CHUYấN CHNG MINH NG THC V CC BI TON TNH GI
TR BIU THC CHN LC LP 9 (Cể HNG DN CHI TIT)
Bài tập 1. Cho a + b + c = 0, a, b, c # 0. Chứng minh hằng đẳngthức:
HD. VT =

1
1
1
1 1 1
+ 2+ 2 = + +
2
a
b
c
a b c

1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
+ 2 + 2 =
+ 2 + 2 + 2
+
+ 2

a b c
a b c
abc abc bca
a b c
abc
a b c
Bài tập 2: Chứng minh rằng số: 2 + 3 + 5 là số vô tỉ.
HD.Giả sử: 2 + 3 + 5 = a (a hữu tỉ ).Thế thì 2 + 3 = a 5 .Bình phơng hai vế ta đợc:
a2
2
,
5 + 2 6 = a + 5 2a 5 6 + a 5 =
2
a4
6 5a 2
4
a
tiếp tục BPHV ta có:
(hiển nhiên a # 0 ),
2
4
6 + 5a + 2a 30 =
30 =
4
2a
30 là số hữu tỉ,vô lí . Vậy 2 + 3 + 5 là số vô tỉ.
Bài tập 3: a)Rút gọn biểu thức: A = 1 +

1
1

=
=
HD. a). A = 1 + 2 +
a
(a + 1) 2
a 2 (a + 1) 2
a 2 (a + 1) 2
b)Tính giá trị tổng: B = 1 +

=

a 2 (a + 1) 2 + 2a 2 + 2a + 1 a 2 (a + 1) 2 + 2a (a + 1) + 1 a 2 (a + 1) 2 + 2a (a + 1) + 1 [ a (a + 1) + 1]
=
=
=
a 2 (a + 1) 2
a 2 (a + 1) 2
a 2 (a + 1) 2
a 2 (a + 1) 2

2

2

a2 + a + 1
a 2 + a + 1
=
; Với a > 0 nên A > 0 và A = a (a + 1) .
a(a + 1)
1

1 1 1 1 1 1 1
= 99 + + + +

= 99,99.
= 100
100
1 2 2 3 3 4 99 100
Bài tập 4. Rút gọn biểu thức:
1
1
1
1
+
+
+ ... +
a)
A=
1+ 2
2+ 3
3+ 4
n 1 + n

CHUYấN CHNG MINH NG THC V CC BI TON TNH GI TR BIU THC CHN LC LP
1 9


b)

B=


=
=
làm tơng
1
1+ 2
2 +1 2 1
tự ta đợc:
2 1
3 2
4 3
n 1 n
A=
+
+
+ ... +
= 2 1 + 3 2 + 4 3 + ... + n n 1
1
1
1
1
= 2 1 + 3 2 + 4 3 + ... + n n 1 = n 1 .
1
1
1
1
+
+
+ ... +
b) B =
=

2 1(2 1)
( 2 1)

+

+

2+ 2
1

1

+

( 3 2)
3 2 (3 2)

( 3 2)

( 4 3)

+

4 3 ( 4 3)

( 4 3)

+

+ ... +

10 10
2
2
3
3
4
99
100
c)Trục căn thức rồi rút gọn.
Bài tập 5. Cho các số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 1.Tính giá trị của biểu thức:
1+ z2 1+ x2
1+ y2 1+ z2
1+ x2 1+ y2
y
+
.
A= x
+
z
1+ y2
1+ x2
1+ z2
HD. Thay xy + yz + zx = 1 vào 1 + y2 ta đợc: xy + yz + zx + y2 = ( xy + y2 ) + ( yz + zx ) = y( x + y) +
z( x + y ) = ( x + y ) ( y + z );
Tơng tự thay xy + yz + zx = 1 vào 1 + x2 ta đợc xy + yz + zx + x2 = ( z + x ) ( x + y );
xy + yz + zx = 1 vào 1 + z2 ta đợc xy + yz + zx + z2 = ( y + z ) ( z + x );
Thay tất cả vào biểu thức A rút gọn ta đợc kết quả: A = 2 xy + 2 yz + 2 xz

(


3

z
3 + y2
3 + x2
3+ z2
HD. Thay xy + yz + zx = 3 vào 3 + y2 ta đợc: xy + yz + zx + y2 = ( xy + y2 ) + ( yz + zx ) = y( x + y) +
z( x + y ) = ( x + y ) ( y + z );
Tơng tự thay xy + yz + zx = 3 vào 3 + x2 ta đợc xy + yz + zx + x2 = ( z + x ) ( x + y );
xy + yz + zx = 3 vào 3 + z2 ta đợc xy + yz + zx + z2 = ( y + z ) ( z + x );
Thay tất cả vào biểu thức B rút gọn ta đợc kết quả: B = 3.

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)



2

2

Bài tập 9. Chứng minh rằng:
a
a
;
= an n
a 1
a 1
b)Nếu a 0, b 0 thì a + b = a + b ab = 0 ;
c) 3 a + b = 3 a + 3 b ab( a + b ) = 0
a)Nếu a > 1, với mọi n N ta đều có:

n

a+

n

a
a.a n a a n a.a n
a
n
, với a > 1, với mọi n N .
=
=
= an n

Bài tập 11.Cho x = by + cz, y = ax + cz, z = ax + by và x + y + z # 0.
2
2
2
.
+
+
1+ a 1+ b 1+ c
HD. Cộng vế với vế ta đợc: x + y + z = 2(ax + by + cz ) ,
Tính giá trị của biểu thức: B =

thay thích hợp ta đợc: x + y + z = 2( z + cz ) = 2 z (1 + c) 1 + c =

x+ y+z
;
2z

CHUYấN CHNG MINH NG THC V CC BI TON TNH GI TR BIU THC CHN LC LP
3 9


tơng tự ta có; 1 + b =
B=

x+ y+z
x+ y+z
1 + a =
; thay vào B ta đợc:
2y
2x

yt + 1

Cộng trừ vế với vế ta đợc:

t

=

xy + 1
y
xt + 1
x

x y=

1

y t=

1
x



=

t

= x+


( y t) t x
xyt

1
x

t x=

;

t x

Nhân vế với vế ta đợc: ( x y )( y t )( t x ) =

t

= t+

;

t x

=

1

= y+

y t
y t

;

) x. y.t = 1

x y = 0; y t = 0; t x = 0 x = y = t

Bài tập 13. Cho a, b, c đôi một khác nhau và thoả mãn ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 .
a2
b2
c2
.
+
+
a 2 + 2bc b 2 + 2ac c 2 + 2ab
HD. ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca = a 2 + b 2 + c 2 2ab + 2bc + 2ca = 0
ab + bc + ca = 0 ab = bc ca, bc = ab ca, ca = ab bc , thay vào P ta đợc:
Tính giá trị biểu thức: P =

P=

a2
b2
c2
a2
b2
c2
+
+
=
+

b 2 (a c)
c 2 ( a b)
=

+
(a c)(a b)(b c) (a b)(b c)(a c) (b c)(a c )(a b)
=

a 2 (b c ) b 2 (c a ) + c 2 (a b)
a 2 (b c) b 2 a + b 2 c + c 2 a c 2 b
=
=
(a c)(a b)(b c )
(a c )(a b)(b c)

CHUYấN CHNG MINH NG THC V CC BI TON TNH GI TR BIU THC CHN LC LP
4 9


a 2 (b c ) b 2 a + c 2 a + b 2 c c 2 b
a 2 (b c ) a (b + c)(b c) + bc(b c )
=
=
(a c)(a b)(b c)
(a c)(a b)(b c)
(b c)(a 2 ab ac + bc )
(b c)[ a (a b) c(b c)]
(b c)(a b)(a c)
=
=

Ta lại có: a + b + c = 0 a = (b + c ) a 3 = [ ( b c ) ] 3 a 3 = (b 3 + c 3 + 3b 2 c + 3bc 2 )
a 3 + b 3 + c 3 = (3b 2 c + 3bc 2 ) a 3 + b 3 + c 3 = 3bc(b + c ) a 3 + b 3 + c 3 = 3bc(a )
Thay (*),(**),(***) và A ta đợc: A =

a 3 + b 3 + c 3 = 3abc, (* * * * *)
3(a 3 + b 3 + c 3 )
3.3abc
=
= 9 =3
abc
abc
a b c
x y z
+ + = 1.
Bài tập 15. Cho a, b, c và x, y, z khác nhau và khác 0 thoả mãn: + + = 0 và
x y z
a b c
Thay (*****) vào (****) ta đợc: A =

Tính M =

x2 y2 z2
+
+ ; (* * *) .
a2 b2 c2
2

xy
yz
x y z

+ = 1 2 + 2 + 2 = 1 2
+
+ = 1 2
(*)
abc
a
b
c
a
b
c
ab bc ca
ab bc ca


;
a b c
ayz + bxz + cxy
= 0 ayz + bxz + cxy = 0; (**) ;
Ta lại có: + + = 0
x y z
xyz
HD. Ta có

Thay (*), (**) vào (***) ta đợc: M =

x2 y2 z2
0
+ 2 + 2 = 1 2
=1

a b c
= ; = ; = = = .
a b a c b c
a b c

Bài tập 17:
a)Cho S =

1

+

1

1

+ .... +

1

+ ... +

. Hãy so sánh S và 2

k (1998 k + 1)
198 1
1
1
+
+

=2
+ .... +
2
1999
1999
198 1
b) Tơng tự câu a.
1.1998
1

2.1997
1

Bài tập 18.Tìm x, y sao cho

x+ yz = x +

1998
.
1999

y z .DDK: x 0 , y 0, z 0, x + y z 0

HD. BPHV ta đợc: ( x + y z + z ) 2 = ( x +

y ) 2 x + y z + z + 2 x + y z . z = x + y + 2 xy

2 x + y z . z = 2 xy , BPHV ta đợc: ( x + y z ).z = xy xz + yz z 2 xy = 0
z ( x z ) y ( x z ) = 0 ( x z ).( z y ) = 0 x = z, z = y, x = y = z .


b2

2

2

) (

+ 2006 =

)

a 2 + 2006 a

)

a + b = a 2 + 2006 b 2 + 2006 , (*)
Làm tơng tự ta đợc: a + b = b 2 + 2006 a 2 + 2006 , (**)
Cộng vế với vế (*) và (**) ta đợc: 2( a + b ) = 0 vậy a + b = 0 .
1
1
1
+
+
=0.
Bài tập 20. Chứng minh rằng nếu x + y z = 0 thì
y+zx z+x y x+ yz
HD.

y )2 =

=
+

=
=0
y + z x z + x y x + y z 2 yz 2 zx 2 xy 2 xyz 2 zxy 2 xyz
2 xyz
Bài tập 21.Tính giá trị biểu thức M = x( 4 y )( 4 z ) +
x,y,z > 0 thoả mãn

y ( 4 z )( 4 x ) + z ( 4 x )( 4 y ) xyz với

x + y + z + xyz = 4 .

CHUYấN CHNG MINH NG THC V CC BI TON TNH GI TR BIU THC CHN LC LP
6 9


a+b b+c c+a
=
=
.
c
a
b
a b c
Tính giá trị biểu thức M = 1 + .1 + .1 + .
b c a
a + b b + c c + a a + b + b + c + c + a 2(a + b + c)
=

1
x 1

+

1
x +1

)2.

x2 1
1 x2
2

1) Tỡm iu kin ca x biu thc A cú ngha . 2) Rỳt gn biu thc A .
phng trỡnh theo x khi A = -2 .
Cõu 2 ( 3 im )
Cho biu thc : A = (

2 x+x
x x 1

Cho biu thc : A =


x +2

) :
x 1 x + x + 1
1

1

1



1

+

Cho biu thc : A=
ữ:
ữ+
1- x 1 + x 1 x 1 + x 1 x
a) Rỳt gn biu thc A .
b) Tớnh giỏ tr ca A khi x = 7 + 4 3
c) Vi giỏ tr no ca x thỡ A t giỏ tr nh nht .
Cõu 5 ( 2,5 im )
a a 1 a a + 1 a + 2

ữ
ữ:
a a a+ a a2

Cho biu thc : A =

a) Vi nhng giỏ tr no ca a thỡ A xỏc nh .
b) Rỳt gn biu thc A .
c) Vi nhng giỏ tr nguyờn no ca a thỡ A cú giỏ tr nguyờn .
CHUYấN CHNG MINH NG THC V CC BI TON TNH GI TR BIU THC CHN LC LP


a) Rút gọn P .
b) Tính giá trị của P với a = 9 .
2) Cho phương trình : x2 - ( m + 4)x + 3m + 3 = 0 ( m là tham số )
a) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2 . Tìm nghiệm còn lại .
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x13 + x23 ≥ 0
1
1
( x + )6 − ( x 6 + 6 ) − 2
x
x
Câu 8 Cho x > 0 hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
.
1 3
1
3
(x + ) + x + 3
x
x
2
3+ x
2+ x 2− x
4x
+
):(
−
−
)
Câu 9 Cho biểu thức P = (
2− x x−2 x

− +1
x2 x

a) Với giá trị nào của x thì A xác định.
b) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để A nguyên.
Câu 12 Cho biểu thức P = (

x −1 x +1
x
1
2
−
):(
−
− 2 ).
x +1 x −1 1− x x +1 x −1

a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng P < 1 với mọi giá trị của x ≠ ±1.
Câu 13 Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị không phụ thộc vào x
A= x+

3
4

2 − 3 .6 7 + 4 3 − x

9− 4 5. 2+ 5 + x




x +2 

) : 
x − 1  x + x + 1 
1

−

b) Rút gọn biểu thức .
c) Tính giá trị của A khi x = 4 + 2 3
Câu 16 ( 3 điểm )
Cho biểu thức : A =

x +1

:

1

x x +x+ x x − x
2

b) Rút gọn biểu thức A .
c) Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A .
Câu 17 ( 2 điểm )
Tính giá trị của biểu thức :
P=


b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất .
Câu 19 ( 2,5 điểm )
 a a −1 a a + 1  a + 2
−
÷
÷:
 a− a a+ a  a−2

Cho biểu thức : A = 

a) Với những giá trị nào của a thì A xác định .
b) Rút gọn biểu thức A .
c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên .
Câu 20 ( 2 điểm )
Cho biểu thức : A =

1+ 1− a
1− 1+ a
1
+
+
1− a + 1− a 1+ a − 1+ a
1+ a

1) Rút gọn biểu thức A .
2) Chứng minh rằng biểu thức A luôn dương với mọi a .
Câu 21 ( 2 điểm )
1) Cho biểu thức : P =


x −1



x   1
2 x
P
=
1
+
:
−
Câu 22: Cho biểu thức

÷
÷− 1
x
+
1
x
−
1
x
x
+
x
−
x
−
1

1
; x≠±
2
1 − 4x
2
−2
a) Chứng minh P =
1 − 2x
3
b) TínhP khi x =
2
Câu 24 (2 điểm)
Cho biểu thức:
a+ a
 a− a

A = 
+ 1 ⋅ 
− 1 ; a ≥ 0, a ≠ 1 .
 a +1   a −1 

1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm a ≥0 và a≠1 thoả mãn đẳng thức: A= -a2
Câu 25 (1,5 điểm)
Rút gọn biểu thức:
1− a a

1
M = 
+ a  ⋅

1

Cho biểu thức A =

x +1

x

+

x−x

; x > 0, x ≠ 1 .

1. Rút gọn biểu thức A.
1

2 Tính giá trị của A khi x =

2

Câu 28 . Cho biểu thức:

x +2
x − 2  x +1
⋅
Q = 
−
; x > 0, x ≠ 1 .
x − 1 

 x

  x +2
 : 
−
x − 1   x − 1

x +1 
 ; x > 0 , x ≠ 1, x ≠ 4 .
x − 2 

1

1. Rút gọn A.
2. Tìm x để A = 0.
Câu 30 : (1,5 điểm)
Rút gọn biểu thức:
5 3
1
−
2
3

x+ x 
x− x
2 +
⋅2 −
 ; x ≥ 0, x ≠ 1

 

1. Rút gọn biểu thức
A=

a +1
a2 −1 − a2 + a

+

1
a −1 + a

+

a3 − a
a −1

; a > 1.

Cho biểu thức: F= x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1
1. Tìm các giá trị của x để biểu thức trên có nghĩa.
2. Tìm các giá trị x≥2 để F=2.
Câu 32 (2 điểm):
Cho biểu thức: N =

a
ab + b

+

b


1. Rút gọn biểu thức T.
2. Chứng minh rằng với mọi x > 0 và x≠1 luôn có T
( x)

3

1+ x + x

; x ≥ 0; x ≠ 1.

1. Rút gọn biểu thức M.
2. Tìm x để M ≥ 2.
Câu 37
x−2 x+3 +4

Cho A=

x − x − 3 − 3x + x 2 + x 2 − 9

−

1
x + x−3

1. Chứng minh A

−
:
+
CÂU 41 . Cho biểu thức P =
÷
 a + 2 a −1
a −1   a +1
a −1


a) Rút gọn P.
1
a +1
b) Tìm a để −
≥1
P
8
CÂU 42 . Cho hai số dương x, y thỏa món điều kiện x + y = 1. Hóy Tìm giá trị nhỏ nhất
1
1
+
của biểu thức A = 2
.
x + y2 xy
CÂU 43
 x +1
x −1 8 x   x − x − 3
1 
−

(

A=

)(

)

x 2 − 4x + 4
4 − 2x

1. Với giá trị nào của x thì biểu thức A có nghĩa?
2. Tính giá trị của biểu thức A khi x=1,999
Bài 46: Rút gọn:

(x
a)

2

−4

)

4
với x ≠ 2.
2
x − 4x + 4
 a a +b b a b −b a   a − b 
−

 ab + b3
ab + a 3  2 a − 2 b
−

÷:
b) 
với a, b ≥ 0; a ≠ b
÷
a
−
b
a
+
b
a
+
b



bài 1(1,5 điểm):

Với x, y, z thoả mãn:

x
y
z
+
+
= 1.