Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
A. Đặt vấn đề
Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức toán học quan
trọng, lý thú. Đồng thời cũng rất phong phú và không đơn giản đối với học sinh
bậc THCS.
Vấn đề này đợc giới thiệu khá đầy đủ trong chơng trình 8 và có thể coi là
nội dung lòng cốt của chơng trình bởi nó đợc vận dụng rất nhiều ở các chơng
sau, trong các phần: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu các phơng thức, biến
đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ (vô tỷ lớp 9), giải phơng tình. Thực tế giảng dạy
cho thấy với số tiết dạy theo phơng pháp chơng trình, đa số học sinh còn lúng
túng và đối với học sinh khá giỏi thì còn rất nhiều vấn đề của kiến thức cha đề
cập tới.
Vậy dạy phân tích đa thức thành nhân tử nh thế nào cho đại trà học sinh
và để bồi dỡng học sinh khá giỏi đạt kết quả tốt là một vấn đề cần đợc quan
tâm. Và để đạt kết quả đó, ngoài phơng pháp truyền thụ, ngời thầy phải nắm đ-
ợc kiến thức một cách nhuần nhuyễn. Đó chính là lý do tôi đa ra đề tài này. Về
nội dung đề tài, sau khi giới thiệu những phơng pháp cơ bản, phơng pháp đặc
biệt, tôi đa ra các bài tập vận dụng cụ thể.
Tất cả các phần đều đợc trình bày theo lôgic. Giới thiệu phơng pháp các
bớc làm, ví dụ minh hoạ.
Với nội dung và cách trình bày trên, hy vọng đề tài này không chỉ là tài
liệu hớng dẫn đối với học sinh mà còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho việc
giảng dạy của giáo viên các trờng THCS.
Trờng đại học S Phạm Hà Nội I
1
Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
B. NộI DUNG
Phần 1: Các phơng pháp phân tích đa thức
thành nhân tử
I. Các ph ơng pháp cơ bản :
1. phơng pháp đặt nhân tử chung

x + 1)
2) Ph ơng pháp dùng hằng đẳng thức.
a) Phơng pháp: Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích
đa thức thành nhân tử.
b) Ví dụ:
9x
2
4 = (3x)
2
2
2
= ( 3x- 2)(3x + 2)
8 27a
3
b
6
= 2
3
- (3ab
2
)
3
= (2- 3ab
2
)( 4 + 6ab
2
+ 9a
2
b
4

2
+ 1) 3( x
2
+ 1)
= ( x
2
+ 1)( 2x 3)
x
2
- 2xy + y
2
16 = ( x- y)
2
- 4
2
= ( x y 4)( x y + 4)
4) Phối hợp nhiều ph ơng pháp
a) Phơng pháp :+ Chọn các phơng pháp theo thứ tự u tiên.
+ Đặt nhân tử chung.
+ Dùng hằng đẳng thức.
+ Nhóm nhiều hạng tử.
b) Ví dụ:
3xy
2
12xy + 12x = 3x( y
2
4y + 4)
= 3x(y 2)
2
3x

= 3xy( x -1 y a)(x -1 +y + a)
5 Ph ơng pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.
a) Phơng pháp: Tách một hạng tử thành hani hạng tử để đa thức có
nhiều hạng tử hơn rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử
chung.
b) Ví dụ: Phân tích: x
2
- 6x + 8
Trờng đại học S Phạm Hà Nội I
3
Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
* Cách 1: x
2
6x + 8 = x
2
2x 4x + 8
= x(x 2) 4( x 2) = (x- 2)(x- 4)
* Cách 2: x
2
- 6x + 8 = x
2
6x + 9 - 1
= (x 3)
2
1 = ( x 3 -1)(x-3 + 1)
= (x- 4)( x- 2)
* Cách 3: x
2
- 6x + 8 = x
2

4x 3
Tính tích: ac = 4.(-3) = - 12
Phân tích : - 12 = -1.12 = 1.(-12) = - 2.6 = -3.4 = 3.(-4)
Chọn 2 thừa số có tổng là : - 4 đó là 2 và (-6)
4x
2
4x 3 = 4x
2
+ 2x - 6x 3 = 2x(2x + 1) 3(2x+ 1)
= (2x+ 1)(2x 3)
Trờng đại học S Phạm Hà Nội I
4
Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
* Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành 2 hạng tử rồi đa đa thức về dạng
hiệu hai bình phơng.
Ví dụ: 4x
2
4x 3 = 4x
2
4x +1 4 = ( 2x 1) -2
2

= ( 2x -1 -2)( 2x- 1+ 2)
= (2x + 1)(2x- 3)
3x
2
8x + 4 = 4x
2
8x + 4 x
2

+ 9 6x)(2x
2
+ 9 + 6x)
x
7
+ x
2
+ 1 = x
7
x + x
2
+ x + 1 = x(x
6
1) + (x
2
+ x + 1)
= x(x
3
1)(x
3
+ 1) + (x
2
+ x + 1)
= x(x
3
+1)(x- 1)(x
2
+ x + 1) + ( x
2
+ x + 1)

1)( 2x
2
3)
Trờng đại học S Phạm Hà Nội I
5
Đề tài: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
+) (x
2
+ x)
2
+ 3( x
2
+ x) + 2 Đặt x
2
+ x = y
Ta có y
2
+ 3y +2 = ( y + 1)( y + 2)
Vậy : (x
2
+ x)
2
+ 3( x
2
+ x) + 2 = (x
2
+ x + 1)(x
2
+x + 2)
2.Ph ơng pháp hệ số bất định.

rồi gán cho các biến giá trị cụ thể xác định các thà số còn lại.
b) Ví dụ:
p = x
2
( y z) + y
2
(z c) + z(x - y)
Thay x bởi y thì p = y
2
( y z) + y
2
( z y) = 0
Nh vậy p chứa thừa số(x y)
Trờng đại học S Phạm Hà Nội I
6