sở giáo dục - đào tạo
quảng ninh
-------- --------
kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
lớp 9 năm học 2004-2005
đề thi chính thức
môn : Toán
(bảng A)
Số BD: ........
Thời gian làm bài : 150 phút
Chữ ký GT 1
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1:
1) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n thoả mãn: n
2
+ 2006 là số
chính phơng.
2) Giải phơng trình:
( )
22
2
+
x
=
15
3
+
x
Bài 2:
Cho các số thực x, y thoả mãn điều kiện sau:
5

.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
2
2
12
2
21
2
33
33 a
axax
axax
a
++
+
++
Bài 4:
Gọi O là tâm đờng tròn tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác
ABCD. Qua A, B, C, D lần lợt vẽ các đờng thẳng d
A
, d
B
, d
C
, d
D
sao cho d
A
OA,
d

Bài 1.1
3 điểm
Giả sử tồn tại số tự nhiên n thoả mãn n
2
+ 2006 là số chính phơng
thì n
2
+ 2006 = m
2
với m là số tự nhiên => (m-n)(m+n) = 2006 (*). 1,0 đ
Khi đó:
- nếu m và n khác tính chẵn lẽ thì (m-n)(m+n) lẻ . Mâu thuẫn với (*)
- nếu m và n cùng tính chẵn lẽ thì (m-n)(m+n) chia hết cho 4, nhng 2006
không chia hết cho 4. Cũng mâu thuẫn với (*)
Tóm lại giả sử trên không đúng.
Vậy không tồn tại số tự nhiên n thoả mãn n
2
+ 2006 là số chính phơng.
0,5 đ
1,0 đ
0,5 đ
Bài 1.2
3 điểm
ĐK: x
3
+ 1 0 (*).
Biến đổi phơng trình đã cho (1) <=>
( )
22
2

0,5 đ
0,75 đ
Thay vào (1); giải các phơng trình; tìm đợc: x =
2
375
+
và x =
2
375

Thử và thấy các giá trị trên thoả mãn điều kiện (*)
Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm: x =
2
375
+
và x =
2
375

1,0 đ
0,25 đ
Bài 2
3 điểm
Giả sử có x, y thoả mãn
5
2
+
x
+
1

2
=
5
2
+
y
+
1

y
+ y
2
<=>
<=> (
5
2
+
x
-
5
2
+
y
) + (
1

x
-
1


-y
2
) =
0
<=> (x - y).((x+y)/(
5
2
+
x
+
5
2
+
y
) +1/(
1

x
+
1

y
) +x+y)=
0
<=> x - y = 0 <=> x = y
(vì : (x+y)/(
5
2
+
x

+ 4a > 0 (1) ; x
1
2
- 3ax
1
- a = x
2
2
- 3ax
2
- a = 0 ; x
1
+ x
2
= 3a
=> x
1
2
= 3ax
1
+ a ; x
2
2
= 3ax
2
+ a (2)
0,5 đ
1,0 đ
Bài Sơ lợc lời giải Cho
điểm

2
+ 4a > 0 nên áp dụng BĐT Côsi, ta đợc A 2.
A = 2 <=> 9a
2
+ 4a = a
2
<=> a = -1/2.
Dễ kiểm tra thấy với a = -1/2 thì x
1
= -1 và x
2
= -1/2
1,0 đ
0,5 đ
Vậy A
nhỏ nhất
= 2, đạt đợc khi a = -1/2 ; x
1
= -1 và x
2
= -1/2 0,5 đ
Bài 4
Hình vẽ:
4. 1)
4 điểm
Dễ thấy AKBO, BLCO, CMDO và DNAO là các tứ giác nội tiếp.
và các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD tơng ứng là phân giác các góc A, B,
C, D của tứ giác ABCD. 1,5 đ
Có KOL + LOM = - OKB - OLB + - OLC - OMC
= - BAO - BCO + - CBO - CDO