đây cũng
là một nghiệm của phƣơng trình fn(x) = x. Đặt F(x) = f(x) - x do F(x) liên tục
trên (x0;  ) và  ; x0  nên F(x) giữ nguyên một dấu.
Nếu lim [f ( x)  x] và lim [f ( x)  x] cùng dƣơng thì F(x) > 0 trong khoảng
x  


Định lý 9: Cho hàm f: D  D là hàm nghịch biến. Dãy (xn) thỏa mãn
xn+1 = f(xn), x 

*

. Khi đó: Các dãy (x2n+1) và (x2n) đơn điệu, trong đó một

dãy tăng, một dãy giảm.
i). Nếu dãy (xn) bị chặn thì  = limx2n và  = limx2n+1.
ii). Nếu f(x) liên tục thì  ,  là nghiệm của phƣơng trình f(f(x)) = x (1).
iii). Nếu phƣơng trình (1) có nghiệm duy nhất thì  =  và limxn =  = 
Chứng minh:
i). Vì f(x) là hàm nghịch biến nên f(f(x)) đồng biến. Áp dụng định lý 2
ta có điều phải chứng minh.
ii). Suy ra từ i)
iii). Ta có f(f(x2n) = f(x2n+1) = x2n+2 và lim f(f(x2n) = limx2n+2 =  ,
limx2n =  do f(x) liên tục nên f(f(  ) =  .
Chứng minh tƣơng tự ta có f(f(  ) =  .
Vậy  ,  là nghiệm phƣơng trình f(f(x)) = x.
1.2 Một vài dãy số trong chương trình Toán phổ thông
1.2.1. Cấp số cộng


8

Định nghĩa: Dãy số u1, u2, u3… đƣợc gọi là một cấp số cộng với công
sai d (d  0) nếu un = un – 1 + d với mọi n = 2, 3…
𝑢1 : số hạng đầu tiên; 𝑢𝑛 : số hạng thứ n (tổng quát); 𝑑: công sai.
Tính chất:
- Công sai 𝑑 = 𝑢2 − 𝑢1 = 𝑢3 − 𝑢2 = ⋯ = 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 = ⋯

Tính chất:
𝑢2 𝑢3
𝑢𝑛 +1
=
=⋯=
=⋯
𝑢1 𝑢2
𝑢𝑛
𝑢1 = 𝑎
- Dãy (𝑢𝑛 ) xác định bởi: 𝑢
(∀𝑛 ∈ ℕ∗ ) (𝑎, 𝑞 là các số thực khác
=
𝑢
.
𝑞
𝑛 +1
𝑛
𝑞=

không) là 1 cấp số nhân.
Ta có un = u1qn – 1 với mọi n = 2, 3, …; uk2  uk 1uk 1 với k = 2, 3, …
u1 (q n  1)
Tổng Sn = u1 + u2 + … + un =
q 1

1.2.3. Dãy Fibonacci
Định nghĩa: Dãy 𝑢1 , 𝑢2 , … đƣợc xác định nhƣ sau:
u1  1, u2  2
đƣợc gọi là dãy Fibonacci.



3.

𝑛
𝑖=0 𝑖. 𝑢𝑖

𝑛−1
𝑖=0 𝑢2𝑖+1

= 𝑢𝑛+2 − 1; 2.

= 𝑛. 𝑢𝑛 +2 − 𝑢𝑛 +3 + 2;

= 𝑢2𝑛
𝑛
2
𝑖=0 𝑢𝑖

4.

𝑛
𝑖=0 𝑢2𝑖

= 𝑢2𝑛 +1 − 1

= 𝑢𝑛 . 𝑢𝑛+1

5. 𝑢𝑛−1 . 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛2 = (−1)𝑛
Định lý 11 (Công thức Binet):
Cho (𝑢𝑛 ) là dãy Fibonacci, số hạng tổng quát của dãy là:

𝑢𝑛 + 1 1 + 5
=
𝑛→+∞ 𝑢𝑛
2
lim

1.2.4. Dãy Farey
Định nghĩa: Dãy Farey bậc n là dãy số gồm các phân số tối giản nằm
giữa 0 và 1 có mẫu số không lớn hơn n và sắp theo thứ tự tăng dần.
Ví dụ:

0
1

;

1

bậc 1

1

0 1

1

1 2

1



2

3

1

4

3

2

3

4

1

; ; ; ;

bậc 3

; ; ; ; ; ;

bậc 4

Tính chất:
𝑎


- Nếu 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 = 1 với 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 nguyên dƣơng và 𝑎 < 𝑏, 𝑐 < 𝑑 thì
các số kề nhau trong dãy Farey bậc Max 𝑏, 𝑑

𝑎
𝑏

và

𝑐
𝑑

là


10

- Nếu

𝑝
𝑞

với các số

𝑎
𝑏

𝑐

và


𝑞

< thì

=

𝑎+𝑐
𝑏+𝑑

( đƣợc gọi là mediant của và ).
1.2.5. Dãy Lucas
Định nghĩa: Dãy Lucas là dãy mà (𝑢𝑛 ) xác định bởi:

𝑢𝑛 +1

𝑢0 = 2
𝑢1 = 1
( ∀𝑛 > 1)
= 𝑢𝑛 + 𝑢𝑛−1

Dãy Lucas viết dạng liệt kê: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123,...
Tính chất:
𝑢𝑛 = 𝜑 𝑛 + 1 − 𝜑

𝑛

- Với 𝜑 là tỉ lệ vàng (𝜑 =

= 𝜑 𝑛 + (−𝜑)−𝑛
1+ 5

L n −1 +L n +1
5

Khi chỉ số là số nguyên tố, Ln đồng dƣ với 1 mod n nếu n là số nguyên tố.
- Số nguyên tố Lucas: Số nguyên tố Lucas là số Lucas và đồng thời là
số nguyên tố. Ví dụ: 2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349,...


11

Chương 2: MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ
Trong phạm vi chƣơng 2, chúng tôi chọn lọc một số các ví dụ, bài tập
trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]. Các ví dụ, bài tập
đƣợc sắp xếp theo chủ đề, mặt khác chúng tôi cũng cố gắng đƣa ra lời giải
một cách chi tiết hơn cho một số bài tập để bạn đọc tiện theo dõi.
2.1. Dạng bài toán tìm giới hạn dãy số
Bài toán 2.1.1.[4,tr.31.32] Cho dãy số {un} xác định bởi công thức
u2
1
un1  n  1 ; u1  Chứng
3
2

minh rằng dãy số {un} có giới hạn và tìm giới hạn

đó.
Lời giải:
Ta có: -1 < un < 0,
phƣơng trình x 


3

là giới hạn của dãy.

 a2
 1
u2
 n 1 
 1  . un a . un  a
 2
 2
2



nên un  a  1  1  3  3 => un1  a

3



với n



2.

y1 

x
2


12

Tìm lim yn
n

Lời giải:
1

1

8

2

- Thử trực tiếp, ta thấy rằng − < y2 < . Không mất tính tổng quát, ta
1


nghĩa là:

2

− < yn < , với mọi n > 2.
- Xét hiệu giữa yn và các nghiệm của phƣơng trình
y  y1  

y

x x2

2 2

, có:

y2
2

,

1
1
1 2
y  y2   ( y 2  y12 )   ( y  y1 )( y  y1 )  
y ( y  y1 ) .
2
2
22


N hay lim yn  1  x  1
n

Bài toán 2.1.3. Cho dãy số (xn) xác định nhƣ sau

x0  1 ; xn 

1
n 1  xn1

Tìm lim
Lời giải:

Gọi x là nghiệm của phƣơng trình x 
x  x1 

1

y  1  x  1 sẽ

x0  x
1
1


x  1 1  x0 (1  x)(1  x0 )

1
,
1 x

x  xn
(1  xn )n

vì 0 < xn < 1 (1).

Các nghiệm của phƣơng trình
Vì lim xn  0 nên thay
n

5 1
1
5 1
2
xn 


n
2
 5 1


 2 

x

1
1 x

x



k 2

S 

n
Tính giới hạn lim  2 
n  n 

Lời giải:
x2
 
Ta có: cos x  1  2 x  0; 2  , suy ra:
 
n

n

k 2

k 2





2 

n 



   ...   
k
2
2 2 3
n

 n  2 n  1
2

 Sn 

 n  2  n  1  2

2

2

 n  2  n  1  2  n  1

Chuyển qua giới hạn, ta có:

2



S
1
1
 lim n 



an 
n n2  a1 a2

Tính giới hạn lim
Lời giải:

Dãy {an} là một dãy tăng thực sự. Thật vậy, nếu xảy ra một trƣờng hợp
ak+1



ak thì do giả thiết ak+1 > akak+2 ta thu đƣợc ak+1 > ak+2 và cứ nhƣ thế ta

đƣợc một dãy số nguyên dƣơng giảm thực sự, điều này là không thể.
Do a1 > a0
Đặt



1
2
n


...

 n.
1 nên theo quy nạp ta có an > n, suy ra: a a


2,

1
a 
 xn1 
,
2
xn1 

a > 0, x1 > 0.

Chứng minh rằng dãy trên hội tụ. Tìm giới hạn của dãy.
Lời giải:
Vì x2 

1
a 
 x1 

2
x1 

Cauchy, ta suy ra xn
x

 a

1



15

1

a





       2 2   2  a  0   2  a . Vì  > 0 nên   a .
2


Vậy lim xn  a
n

2
Bài toán 2.1.7. Xác định x1 để dãy {xn}: xn  xn1  3xn1  1(n  2) là một dãy

hội tụ.
Lời giải:
2
Ta có x  3x  1  x, x 

, nên dãy đã cho là dãy tăng.

Giả sử dãy {xn} là hội tụ và lim xn  a thì a  a2  3a  1
x

3
n
2n 1 



.



Tính lim Sn
n

Lời giải:
Sn 1 

n2 
22
23
2n 1 
n2
2
   Sn  1 .

 ... 
2
3
n 1 
2( n  1)
2n  2 

2(n  1)
2n

n(n  2)( Sn  1)  (n  1)2 ( Sn1  1)  n  1 ( Sn  Sn1 )  Sn  1
=
2n(n  1)
2n(n  1)
2

Do Sn  0 nên – Sn-1 < 0. Nếu từ một giá trị k0 nào đó mà Sk0 – Sk0 – 1 < 0 thì
Sk0+1 – Sk0 < 0 => Sk0+2 – Sk0+1 < 0, vì S5 – S4 < 0.
Quy nạp ta có: Sn+1 – Sn < 0

n 

4. Vậy nên Sn+1 < Sn

n 

4. Suy ra

{Sn} là dãy giảm. Ngoài ra {Sn} bị chặn dƣới bởi 0, nên suy ra {Sn} có giới
hạn.
Đặt lim Sn  S . Từ hệ thức quy nạp, chuyển qua giới hạn có S = 1. vậy
x

lim Sn  1

n


liên tục trên [0; 1] nên tồn tại

 x2  1
dx

và nó

0

không phụ thuộc vào cách phân hoạch (P) của [0; 1].
Chọn phép phân hoạch với nút    xi ; xi 1  . Ta chia [0; 1] thành 2n
phần bằng nhau bởi các điểm chia xi 
xi 1  xi 

i
(i  0,1, 2,..., 2n)
2n

. Ta có

1
.
2n

Trên các đoạn  x2i ; x2i 1  hay  x2i 1; x2i 2  (i = 0, 1, …., n-1) ta chọn



2i  1
(là đầu mút chung của 2 đoạn liền kề nhau) suy ra tổng tích phân

n







 x2  1
dx

0



n
Bài toán 2.1.10. Ký hiệu un   cos x cos nxdx, n 
0

n
Xét dãy số  xn  đƣợc xác định theo công thức xn  2 un , n 

. Tính

lim xn

n

Lời giải:
Đặt cosn x  u , cos nx dx  dv theo công thức tích phân từng phần, ta có:


u

c
os
x
sin
x
sin
nxdx

u

u

un
n

1
n
n

1
n
= 2
2
2
2
2
2

thức xn  (1) un 

n



k 1

(1)k
,n *
2k  1

Tính lim xn
n

Lời giải:
Ta viết un dƣới dạng sau:

4


4

0

0






1
;
2n  1

un-1 + un – 2 =

1
1
... u1 + u0 =
2n  3
2 1

n
n

 1k 
(1)k 
n
n 

x


1
u


u


1 un

1
với
4

un .
n=1,2,… Hãy tính lim
n
Lời giải:
Với n 1 , áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
un

1

1 un

2 un 1 . 1 un

1

un

1

un ; (un) là dãy đơn điệu tăng và bị

un , 0
chặn trên bởi 1. Theo nguyên lí giới hạn, tồn tại giới hạn hữu hạn L = lim
n

2

L

2.2 Dạng bài toán tìm tổng, tích của dãy số
Bài toán 2.2.1. Cho dãy số (xn) (n = 1, 2, …) đƣợc xác định nhƣ sau:
x1 = 1 và xn1  xn ( xn  1)( xn  2)( xn  3)  1 với n = 1, 2, …
n

Đặt yn  
i 1

1
(n = 1, 2, ….). Tìm lim yn
n 
xi  2

Lời giải:
Ta có x2 = 5 và xn > 0 với mọi n = 1, 2, …
xn1  xn ( xn  1)( xn  2)( xn  3)  1 

x

2
n

 3xn  xn2  3xn  2   1  xn2  3xn  1 (1)

Suy ra: xn+1 +1 = xn2  3xn  2 = (xn + 1)(xn + 2)
1

1
1
1
1
1


 
= 

xi  2 i 1  xi  1 xi 1  1  x1  1 xn1  1 2 xn1  1

Từ (1) xk+1 = xk2  3xk  1  3xk  3.3k 1  3k . Chứng minh bằng quy nạp ta có: xn
> 3n-1 (2), vì (2) xn+1 > 3n => lim yn 
n 

1
2

Bài toán 2.2.2. Cho dãy (xn) (n = 1, 2, …) xác định bởi:
1

 x1  2


2
 x  xn 1  4 xn 1  xn 1
 n
2



a 2  4a  a
 a = 0 (vô lý), vậy
2

lim xn   .
n 

Từ xn 

xn21  4 xn1  xn1
2

n  2 suy ra xn2  ( xn  1) xn1 

1
1
1


2
xn xn 1 xn

n  2 =>
n

yn  
i 1

1 1

2

Tìm nlim
Sn

Lời giải:
u1  a
Xét bài toán tổng quát: Cho dãy (un) thỏa mãn 
un2  (b  c)un  c 2 Ta
u

 n 1
bc

n

1
1
1


u1  c un 1  c
i 1 ui  b

sẽ chứng minh Sn  
Thật vậy, ta có:
un 1 

=>




u1  b u1  c u2  c
1
1
1


u2  b u2  c u3  c

…………………….
1
1
1


un  b un  c un 1  c

Do đó Sn 

1
1
.

u1  c un1  c

Vận dụng vào bài toán trên với b =1, c = - 1 ta có:
Sn 

Vì xn+1 – xn =


(2 xn  1)2016
 xn . Với n là số nguyên dƣơng.
2016

(2 xn  1)2015
(2 x1  1)2015 (2 x2  1)2015 (2 x3  1)2015


 ... 
Đặt un 
.
2 x2  1
2 x3  1
2 x3  1
2 xn1  1

Tìm lim
un
n
Lời giải:
Ta có xn+1 – xn =

(2 xn  1) 2016
, n  1
2016

2( xn 1  xn )
(2 xn  1) 2015


 2 x1  1 2 xn 1  1 
n

x1  1 ;


22

Mặt khác vì xn + 1 – xn  0 nên dãy (xn) là dãy số tăng n  1 . Nếu (xn) bị
chặn thì lim xn tồn tại.
n
Đặt lim xn = a  a  1 và a 
n
trên hay lim xn =   lim
n
n

1
2 xn 1  1

(a  1)2016
 a (vô lý)  (xn) không bị chặn
2016

=0.

Vậy:
lim un 

n 

Trƣớc hết ta chứng minh dãy (x2n+1) bị chặn dƣới bởi 1.
Theo giả thiết thì x1 = a > 1, giả sử x2k+1 > 1 thì f(x2k+1) > f(1) > 1 nên
hiển nhiên x2k+3>1 tức dãy (x2n+1) bị chặn dƣới bởi 1.
Tiếp theo chứng minh dãy (x2n+1) là dãy giảm. Thật vậy, do x2n+1 > 1
nên lnx2n+1> 0  x2n+3 – x3n+1 = - lnx2n+1 < 0, tức dãy (x2n+1) là dãy giảm 
(x2n+1) có giới hạn c  lim x2 n1 . Chuyển qua giới hạn ta đƣợc c = c – lnc 
n 
c=1. Vậy dãy số (xn) có giới hạn là 1.
Theo định lý Cessaro, ta có