Chuyên đề Hình Học không gian tổng hợp
Tuyển tập 100 bài tập hình học không gian tổng hợp.
Bài 1.Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau,có giao tuyến là đường thẳng Trên lấy hai
điểm A,B với AB=a.Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C,trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC,BD
cùng vuông góc với và .Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A
đến mặt phẳng (BCD) theo a.
Bài 2. Cho hình chóp ta giác S.ABC có đáy ABC à tam giác đều cạnh a,SA=2a và SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC).Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và
SC.Tính thể tích khối chóp A.BCNM.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với và SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD).Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC;I là giao điểm của BM à AC. Chứng minh
rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB).Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Bài 4. Cho hình trụ các đấy là hai hình tròn tâm O và O',bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a.Trên
đường tròn đáy tâm O lấy điểm A,trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B sao cho AB=2a.Tính thể
tích của khối tứ diện OO'AB.
Bài 5. Cho hai nửa đường thẳng Ax,By chéo nhau và vuông góc nhau.Có AB là đường vuông góc
chung,AB=a.Ta lấy các điểm M trên Ax,N trên By với Am=x,BN=y.
1. Chứng minh rằng các mặt của tứ diện ABMN là các tam giác vuông.
2. Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện ABMN theo ,x,y.
Bài 6. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [B,A'C,D]
Bài 7. Cho hình lăng trụ đứng có đấy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc .Gọi M là trung điểm cạnh
AA' và N là trung điểm cạnh CC'.Chứng minh rằng bốn điểm B',M,D,N cùng thuộc một mặt
phẳng.Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN là hình vuông.
Bài 8. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng các hình chóp đỉnh G với đáy là các mặt của tứ diện
ABCD có thể tích bằng nhau.
Bài 9. Cho tứ diện .Với điều kiện nào đối với đường thẳng nối trung điểm của các cặp cạnh đối là
đường vuông góc chung của chúng.
Bài 10. Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai cạnh bên và mặt đáy bằng
α
.Tính
tang của góc giữa hai mặt phẳng và theo.TÍnh thể tích khối chóp theo a và

vuông và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)
Bài 20. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng các đường thẳng nối mỗi đỉnh của tứ diện với trọng
tâm của mặt đối diện đồng quy tại một điểm.Gọi điểm đó là G.
Bài 21. Cho hình cóp tam giác đều S.ABC đỉnh S,có độ dài cạnh đáy bằng a.Gọi M và N lần lượt là
các trung điểm của các cạnh SB và SC.Tính theo a diện tích tam giác AMN ,biết rằng mặt phẳng
(AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Bài 22. Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABD); AC = AD = 4cm; AB
= 3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (ACD).
Bài 23. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
α
. Tính
thể tích hình chóp đã cho .
Bài 24. Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm
của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc
với mặt phẳng (SBC).
Bài 25. Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy a và cạnh bên bằng m. Tính thể tích hình chóp
theo a và m .
Bài 26. Cho tứ diện ABCD có: AC = AD = BC = BD = a, AB = 2m , CD = 2n.
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và CD .
a. Chứng minh rằng IK là đoạn thẳng vuông góc chung của 2 cạnh đối nhau AB và CD.
b. Tính IK theo a, m và n.
Bài 27. Cho đường tròn đường kính nằm trong mặt phẳng và . Gọi là điểm thuộc đường tròn khác
và . Chứng minh rằng mặt phẳng nếu vuông góc với một trong ba cạnh bên cũng sẽ cắt hình chóp
theo một thiết diện là một tam giác vuông .
Bài 28. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên . Gọi D, E lần
lượt là trung điểm của AB và A'B'.
1. Tính thể tích khối đa diện ABA'B'C'
2. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (CEB')
Bài 29. Cho tứ diện OABC có góc
0

Bài 35. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABC có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính khoảng cách từ điểm S
đến mp (ABCD)
Bài 36. Cho góc tam diện vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lấy lần lượt các điểm A, B, C có OA = a, OB
= b, OC = c.
Ngọc Vinh
2
Chuyên đề Hình Học không gian tổng hợp
1. Chứng minh rằng tam giác ABC có 3 góc nhọn.
2. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Hãy tính OH theo a, b, c.
2. Chứng minh rằng bình phương diện tích của tam giác ABC bằng tổng bình phương diện tích các
mặt còn lại của tứ diện .
Bài 37. Cho hình chóp tam giác , các cạnh còn lại đều bằng 1.
1. Tính thể tích hình chóp theo x,y.
2. Với x,y là giá trị nào thì thể tích hình chóp là lớn nhất?
Bài 38. Cho khối lăng trụ tam giác mà mặt bên có diện tích bằng 4. Khoảng cách giữa cạnh và mặt
bằng 7.
Tính thể tích khối lăng trụ .
Bài 39. Cho hình nón có đường cao h. Một mặt phẳng đi qua đỉnh S của hình nón tạo với mặt phẳng
đáy hình nón một góc , đi qua hai đường sinh SA, SB của hình nón và cắt mặt đáy của hình nón theo
dây cung AB, cung AB có số đo bằng . Tính diện tích thiết diện SAB.
Bài 40. Cho 2 nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau và nhận là đoạn vuông góc chung. Lấy
điểm M trên Ax và điểm N trên By sao cho . Xác định tâm I và tính theo a bán kính R của mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABMN. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và BI.
Bài 41. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh SB vuông góc với đáy
(ABC). Qua B kẻ BH vuông góc với SA, BK vuông góc với SC. Chứng minh SC vuông góc với
(BHK) và tính diện tích tam giác BHK biết rằng AC = a, BC =
3a
, SB =
2a
.

Bài 48. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình chữ nhật với: . Các cạnh bên của hình chóp bằng
nhau và bằng .
Ngọc Vinh
3
Chuyên đề Hình Học không gian tổng hợp
a) Tính thể tích của hình chóp S.ABCD.
b) Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SC, SD. Chứng minh rằng SN vuông
góc với mặt phẳng (MEF).
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Bài 49. Cho tứ diện O.ABC có cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và . Kí hiệu K, M, N
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao
điểm của CE với mặt phẳng (OMN).
a) Chứng minh rằng: CE vuông góc với mặt phẳng (OMN).
b) Tính diện tích của tứ giác OMIN theo a.
Bài 50. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = . Chứng minh mp(SAB) vuông
góc với mp(SAC).
Bài 51. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh bằng a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SCD
là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh rằng SI vuông (SCD), SJ vuông (SAB).
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng SH vuông AC.
c) Gọi M là 1 điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông SA. Tính AM theo a.
Bài 52. Chứng minh rằng :
Tổng cos của các nhị diện tạo bởi 4 mặt của tứ diện luôn luôn bé thua hoặc bằng 2
Bài 53. Cho tứ diện ABCD với tâm diện vuông đỉnh A. Xác định vị trí điểm M để :
P= , đạt min
Bài 54. Cho tứ diện SABC. Đáy ABC có trọng tâm G. Hãy phân tích vector theo 3 vector theo 3
vector :

Bài 55.Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1;4;5) ; B(0;3;1) ; C(2;-1;0) và mặt phẳng (P) có

Bài 61. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D', có chiều cao a và cạnh đấy 2a
Với M là một điểm trên cạnh AB. Tìm giá trị lớn nhất của góc A'MC'
Bài 62. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a ; AD = 2a . Tam giác
SAB vuông cân tại A . M điểm trên cạnh AD ( M khác A và B ) . Mặt phẳng qua M và song song với
mặt phẳng (SAB) cắt BC ; SC ; SD lần lượt tại N;P;Q .
a) Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuông .
b) Đặt AM = x . Tính diện tích hình thang MNPQ theo a ; x
Bài 63. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD .
a) Chứng minh rằng AO vuông góc với CD.
b) Gọi M là trung điểm CD. Tính cosin góc giữa AC và BM.
Bài 64. Cho hình lăng trụ đứng , đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh .
Gọi M,N lần lượt là trung điểm và .
a) Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng P qua MN và vuông góc với mặt phẳng . Thiết diện
là hình gì.
b) Tính diện tích thiết diện.
Bài 65. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O , SA = a và vuông góc
với mặt phẳng (ABCD). Gọi I, M theo thứ tự là trung điểm của SC, AB.
a) Tính khoảng cách từ I đến CM.
b) Tính khoảng cách từ S đến CM.
Bài 66. Cho hình chóp S.ABCD có và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Đáy ABCD
là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn bán kính AD = 2a .
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 67. Cho tứ diện đều ABCD cạnh là a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
a) Chứng minh rằng AO vuông góc với CD.
b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính cosin của góc giữa AC và BM.
Bài 68. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O . Gọi M;N lần lượt là trung
điểm SA và BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) là
a) Tính độ dài đoạn MN.
b) Tính cosin của góc giữa MN và mặt phẳng (SBD).