CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP
CHUYÊNĐỀ 1: SỬ DỤNG SỐ VÔ TỶ TRONG GIẢI TOÁN
Các bạn học sinh THCS được làm quen với số vô tỷ từ lớp 7 ,nhưng sử dụng số vô tỷ để
giải toán lại là một công việc còn mới mẻ bởi các em rất ít được làm quen với bài toán
dạng này .Với kién thức về số vôtỷ ở THCS ta có thể giải được một số bài toán hay và khó
với lời giải ngắn gọn và đẹp .
TRƯỚC HẾT CẦN CHÚ Ý : Nếu a là số nguyên dương không chính phương thì
a
là
một số vô tỷ .
MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG :
BÀI TOÁN 1: Cho a,b,c là các số hữu tỷ và a ≠ 0 chứng minh rằng nếu x = m - n
2
là
nghiệm của phương trình ax
2
+bx +c = 0 (1) thì x = m – n
2
cũng là nghiệm của phương
trình đó .
LỜI GIẢI :Do x = m+ n
2
là nghiệm của (1) nên a(m + n
2
)
2
+ b (m + n
2
)+c= 0



⇒
am
2
+ 2an
2
+bm + c = 0
Do đó a( m – n
2
)
2
+ b( m – n
2
)
2
+ c =
(am
2
+ 2an
2
+bm + c) – (2amn + bn)
2
=0
Vậy x = m – n
2
cũng là nghiệm của (1) .
BÀI TOÁN 2 : tìm các số hữu tỷ x,y thỏa mãn
332
−
=

xy3
+ 9

⇒

xy3
=
4
34)2(
2
++−+−
xyyx

∈
Q
nếu x+y-2 ≠ 0 thì từ (2’) suy ra
3
=
2
332
−+
−
yx
xy
khi đó vế trái là số vô tỷ vế phải là số
hữu tỷ , điều này vô lý. vậy x+y-2 =0 từ (2’) suy ra 2
xy3
- 3 = 0 do x> y ≥ 0 nên suy
ra x =
2

Suy ra MA = MH =
2
h
, NB = NC =
2
b
, PD = PE =
2
d
, QG = QF =
2
f
Ta có MN = PQ nên
dfbhae
d
e
fb
a
h
−−+=−⇔++=++
2)(
2222
nếu e – a ≠ 0 thì
Q
ae
dfbh
∈
−
−−+
=

Q
∈
2
1
(vô lý )
nếu m ≠ n thì
Q
mn
n
∈
−
−
=
12
2
(vô lý)
vậy không thể dùng 2 gáo trên để chuyển 1 lít nước từ thùng này sang thùng kia .

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP :
BÀI 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

214312
5
11
+−−=+−
yyx
x
2
BÀI 2: Chứng minh số 99999 + 111111
3

H
1
CÔNG THỨC ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
Để tính độ dài AD theo ,a,b,c trước hết tính BD,CD .Theo tính chất đường phân giác
trong ta có :
cb
a
cb
BC
cb
CDBD
b
CD
c
BD
+
=
+
=
+
+
==
từ đó có BD=
cb
ac
+
(1) và

∆
đồng dạng
AKC
∆
(g.g) suy ra
AKADACAB
AC
AK
AD
AB
..
=⇔=
từ 2 đẳng
3
thức trên ta có : AD.AK-AD.DK = AB.AC-BD.CD .Chú ý rằng AK-DK= AD
Nên AD
2
= AB.AC – BD.CK Hay d
a
2
= bc – BD.CD (3)
Từ (1) , (2) , (3) suy ra d
a
2
= bc -
2
2
)( cb
bca
+

+
=
+
−
=
(6)
Từ (4) (5) (6) với chú là (b+c)
2

≥
4bc ta có các bất đẳng thức đối với độ dài các đường
phân giác trong của tam giác :
bc -
bcd
a
a
<≤
2
2
4
(7) ;
)(
2
appd
a
−≤
(8) đẳng thức ở (8) xảy ra khi AB=AC.
Dối với d
a
,d

3p
≤

LỜI GIẢI :
a, Từ công thức (8) ta có d
a
2
+d
b
2
+d
c
2

≤
p(p-a)+p(p-b)+p(p-c) = 3p
2
-2p
2
=p
2
ápdụng (7) ta có :d
a
2
+d
b
2
+d
c
2

đồng dạng
MCE
∆
nên
CE
ME
BE
AE
=
(9)
∆
ACF đồng dạng tam giác
∆
NBF nên
BF
NF
CF
AF
=
(10 )

4
Từ (9) (10)và sử dụng (1) (2) (6) ta được
EM =
))(()(
.
2
bcabcaacca
cab
BE

(a+b)
2
(a+b-c)- c
3
(a+c)
2
(a+c-b) = 0
⇒

((b-c)(a+b+c)[b
2
(a+b)(a+b-c)+c
2
(a+c)(a+c-b) +bc(a+b)(a+c)] = 0
⇒
b = c
Hay AB = AC
BÀI TOÁN 3 : cho tam giác ABC ,biết rằng 2 phaan giác BE và CF bằng nhau chứng minh
rằng ABC là tam giác cân .
LỜI GIẢI : Sử dụng công thức (4) theo giả thiết ta có d
b
= d
c

⇒
d
b
2
= d
c

)()(
(2)(
.
22
22233
=
++
−+−+−
+−⇒
caba
bcabcabc
bcbc
bc
caba
bcaabcbc
bcbc
=⇒=
++
+++++
+−⇒
0
)()(
)(2
1)[(
22
222
hay AB = AC
Một số bài toán luyện tập
BÀI 1 Chứng minh rằng minh rằng d
a.