CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
I. Hai đường thẳng vuông góc với nhau
A. Phương pháp chứng minh:
C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng.
C2 : a ⊥ b ⇔ góc(a;b) = 90o .
C3: Dùng hệ quả:
a

a  (P )
a b
b  (P )

b

P

C4: Dùng hệ quả:
b

a

c

b // c , a ⊥ b ⇒ a ⊥ c

C5 : Dùng hệ quả:
a
b

a song song (P )
⇒a ⊥

=
2.AB.A
C

2

2

BA + BC − AC

2

2.BA.BC

B. Bài tập áp dụng
Bài 1 :
Cho tứ diện ABCD đều.
CM: AB vuông góc với CD
Hướng dẫn tóm tắt:
dùng tích vô hướng AB.CD = 0
>> Truy cập trang để học Toán – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1


C2:Gọi M là tđ của AB ,CM cho AB ⊥ (MCD)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2


Bài 2 :
C/M

2.PQ = BD +.AC ⇒ AB.PQ = 0

Bài 6 :

0

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC = BAD = 60 . Chứng minh
a.AB ⊥ CD
b.
Nếu M,N là trung điểm của AB và CD thì MN ⊥ AB, MN ⊥ CD
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Từ g thiết ⇒ ∆ ABC , ∆ ABD là đều.Gọi M là tr đ AB
⇒ CM ⊥ AB;DM ⊥ AB⇒AB ⊥ CD
b.Theo a *có AB ⊥ MN
*Xét ∆ MCD có MC=MD⇒ ∆ MCD cân tai M,N là tr đ CD⇒ MN ⊥ CD.
2a
Bài 7 :
Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh 2a, AB= AC= AD =
3

a.CMR AD vuông góc BC
b,Gọi I là trung điểm CD. Tính góc giữa AB và CD
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Gọi E là tr đ CB ⇒ AE ⊥ BC. ∆ DBC đều ⇒ DE ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (AED)
⇒ BC ⊥ AD
cách 2: BC.AD = BC.( AE + ED) = ⇒ BC ⊥ AD
0

b. I là trung điểm CD ⇒ BI ⊥ CD;AI ⊥ CD ⇒ CD ⊥ AB



2

Hướng dẫn tóm tắt:
2

SC.AD = a ⇒ cos(SC;AD) =

2
5

II. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
A. Phương pháp chứng minh
C1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc với hai
đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng
a
b

b , c cắt nhau , b,c ⊂ (P ) , a ⊥ b, a ⊥ c ⇒ a ⊥ (P )

c

P

C2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuông góc với mặt
phẳng thì đường thẳng kia cũng vuông góc với mặt phẳng
b

a



P

 Lưu ý các kiến thức thường gặp:
- Tam giác ABC cân ở đỉnh A thì đường trung tuyến kẻ từ A cũng là đường cao
- Tam giác đều thì mọi đường trung tuyến đều là đường cao
- Hình thoi, hình vuông có 2 đường chéo vuông góc với nhau
B.Bài tập ứng dụng
Bài 11 : Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy BC.
Gọi I là trung điểm BC.
a. chứng minh BC vuông góc AD
b. kẻ AH là đường cao trong tam giác ADI. Chứng minh AH vuông góc với
mp(BCD)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.BC ⊥ DI và BC ⊥ AI nên BC ⊥ AD
b.AH ⊥ DI và AH ⊥ BC nên AH ⊥
(BCD)
Bài 12 : Cho hình chop SABC. SA vuông góc với đáy (ABC) và đáy là tam giác vuông tại
B.
a .cm BC ⊥ SB
b.Từ A kẻ 2 đường cao AH, AK trong tam giác SAB và SAC. Cm: AH ⊥ (SBC), SC
⊥ ( AHK)
Hướng dẫn tóm tắt:
a. BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ SB
b. AH ⊥ SB và AH ⊥ BC nên AH ⊥
(SBC) AH ⊥ SC và AK ⊥ SC nên SC ⊥
(AHK)
Bài 13 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O với SA = SC, SB = SD.
Chứng minh
a.SO vuông góc với (ABCD)

nên CD ⊥ SC
Bài 16 : Hình chop S.ABC có SA vuông với đáy, tam giác ABC cân ở A. Gọi M là trung
điểm BC. CM:
a.BC ⊥ (SAM)
b.Vẽ AH ⊥ SM tại H. cm AH ⊥ SB
Hướng dẫn tóm tắt:
a.BC ⊥ AM và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAM)
b.AH ⊥ SM và AH ⊥ BC nên AH ⊥
(SBC)
Bài 17 : Cho hình chóp S.ABC có SA =
trung điểm BC. cm:
a.BC ⊥ SA
b.SI ⊥ (ABC)

a 6
2

và các cạnh còn lại đều bằng a. Gọi I là

>> Truy cập trang để học Toán – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh
tốt nhất!

5


Hướng dẫn tóm tắt:
a.
BC ⊥ AI và BC ⊥ SI nên BC ⊥ SA
2
b. AI + SI 2 = SA2 nên SI ⊥ AI tại I. SI ⊥ BC và SI ⊥ AI nên SI ⊥ (ABC)

a.cm các mặt bên của h/c là các tam giác vuông
b.cm (SAC) là mp trung trực của BD
Hướng dẫn tóm tắt:
Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và
mặt phẳng
A. Các định lý

III.

1.

b

 a //
⇒ b ⊥ (α )
b

a ⊥ (α )

a

P

a

2.

(β ) //

(α )

a ⊥ b
a ⊂ (α )
⇒

(α ) ⊥
a //(α )
b

5. 

B. Bài tập ứng dụng
Bài 21 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc (ABCD).
Gọi α là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC, α cắt SC tại I.
a. Xác định giao điểm của SO và ( α )
b. Cm: BD vuông góc SC. Xét vị trí tương đối của BD và ( α )
c. Xác định giao tuyến của (SBD) và ( α )
Hướng dẫn tóm tắt:
a.J là giao điểm của AI và SO thì J là giao điểm của SO và( α )
b.BD ⊥ AC và BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAC) suy ra BD ⊥ SC
c.giao tuyến là đt qua J và song song với BD
Bài 22 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc (BCD) và
SA = AB. Gọi H và M
lần lượt là trung điểm của SB và SD CMR OM vuông góc với (AHD)
Hướng dẫn tóm tắt:
OM //SB mà SB ⊥ (AHD) suy ra OM ⊥ (AHD)
Bài 23 : Cho tam giác ABC cân tại A, I và H lần lượt là trung điểm cạnh AB, BC dựng
SH ⊥ (ABC). Trên đoạn CI và SA lần lượt lấy 2 điểm M, N sao cho MC = 2MI, NA =
2NS. Chứng minh MN ⊥ (ABC)
Hướng dẫn tóm tắt:M là trọng tâm tam giác ABC nên AM=2MH,lại có AN=2NS nên
MN//SH mà SH ⊥ (ABC) suy ra đpcm.

O

x

Khi đó:
góc (();())  góc (Ox;Oy)  xOy   : 0    90o

y

 ()  ()    90o





C2 : Dùng hệ quả:Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu có
nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.

a
β
α

một đường thẳng

a ⊂ (β )
 ⇒ (α ) ⊥ (β )
a ⊥ (α ) 

B. Bài tập ứng dụng:
Bài 25 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Các tam giác SAC và tam giác

Hướng dẫn tóm tắt:
a. Trong tam giác (SBC) có BC ⊥ (SAD) suy ra đpcm
b. ∆ SAB= ∆ SAC.Trong ∆ SAC kẻ đg cao CK ⊥ SA,Trong tam giác SAB kẻ
đg cao BK ⊥ SA.2 tam giác vuông SDA và IKA đồng
IK
IA
a
dạng⇒
=
⇒ IK = suy ra tam giác BKC vuông tại K.
SD

SA

2

Bài 29 : Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam
giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).
a. cm: (SBC) ⊥ (SAC)
b.Gọi I là trung điểm của SC. CMR
(ABI) ⊥ (SBC)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.H là tr điểmAC.SH ⊥ AC nên SH ⊥ (ABC).BC ⊥ CA và BC ⊥ SH nên
BC ⊥ (SAC)suy ra đpcm.
b. SC là giao tuyến của (SAC) và (SBC).tam giác SAC đều nên AI ⊥ SC suy
ra AI ⊥ (SBC).
Bài 30 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy, I, K lần lượt là trung điểm của AB, BC
a. cm SI ⊥ (ABCD)
b. cm SAD, SBC là tam giác vuông

A. Lý thuyết1. Góc của hai đường thẳng

A
a'

a

 =(a;b)

O
b'

B

b

Chọn điểm O tuỳ ý.
Dựng qua O : a’ // a; b’ // b .
Góc (a,b) = góc (a’,b’) = AOB
Thường chọn điểm O  a hoặc O


2. Góc của hai mặt phẳng
 giao tuyến của  và  .
O

OA  ()OB  (  )
 Dựng: 
và 
OA   OB  

B. Bài tập
Bài 34 : Cho tứ diện đều ABCD. Tính các góc sau:
Góc giữa AB và (BCD)
Hướng dẫn tóm tắt:


G là trọng tâm ∆ BCD.BG=
BG.; cos ABG =
1/

a 3
3

.Góc giữa AB và (BCD)=góc giữa AB và
0

3 ⇒ gócABG = 54 44'

Bài635 : Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD) và SA
= a . Tính các góc giữa:
a. SC và (ABCD); SC & (SAD); SB & (SAC); AC & (SBC)
b. (SBC) và (ABCD); (SBD) và (ABCD); (SAB) và (SCD)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.
• .Góc của SC và (ABCD)=góc giữa SC &AC=góc SCA;góc SCA= 600
0
• Góc (SC;(SAD))=góc (SC:SD)=góc CSD=69 17’
0
’
• Góc SB&(SAC)=góc (SB;SH)=góc HSB=15 30 (kẻ BH ⊥ AC thì

b. Tính góc giữa 2 mp (ABCD) và (SAB)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Trong (SAC) có AC ⊥ SO và AC ⊥ BD nên AC ⊥ (SBD) suy ra đpcm
b.Gọi M là tr điểm AB.Góc giữa (SAB)&(ABCD)=góc(MO;SM)=
góc SMO.

7

SM =
a

a
2

;OM =

a

; SO =

6
2

0

’

⇒ ∆SOM vuông tại M;góc SMO=20 42

2

Gọi M là tđiểm AB có DM ⊥ (SAC) nên thiết diện là tam giác SMD
0
Bài 40 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a góc BAD = 60 và
SA = SB = SD =

a 3
2

a. CMR: (SAC) ⊥ (ABCD)
b. CMR SB ⊥ BC
c. Tính góc giữa hai mp(SBD) và (ABCD)
Hướng dẫn tóm tắt:
c.Trong (SBD) có SO ⊥ BD;trong (ABCD) có AC ⊥ BD nên góc của
(SBD)&(ABCD)=(SO;AC)=SOA. Tính được
SO= a
a
2

;AC=

3 ;SC= 7 ; cos SOA = 6
a
2
6

Bài 41 : Cho hình chóp S.ABCD có (SAB) và (ABCD) nằm trong hai mp vuông góc,
ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều. Gọi M,N là trung điểm của AB và DC
a. Chứng minh DC ⊥ (SMN)
b. Tính góc giữa đường thẳng SN với mp(ABCD)
c. Tính góc giữa 2mp(SMC) và (ABCD)

0
a.góc (SBC)&(ABCD)=góc SBA=45
b. Trong tam giác SDC kẻ DK ⊥ SC; trong tam giác SBC kẻ BK ⊥ SC. Góc
(SBC)& (SDC)
= (DK;BK)=góc BKD.có DK=BK.;BD= a2 ;SC ⊥ (BDK) nên SC ⊥ KO do đó tam
giác CKO vuông tại K. KO=
0

a 6
6

0

0

và góc DKO =60 suy ra góc DKB=120 .Vậy góc

(SBC)&(SDC)=60 .

* Chú ý:
a/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =
b/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =a .√3 /2
c/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh
nhau đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của
đỉnh trùng với tâm của đáy)
d/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.