CHƯƠNG I
PHÉP CHIA HẾT – PHÉP CHIA CÓ DƯ – ĐỒNG DƯ THỨC.
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT .
1. Phép chia hết.
1.1 Đònh nghóa: Cho hai số nguyên bất kỳ a và b ( b
≠
0 ) tồn tại một và chỉ một cặp số
nguyên q và r sao cho: a = b.q + r với 0
≤
r <
b
- Nếu r = 0 thì a chia hết cho b (
)ba
hay a là bội của b, hay b chia hết a hay b là ước của
a. (b \ a)
- Nếu r
≠
0 thì phép chia a cho b là phép chia có dư.
1.2 Một số tính chất.
Với a, b, c, d
∈
Z.
- Nếu a
≠
0 thì
aa
,
a0
- Nếu
ba
và

1.3. Một số đònh lý thường dùng:
- Nếu
ca
và
cb
thì a
±
b

c
- Nếu
ca
và b

thì a
±
b

c
- Nếu a

c và b

d thì ab

cd
Hệ quả Nếu a

b thì a
n

: 2
k
( hoặc 5
k
) ( Với k
∈
N, k
≥
1)
Số dư A : 9 ( hoặc 3) = số dư ( a
n
+ a
n-1
+ …+ a
1
) : 9 ( hoặc 3)
Số dư A : 11 = số dư [( a
1
+ a
3
…) – (a
2
+ a
4
+…)]: 11
Điều kiện để một số chia hết cho 4 ( hoặc 25) là số gồm hai chữ số cuối cùng chia hết cho 4
( hoặc 25).
Điều kiện để một số chia hết cho 8( hoặc 125) là số gồm ba chữ số cuối cùng chia hết cho 8
( hoặc 125).
Điều kiện để một số tự nhiên chia hết cho 11 là là tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ tổng các

b
≡
a( mod m)
a
≡
b ( mod m) và b
≡
c ( mod m)
⇒
a
≡
c ( mod m)
b) a
≡
b ( mod m); c
≡
d ( mod m)
⇒
a + c
≡
b + d( mod m)
a
≡
b ( mod m) ; c
≡
d ( mod m)
⇒
a - c
≡
b - d ( mod m)

a

≡

c
b
( mod m )
e) a
≡
b ( mod m); c > 0
⇒
ac
≡
bc ( mod mc)
Chú ý.
 Với mọi a, b
∈
Z ( a
≠
b), n
∈
N ta có a
n
– b
n


a – b
 Trong n số tự nhiên liên tiếp ( n
≥

⇔
P

6
Với S =
33
2
3
1
...
n
aaa
+++
; P = a
1
+ a
2
+ …+ a
n
, trong đó a
i
∈
Z, i=
n,1

e) Số
1993
1994
1995
được viết dưới dạng tổng của các số mà mỗi số là một số tự

a = ( 1976
1976
– 1974
1974
)( 1976
1975
+1974
1973
)
Bài 8: Tìm số tự nhiên k lớn nhất thõa mãn điều kiện: (1994 . )
1995


1995
k
Bài 9: Chứng minh rằng nếu n là số nguyên tố cùng nhau với 10 thì n
101
và n sẽ có ba chữ số
tận cùng giống nhau.
Bài10:Tìm Tùm chữ số tận cùng của 5
1995
III. HƯỚNG DẪN GIẢI.
Bài 1:
a) n
3
– n = n( n + 1)( n – 1)
n, ( n + 1), ( n – 1) là 3 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2, một số chia hết cho
3, mà ( 2, 3) = 1; 2.3 = 6.
Vậy: n( n + 1)( n – 1)


)(...)()(
3
2
3
21
3
1 nn
aaaaaa
−++−+−

6
Vì
6)(;...;6)(;6)(
3
2
3
21
3
1

nn
aaaaaa
−−−
(Theo câu a)
Do đó: S

6
⇔
P


1( mod 6)
Nên
1993
1994
1995
≡
1 ( mod 6) . Vậy số dư S chia cho 6 là 1.
Bài 2:
Cách1: Rõ ràng b

2 nên ab

2.
Đặt n = 4k + r ( r
≤
0
≤
3 ). Ta có: 2
n
= 2
r
. 2
4k
= 2
r
. 16
k
- Nếu r = 0 thì 2
n
= 16

⇒
2
r
= b
⇒
10a = 2
n
- b = 2
r
( 2
4k
– 1 ) = 2
r
( 16
k
– 1 )

3
⇒
a

3 ( do ( 10, 3) = 1)
⇒
ab

6.
Cách 2: Từ giả thiết ta suy ra b chẵn và b
≠
0. Do đó b chỉ có thể là 2, 4, 6, 8.
Nếu b = 6 thì ab

≡
x(mod 21); 40y
≡
-2y(mod 21); 4z
≡
4z(mod 21);
Suy ra: 400x + 40y + 4z
≡
x – 2y + 4z(mod 21)
Theo giả thiết: 100x + 10y + z

21
Nên 400x + 40y + 4z = 4( 100x + 10y + z)
≡
0 (mod 21)
Suy ra x – 2y + 4z
≡
0 (mod 21)
⇔
x – 2y + 4z

21
Bài 4: Ta có 7
n

≡
1 ( mod 3)
⇒
2.7
n

-2( mod 19)
⇒
17
2n+1

≡
( - 2)
2n+1
( mod 19)
⇒
17
2n+1

≡
- 2
2n+1
( mod 19)
⇒
21
2n + 1
+ 17
2n+1

≡
0( mod 19)
Hay: 21
2n + 1
+ 17
2n+1


  
lần1994)(
1994...1994
ij
−
chia hết cho 1993.
Cách 2: Giả sử số
1994A

1993
⇒
10
4
A +1994

1993
35A + 1

1993
⇔
35A = 1993B + 1992
⇔
2B + 3 = 1995B + 1995 – 35A
⇔
2B + 3

35
⇔
B
≡

≡
≡
)25(mod11974
)25(mod11976
)25(mod11974
)25(mod11976
1973
1975
1974
1976
⇒
a
≡
0(mod 25
2
)
Từ (1) và (2)
⇒
a
≡
0 ( mod 10000)
Vậy a có 4 chữ số tận cùng là 0000.
Bài 8: 1995 = 3.5.7.19
Các bội của 19 trong dãy 1; 2; …; 1994 là 19; 38; …; 1976 gồm 1976 : 19 = 104 số. Tronbg đó
các bội của 19
2
là 361; 722; 1083; 1444; 1805; gồm 5 số.
Do đó số thừa số 19 khi phân tích 1994 . ra thừa số nguyên tố là 104 +5= 109 nên 1994. =
3
109

– n = n( n
100
– 1)
Vì (n, 10) = 1 nên n lẻ .
Ta có: n
100
-1 = (n
50
+ 1)( n
50
-1) = (n
50
+ 1)( n
25
+1) (n
25
-1)
( n
25
+1) và (n
25
-1) là hai số chẵn liên tiếp, nên:
n
100
-1

8 (1)
Vì (n, 10) = 1 nên (n, 5 ) = 1
Ta chứng minh được nếu n không chia hết cho 5 thì n
100

1984
– 1)

10
8
p dụng liên tiếp a
2
- b
2
= (a – b )( a + b)
Ta có: 5
1984
– 1 = (5
31
-1)(5
31
+ 1)(5
62
+ 1)(5
124
+ 1)(5
248
+ 1)(5
496
+ 1)(5
992
+ 1)
Mà : 5
31
– 1

1995
là 48828125 ( = 5
11
)
******************************************************************
CHƯƠNG II
ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT – BỘI CHUNG NHỎ NHẤT.
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Ước chung lớn nhất.
1.1 Đònh nghóa:
Cho hai số nguyên dương a và b.
Số d là ước chung lớn nhất của a và b ký hiệu ƯCLN( a, b ) hay (a, b) khi và chỉ khi d là ước
chung của a và b; d là bội của mọi ước chung của a và b.
Nếu ( a
1
, a
2
, a
3
,

… a
n
) = 1 thì ta nói các số a
1
, a
2
, a
3
, …, a







d = (a; b)
⇔
1;
=






d
b
d
a
b) (ca; cb) = c(a;b)
c) (a; b) = 1 và b\ ac thì b\ c
d) (a; b) = 1, (a; c) = 1 thì (a; bc) = 1
e) ( a; b; c) = ((a; b); c)
1.3 Tìm ƯCLN bằng thuật toán Ơclit
Cho a > b > 0
Nếu a= b.q thì (a; b) = b
Nếu a = bq + r ( r
≠
0) thì (a; b) = (b; r)

2
) = ( r
2
; r
3
)
………………………………………………………………….
r
n-2
= r
n-1
q
n-1
+ r
n
thì (r
n-2
; r
n-1
) = ( r
n-1
; r
n
)
r
n-1
= r
n
q
n