1
Chuyên đề : HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHÔNG GIAN

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong không gian

 x
'
Ox : trục hoành
 y
'
Oy : trục tung
 z
'
Oz : trục cao
 O : gốc toạ độ
 ,,
 
ijk: véc tơ đơn vò
(hay i; j;k
 
: véc tơ đơn vò )
Quy ước : Không gian mà trong đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz được gọi là


đn
M
xyz OM xiyjzk
 Ý nghóa hình học:

; y= OQ ; z = ORxOP
O
z
'x
y
x
'y
k

i

j

. Khi đó véc tơ a

được biểu diển một cách duy nhất theo

,,
 
ijk
bởi hệ thức có dạng :


12 3 12
. . + a . với a ,a

 
aaiaj k .
Bộ số (a
1
;a
2
;a
3
) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véc tơ a

.

Ký hiệu:
12
(; )aaa



(; ; ) và (; ; )aaaa bbbb

thì

*
11
22
33
a

b
ab a b
ab



 






*
112233
(; ; )ab a ba ba b   


*
112 233

thì số k trong trường hợp này được xác đònh như sau:
k > 0 khi
a

cùng hướng b


k < 0 khi
a

ngược hướng b
a
k
b



3
 Đònh lý 4 : , , thẳng hàng cùng phương
A
BC AB AC

 


IV. Tích vô hướng của hai véc tơ:
Nhắc lại:

cos(,)ab a b a b
    2
2
aa
 . 0ab ab 
 
 Đònh lý 6: Cho hai véc tơ
122 123
(; ; ) và (; ; )aaaa bbbb


ta có : 11 22 33
.ab ab a b ab 




 Đònh lý 9: Cho hai véc tơ
123 123
(; ; ) và (; ; )aaaa bbbb


ta có : 11 22 33
a 0ab bab ab   
  Đònh lý 10: Cho hai véc tơ
123 123
(; ; ) và (; ; )aaaa bbbb


ta có : 

 




11 2 2 33





 Đònh lý 11 : Nếu
B
(;;) , B(x;;)
A
AA BB
A
xyz yz và
.
M
AkMB

 
( k

1 ) thì .
1
.
1
.
1








 Đặc biệt : M là trung điểm của AB


2
2
2
A
B
M
A
B
M
A
B
M
x
x
x
yy
y

3
3















A
BC
G
A
BC
G
A
BC
G
x
xx
x
yyy



có tọa độ là : 2331
12
2331
12
;;;
aaaa
aa
ab
bbbb
bb







Cách nhớ
:
123
123
(; ; )
(; ; )
aaaa
bbbb


;
ABCD
SABAD




 

''' '
'
.
;.
ABCD A B C D
VABADAA






1
.;.




  

BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1)
a. Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng
b. Tính diện tích tam giác ABC
c. Tính thể tích tứ diện ABCD
Bài 2: Tính thể tích tứ diện ABCD biết A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)
Bài 3: Cho tứ diện ABCD với A ( 2; 1; 6 ) , B( 3; 1; 4) , C( 5; 1; 0 ) , D(1; 2; 1) . Chứng minh tam giác ABC
vng. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD. 1 2 3
A
B
C
A
B
C
D
A












Chú ý:
 Một đường thẳng có vô số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau.
 Một đường thẳng () hoàn toàn được xác đònh khi biết một điểm thuộc nó và một VTCP của
nó.
2. Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) của mặt phẳng :

n

là VTPT của mặt phẳng

đn

0

Mx;y;z

000
()()()0


x
y
z
C
z
A
y
B
x
Đònh lý 2: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình dạng :

0

A
BC
x
yzD với
222

a

)(

n


);;( CBAn 

);;(
0000
zyxM
0
M

x
y
z
);;( CBAn



7
Các trường hợp đặc biệt:
1. Phương trình các mặt phẳng tọa độ:
 (Oxy):z = 0
 (Oyz):x = 0
 (Oxz):y = 0
2. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
 Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz tại






A1;3;2,B 1;2;3,C 2;0;1. Tìm tọa độ trực tâm của tam giác
ABC.
Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz cho






A1;3;2,B 1;2;3,C 2;0;1. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại
tiếp của tam giác ABC.
Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(9;1;1), cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao
cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 5: Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm




A 0; 0; 3 ; B 2; 0; 1

 và mặt phẳng (P) có phương trình

3x 8y 7z 1 0
. Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC là tam giác
đều.











Ký hiệu:
12 12
: : : : : :
nn
aa a bb b hoặc
12
12

n
n
a
aa
bb b


2. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng
,



b
c
O

8 11 11 11
111 22 2
22 22 22
111 1
222 2
111 1
222 2
A
( ) cắt ( ) A : : : : (hay: )
A
A
( ) // ( )
A
A

ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I. Phương trình của đường thẳng:
1.Phương trình tham số của đường thẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình tham số của đường thẳng ( )

đi qua điểm
0000
(;;)
M
xyz
và nhận
123
(; ; )aaaa

làm VTCP là : 01
02
03
( ): (t )
x
xta
yy ta
zz ta



 

()

đi qua điểm
0000
(;;)
M
xyz
và nhận
123
(; ; )aaaa

làm VTCP là :


2
n

1
n



1
n

2
n






Ví dụ: Cho điểm M(1;2;3) và đường thẳng
xzz
(d):
111



. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm
M và đường thẳng (d) II. Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
:
1.Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho :
đường thẳng
000
123
():






 






123
000
123
00
3
0
12
( ) cắt ( ) Aa 0
( ) // ( )
0
Aa 0
( ) ( )
Aa 0
0
Ba
Ba Ca
Ax By Cz D
Ba Ca


tìm x,y,z
Suy ra: M(x,y,z)

Ví dụ 1
: Cho hai điểm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x - 8y + 7z -1 = 0
Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P).

Ví dụ 2: Cho điểm M(1;1;1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x2y3z140

. Tìm tọa độ hình

n

M
)(
a


n

M
)(

a


n

M

x1 y z2
21 2



.Tìm tọa độ điểm C thuộc (d) sao cho tam giác ABC cân tại đỉnh C.
Ví dụ 5: Trong khơng gian Oxyz cho




A1; 1;0,B3;3;2 và đường thẳng (d) có phương trình
xy1z1
21 1



. Gọi C là hình chiếu vng góc của A trên đường thẳng (d). Tìm tọa độ tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC.
Ví dụ 6: Trong khơng gian Oxyz cho




A 2;0;0 ,B 2;3;0 và mặt phẳng (P) có phương trình
xyz70. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA MB

 
đạt giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 7: Cho đường thẳng


. Tìm tọa độ
điểm M thuộc

1
d
và N thuộc

2
d
sao cho MN song song với mặt phẳng

P:x y z 0
và MN 2
Ví dụ 9: Trong khơng gian Oxyz mặt phẳng


P:x y 2z 3 0

, điểm

A1;1; 2 và đường thẳng

x1 y3 z
:
214


. Viết phương trình đường thẳng (d) qua A, cắt đường thẳng



0
M
'
0
M
a

1

2

b

0
M
u

'u

1

2

'
0
M

   








  




   
''
12 00
''
00
12
'''
12
( ) và ( ) đồng phẳng , . 0
,. 0
( ) cắt ( )
:: : :
( ) // ( ) : :

 


abc x x y y z z
abc a b c x x y y z z

Chú ý: Muốn tìm giao điểm M của
12
() và ()

 ta giải hệ phương trình :
1
2
()
()
pt
pt





tìm x,y,z
Suy ra: M(x,y,z)
Ví dụ: Cho hai đường thẳng

1
xy1z2
d:
21 1





2
d .
III. Góc trong không gian:
1. Góc giữa hai mặt phẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng
,


xác đònh bởi phương trình :

1111
2222
( ): 0
(): 0
A
xByCzD
Ax By Cz D






Gọi

là góc giữa hai mặt phẳng ()&()


ta có công thức:

A
xByCzD



Gọi

là góc giữa hai mặt phẳng ()&()


ta có công thức:
222222
sin
.
Aa Bb Cc
ABCabc







);;(




000
1
000
2
'''
():
():
x
xyyzz
abc
x
xyyzz
abc Gọi

là góc giữa hai mặt phẳng
12
()&()

 ta có công thức: '''
222 '2'2'2
cos

0
222
(;)
A
xByCzD
dM
ABC




Ví dụ : Cho hình tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(2,3,1) ; B(4,1,-2) ; C(6,3,7) ; D(-5,-4,8)
Tính độ dài đường cao hình tứ diện xuất phát từ D.

2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (

) đi qua điểm
0000
(;;)
M
xyz và có VTCP
( ; ; )uabc


. Khi đó khoảng cách từ điểm M

d



và điểm A(1;2;1)
Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d).
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng chéo nhau :

10000
'''' ''''
20000
( ) có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )
( ) có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )
uabc xyz
uabc xyz





Khi đó khoảng cách giữa
12
() và ()

 được tính bởi công thức
);;(
1
cbaa


'
00
12
,'.
(, )
;'


 





uu MM
d
uu
Ví dụ: Cho hai đường thẳng :

 
  

12
112 22


0
M
'
0
M
u

'u

1

2


14
MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN


với

222
0abcd là phương trình của mặt cầu (S) có
tâm I(a;b;c), bán kính


222
Rabcd.
Ví dụ: Cho 4 điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)
Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Xác đònh tâm và bán kính của mặt cầu
II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( )

và mặt cầu (S) có phương trình :





(): 0
2222
():( ) ( ) ( )
A
xByCzD
Sxa yb zc R

Gọi d(I;

) là khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng

M
H
M
R
I
I
R
r
H
M
)(S
)(S
)(S
)(C
z
y
x
O
R
);;( zyxM
)(S
I15

Chú ý:
Khi

cắt mặt cầu (S) thì sẽ cắt theo một đường tròn (C). Đường tròn (C) này có:

điểm M(0;1;-2).
Hết


- Từ hệ

1,2,1
032
2
1
1
1
1
2













H
zyx
z
y
x
trong đó


3,2,3
pBC
nu pt
3
2
2
3
3
4
:






z
y
x
BC

Từ hệ

1,1,1
02323
3
2
2
3
3

Suy ra vtpt của (Q):



1;4;1,' nun .
Do đó pt (Q):
0134 zyx .
Vậy pt





033
0134
:
1
zyx
zyx
d
.

b) +) Gọi
)(

l mặt phẳng qua A v vuông góc với d. Ta có pt
)(

:
08220)3(2)1(2


02323: zyxP . Gọi
B
l điểm đối xứng của
A
qua d . Tìm toạ độ điểm C trong
mặt phẳng

P sao cho đoạn thẳng BC có độ di nhỏ nhất.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đờng thẳng








tz
ty
tx
d
2
3
21
:
v mặt phẳng
(P):
033 zyx .
a) Viết phơng trình đờng thẳng


Suy ra C(3; 2; 2).
+) )1;2;2( AC . Suy ra pt AC:








tz
ty
tx
3
2
21

+) Ta cã B lμ giao ®iÓm cña AC vμ (P), nªn to¹ ®é B tho¶ m·n hÖ:


















0.
PNMN
PNMN







0)4)(1()3()2)(5(
)4()3()2()1()3()5(
00
2
000
2
0
2
0
2
0


1
72
00
00
xz
xy
. Thay vμo (3) ta ®−îc 065
0
2
0
 xx







2,1,3
1,3,2
000
000
zyx
zyx
hay





đỉnh Q biết rằng đỉnh
N
nằm trong mặt phẳng .06:)(




zyx
18Bài giải:

Gi¶ sö );;(
000
zyxM . Khi ®ã tõ gi¶ thiÕt suy ra
5
22
)2()3()1()1(
00
2
0
2
0
2
0
2

5
)22(
)1(
)2()2()3()1(
)1()1()1(
2
00
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2








3
23
1
0
0
x
x







).
3
14
;
3
23
;
3
23

21
:

CDtttD  )1;3;21(
.
Vì
ABCD là hình thang cân với hai đáy AB, CD nên AD = BC. Do đó
6)2()2()2(
222
 ttt





















biết rằng
M
cách đều các điểm CBA ,, và mặt
phẳng ).(


Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB, CD và có
)1;3;1(),0;2;1(),1;1;1(

 CBA . Tìm tọa độ D.

19
hành.
Với







3
2
,
3
8
,
3
5
D thỏa mãn.

23
23

ACDABCD
SS . (1)
+) Ta có
)12;32;3();2;2;1(  tttADAC .
Suy ra
)94;74;4(],[  ttADAC .
Suy ra


14612832
2
1
)94()74(16
2
1
,
2
1
222
 ttttADACS
ACD
. (2)
Từ (1) và (2) ta có
2012812832
2
 ttt
. Suy ra )3;1;0(

Suy ra
)12;12;42(],[ 

yttMIu

Suy ra
2
182412
],[
),(
2




tt
u
MIu
Id
.
Từ giả thiết ta có RIdPId

 );())(;(
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng .
2
1
2
3
1
2

và đường thẳng

là giao tuyến của hai mặt phẳng .04,1



 z
y
x
Viết
p
hương t
r
ình
m
ặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với

và (P).

20











37
;
53
74







RI
. Suy ra phng trỡnh mt cu
2222
53
129
53
143
53
37
53
74










1
dAM

v
2
dCH .


72,1,
1111





tttAdA


42,3,1
111
tttBA

0.
2
BAuABCH
d




tttCdC









2
7
,
2
7
,
2
22
222
ttt
M

1
4
7
2
5
2
22
2

M
H
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC có )3;4;1(B , phơng trình các đờng
thẳng chứa đờng trung tuyến kẻ từ A v đờng cao kẻ từ C lần lợt l
2
7
1
1
1
:
1





zyx
d v
.
1
4
1
3
2
1
:
2







tz
ty
tx
DB
3
:'



'3,, DBtttQ


.
*)


3,3,' tttQA ;


3,,3' tttQC
.

2
1
120cos','cos''cos
0


2
2





ttt
tt
tt

Vậy

1,2,2Q .
Bi 10:

Bi gii:
Từ gt

3,6,6'C , ta chọn


ACtttE

.
Ta có

3,6,0',3,0,6' DB , ta chọn

0,1,1''
6
1
''
DBu
DB

D
z
C
D'
A'

0,3,0
C'


0,0,3

A

3,3,0
B

Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hình hộp chữ nhật '''' DCBABCDA có

3,0,0';0,6,0;0,0,6;0,0,0 ADBA
. Tìm toạ độ hai điểm FE, lần lợt thuộc hai đờng thẳng 'AC
v ''D
B
sao cho 3EF v E
F
song song với mặt phẳng


BDA' .

22
 pt









3
''3,,6
6
:''
222
2


 tttttt .

30963142
22
2
2
2
2
2
2
2
 tttttEF
gt
.

3,3,3;2,4,4 FE .
Thö l¹i thÊy

BDAE '
nªn

BDAEF '//
(tho¶ m·n bμi to¸n) Bài 11: Bài giải:

Lấy

B2; 1;1 d, gọi (d') là đường thẳng qua B và vuông góc với (P)
Phương trình tham số của (d') là:
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x y z 8 0

 và đường thẳng (d):

x2 y1 z1
23 5





Tìm phương trình

 , hình chiếu vuông góc của (d) trên (P).

23

x22t
y1t
z1t



 







 


















 chính là đường thẳng đi qua hai điểm A, H. Ta có

81632 8
AH ; ; 1;2; 4
333 3




. Tìm phương trình
đường thẳng

 qua M, vuông góc a

và cắt (d).

24
Bài giải:
 Lấy điểm
N(d)
, tọa độ N có dạng


N 1 3t; 1 2t;5 3t  , ta có:



MN 23t;32t;65t 









MN a MN.a 0 6 2 3t 2 3 2t 3 6 5t 0 t 0       

311

 và cắt

2
d là giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình:

xyz20,x10

 

25
Bài giải:
 Viết phương trình tham số của đường thẳng


2
d :
x1
y1t
zt










Bài 14: Bài giải:
 Do M (d) (P)  nên tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình:


x3 y2 z1
x1
y3M1;3;0
21 1
z0
xyz20





 










(d) có VTCP



và mặt phẳng (P): x y z 2 0

.
Gọi M là giao điểm của (d) và (P). Viết phương trình đường thẳng



nằm trong (P) saocho



vuông
góc với (d) và khoảng cách từ M đến



bằng 42 .