BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI

HOÀNG THỊ LINH XUÂN

VAI TRÒ CỦA NGƢỜI ĐIỀU
KHIỂN TRONG VIỄN CHUYỂN TRẠNG THÁI
LƢỢNG TỬ HAI QUBIT BẤT KÌ
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán
Mã số: 60.44.01.03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÍ

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HỢP

HÀ NỘI - 2017


LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy
giáo Nguyễn Văn Hợp, người đã hết lòng dạy dỗ, động viên và cho em nhiều lời
khuyên sâu sắc, quý báu trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin được gửi lời cảm ơn đến các quý thầy cô trong khoa Vật Lí trường
Đại Học Sư Phạm Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Vật Lí Lí Thuyết đã tận tình
giảng dạy, chỉ bảo cho em trong suốt thời gian em học tập tại khoa.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè những người đã luôn bên
tôi và khích lệ tôi trong suốt thời gian học tập và làm việc.
Hà Nội, tháng 6 – 2017
Học viên


3.1. Ngƣời điều khiển nắm một qubit ............................................................... 39
3.1.1. Các bƣớc của giao thức ............................................................................ 40

3


3.1.2. Phân tích quyền lực của ngƣời điều khiển. ............................................ 52
3.2. Phân tích độ tin cậy trung bình và quyền lực điều khiển khi ngƣời điều
khiển nắm bốn qubit .................................................................................... 59
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 66
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 67

4


DANH MỤC BẢNG SỐ VÀ HÌNH VẼ
Trang
Bảng số
Bảng 1.1.

Các hình thái vật lý của qubit ..................................................................8

Bảng 1.2.

Biểu diễn ma trận và biểu diễn hình học của các cổng logic lượng tử
đơn qubit thường gặp............................................................................. 22

Bảng 2.1.

Tóm tắt kết quả viễn chuyển 2 qubit không điều khiển sử dụng kênh

và qubit mục tiêu là 1 .........................................................................24
Hình 1.4.

Sử dụng 3 cổng CNOT để tạo ra cổng Swap, cổng tráo trạng thái 2
qubit (với x, y = {0, 1}). ........................................................................24

Hình 1.5.

Kết hợp cổng CNOT với các cổng Hadamard để thay đổi vai trò giữa
qubit điều khiển và qubit mục tiêu. .......................................................24

Hình 2.1.

Sơ đồ tạo trạng thái Bell ........................................................................ 27

Hình 3.1.

Sơ đồ mô tả quá trình tạo trạng thái rối Q1

12345

.............................40

Hình 3.2. Mô hình cặp rối, Alice thực hiện phép đo Bell ................................41
Hình 3.3. Đồ thị thể hiện sự phụ thuộc của Fabcd vào  . ......................................58

5


Hình 3.4. Đồ thị biểu diễn quyền lực của người điều khiển phụ thuộc vào tham số

Erwin Schrödinger. Theo các phương pháp toán học mô tả thì cơ học lượng tử không
cho ra các quan sát có giá trị xác định mà thay vào đó, nó tiên đoán một phân bố xác
suất, tức là xác suất để thu được một kết quả khả dĩ từ một phép đo nhất định. Các xác
suất này phụ thuộc vào trạng thái lượng tử ngay tại lúc tiến hành phép đo. Tuy vậy
ngay từ đầu không phải cơ học lượng tử đã được công nhận lý thuyết đầy đủ. Có nhiều
nhà vật lý đã không chấp nhận sự tồn tại của cơ học lượng tử đặc biệt là Einstein.
Einstein cho rằng cơ học lượng tử không hoàn chỉnh, ông cho rằng vật lý học phải mô
tả thiên nhiên đúng sự thật của. Sự mâu thuẫn giữa quan điểm của Einstein và cơ học
lượng tử với quan điểm bảo vệ của Bohr lên đến đỉnh điểm khi Einstein cùng
Podolskup và Rosen đưa ra nghịch lý EPR. Nghịch lý là lý luận dựa trên những mâu

1


thuẫn nội tại để dẫn giải tới kết quả, mặc dù kết quả đó chưa đúng. EPR chỉ ra mâu
thuẫn giữa tính chất định xứ và tính chất hoàn thiện của cơ học lượng tử, EPR quả
quyết rằng định xứ luôn được bảo toàn và cơ học lượng tử không bảo toàn. Họ cho
rằng, dựa trên những lập luận đinh xứ, cơ học lượng tử không đầy đủ và không miêu tả
hoàn toàn thế giới vật chất mà chúng ta quan sát, trải nghiệm. Năm 1964 Jonh Bell tìm
ra bất đẳng thức Bell và đã chứng minh rằng những giả thuyết hiện thực và định xứ đều
không phù hợp với cơ học lượng tử. Tuy nhiên, phương pháp luận và tính nguyên bản
của EPR đã giúp nó trở thành kinh điển, và nhờ có bài bái này cơ học lượng tử được
xem là một lý thuyết hoàn chỉnh và tách biệt hoàn toàn với thế giới hiện thực được mô
tả bởi cơ học Newton một cách định lượng.
Trong thời gian gần đây, dựa trên lí thuyết của cơ học lượng tử đã hướng đến một
ngành khoa học mới gọi là thông tin lượng tử. Khoa học thông tin lượng tử có tính chất
cách mạng và hứa hẹn nhiều ứng dụng thực tiễn quan trọng trong khoa học kỹ thuật và
đời sống con người. Nó dựa trên các quy luật toán học, vật lý, khoa học máy tính và kỹ
thuật. Nguyên tắc của nó là dựa trên lý thuyết lượng tử để khai thác, áp dụng một cách
tối ưu vào truyền tải và xử lý thông tin. Sự phát triển của ngôn ngữ thông tin theo sự

thông tin cần truyền đi được giữ bí mật, nguyên vẹn, đây là một trong những ưu điểm
của truyền thông tin lượng tử so với truyền thông tin cổ điển. Một trạng thái lượng tử
tùy ý có thể được phục hồi ở một vị trí từ xa với sự trợ giúp của một cặp rối tối đa
Einstein-Podolsky-Rosen (EPR) và hai bit thông tin cổ điển. Trong viễn chuyển lượng
tử, người gửi Alice, người nhận Bob chia sẻ với nhau một trạng thái rối cực đại Bell.
Alice thực hiện một phép đo hai qubit trong hệ cơ sở Bell lên trạng thái tích của qubit
cần viễn chuyển và các qubit của mình. Trên cơ sở kết quả đo của Alice truyền đến qua
kênh cổ điển, Bob có thể thực hiện toán tử unitary thích hợp lên qubit của mình để khôi
phục trạng thái viễn chuyển từ người gửi.
Một giao thức phát triển của viễn chuyển lượng tử, được gọi là viễn chuyển lượng
tử có điều khiển lần đầu tiên được đề xuất vào năm 1998[7]. Trong các viễn chuyển
lượng tử có điều khiển, các thủ tục chuyển giữa Alice và Bob được điều khiển bởi một

3


người thứ ba, Charlie. Trong giao thức này, các thủ tục dịch chuyển được kiểm soát bởi
một người điều khiển, như vậy là một trạng thái lượng tử tùy ý có thể được chuyển từ
người gửi đến người nhận chỉ với sự tham gia của người điều khiển, điều này giúp
nâng cao độ bảo mật của trạng thái cần gửi lên rất nhiều. Năm 2014, Xi Han Li và các
đồng tác giả [18] đề cập đến khái niệm vai trò của người điều khiển. Trong giao thức
viễn chuyển có điều khiển, một điều quan trọng và cần thiết bảo đảm cho vai trò của
người điều khiển đó là quyền lực của người điều khiển. Chính từ yếu tố này sẽ đánh giá
được tính khả thi của giao thức viễn chuyển đối với thực tế. Tuy nhiên các giao thức
viễn chuyển lượng tử có điều khiển hiện nay chưa phân tích vai trò của người điều
khiển một cách đầy đủ và chi tiết.
Do đó tôi chọn đề tài: “Vai trò của ngƣời điều khiển trong viễn chuyển trạng
thái lƣợng tử hai qubit bất kì” để trên lí thuyết về rối lượng tử nghiên cứu quyền
kiểm soát của người điều khiển trong viễn chuyển lượng tử.
2. Mục đích nghiên cứu

Kết luận
Tài liệu tham khảo
9. Những luận điểm cơ bản và đóng góp mới của tác giả
Trong luận văn, đóng góp mới của tác giả là đã tính toán được biểu thức vai trò của
người điều khiển trong viễn chuyển trạng thái lượng tử của hai qubit bất kì đối với rối
lượng tử đã được đề xuất, từ các kết quả tính toán được, tác giả đã phân tích được vai
trò của người điều khiển trong giao thức viễn chuyển này khi người điều khiển nắm giữ
một qubit và bốn qubit.

5


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1 Bit lƣợng tử. Cách biểu diễn qubit
Trong máy tính điện tử lượng tử, các phép tính toán dùng để tính không còn là các
phép tính toán thông thường dùng trong máy tính cổ điển, mà sẽ là các phép tính toán
của cơ học lượng tử. Do đó, đơn vị cơ bản để chứa tin tức sẽ được mã hóa vào một
trạng thái lượng tử gọi là bit lượng tử. Bit lượng tử hay qubit là thuật ngữ chuyển
ngành trong lĩnh vực thông tin lượng tử. Qubit được sử dụng là một đối tượng để lưu
trữ, truyển tải và xử lý thông tin dựa trên nền tảng của cơ học lượng tử.
Đơn vị truyển tải thông tin của máy tính chúng ta đang sử dụng là bit cổ
điển.Theo cơ học lượng tử, có thể hiểu bit cổ điển là một trong hai trạng thái 0 hoặc
1 

 0

1 với biểu diễn spinơ của hệ hai mức như sau: 0    ; 1    . Qubit chính là sự
0
1 


 0 , 1  thì thu được một trong hai kết quả: 0

với xác suất a

2

2

hoặc kết quả 1 với xác suất b và không thể biết toàn bộ thông tin về a và b chỉ bằng
vài lần đo lượng tử lên (1.1), bởi sau khi đo trạng thái ban đầu bị phá hủy. Mọi cố gắng
có thể giải mã toàn bộ thông tin nằm trong trạng thái gốc đều đi đến thất bại do đó lưu
trữ thông tin bằng qubit mang tính chất bảo mật rất cao.
+ Biểu diễn trạng thái của qubit dưới dạng ma trận mật độ. Do bất kỳ đại lượng
vật lý nào đều có thể viết được dưới dạng ma trận đơn vị và ma trận Pauli. Ta có:

1
   I  r  ,

(1.2)

2

với I là ma trận đơn vị,   ( x , y , z ) trong đó  x , y , z là các ma trận Pauli
+ Do điều kiện chuẩn hóa được thỏa mãn và các trạng thái lượng tử chỉ chính xác
tới một thừa số pha nên ta có thể biểu diễn trạng thái lượng tử của một qubit bằng một
vecto trên mặt cầu Bloch như sau:

 
 

 là góc hợp bởi hình chiếu của

nó trên mặt phẳng (x-y) với trục x và  là góc hợp bởi nó với trục z. Trạng thái của bit
cổ điển chỉ có thể nằm trên hai cực Nam và Bắc của quả cầu Bloch, còn trạng thái của
qubit là tổ hợp tuyến tính của cả hai trạng thái đó nên nó có thể nằm mọi điểm trên quả
cầu.
Trong thực tế hệ lượng tử hai trạng thái nào đều có thể dùng để biểu diễn qubit.
Chẳng hạn, trong quang lượng tử qubit có thể biểu diễn theo trạng thái phân cực của
photon. Hay trong vật lý nguyên tử, qubit có thể biểu diễn qua các trạng thái cơ bản và
kích thích của các electron…Cụ thể các hình thái vật lý của qubit được thể hiện qua
bảng sau:
Hệ lượng tử

Tính chất vật lý

0

1

Photon

Phân cực tuyến tính

Ngang

Dọc

Phân cực tròn

Trái

1.2

Rối lƣợng tử
Rối lượng tử là một mối tương quan phi định xứ vô cùng tinh tế giữa các phần

của một hệ lượng tử. Nó là một trong những nguyên nhân quan trọng của sự khác nhau
cơ bản giữa cơ học lượng tử và cơ học cổ điển. Rối lượng tử là sự tồn tại trạng thái
chung của hai hay nhiều hệ lượng tử con có mối quan hệ ràng buộc với nhau. Khi các
hạt lượng tử được rối với nhau thì không thể biết được trạng thái riêng của từng hạt,
nhưng hoàn toàn có thể biết được trạng thái tồn tại chung của chúng, và để xác định
được trạng thái riêng của từng hạt ta phải thực hiện những phép đo lên nó. Trong lí

8


thuyết cổ điển, các hệ con sẽ hoàn toàn độc lập với nhau nếu chúng không có sự tác
động của bên ngoài liên kết chúng lại, tính chất này cũng đúng với hệ lượng tử khi mà
chúng nằm trong những trạng thái hoàn toàn tách rời. Tuy nhiên nếu các hệ lượng tử
không bị tách rời hay nói cách khác chúng bị rối với nhau thì chúng sẽ không còn tồn
tại độc lập với nhau nữa, mỗi tác động lên hệ con này sẽ ảnh hưởng tức thời đến các hệ
con kia. Mỗi một phép đo trên một hệ con bất kì có thể cho nhiều kết quả ngẫu nhiên
với xác xuất nhất định, từ đó ta xác định được trạng thái của hạt còn lại, quá trình này
không phụ thuộc vào khoảng cách giữa các hệ con. Vậy hệ lượng tử như thế nào gọi là
rối?
Ta xét trạng thái lượng tử N  N  2  qubit xác định trong không gian

H  H1  H2  ...  H N , có dạng




(1.5)

được gọi là trạng thái tích hay trạng thái tách rời

của N qubit. Còn ngược lại nếu


thì 

12...N

12...N

  1   2  ...   N ,

(1.6)

được gọi là trạng thái rối của N qubit.

Sau đây ta xét trường hợp cụ thể đối với hai qubit A và B trong không gian Hilbert 4





chiều, với hệ cơ sở gồm 4 véctơ trực chuẩn 00 , 01 , 10 , 11 , khi đó trạng thái tổng
quát của hai qubit được viết dưới dạng:




  
 
  , hay 
.



 

Từ đó trạng thái (1.6) sẽ được viết thành



AB

  00

AB

  01 AB   10

AB

  11 AB

  0 A ( 0  1 ) B   1 A ( 0  1 ) B
 ( 0   1 )A ( 0  1 )B ,

(1.8)


2

(1.9)

một trong bốn cặp rối EPR. Ba cặp rối còn lại có dạng






AB

AB

 B1,0

 B0,1

AB

 B1,1

AB

AB

AB



AB

1 1
ml
 1 l

2 l 0



A

l n B,

(1.13)

với  là phép cộng trong hệ nhị phân và m, n = {0, 1}.
Xét (1.13) ta thấy rằng các trạng thái Bell thỏa mãn là các trạng thái rối. Một
trạng thái Bell được đặc trưng bởi hai bit thông tin, bit chẵn lẻ và bit pha. Khi hai
trạng thái lượng tử được rối với nhau theo một trong bốn cặp rối trên thì không thể
biết trạng thái rối của hệ nếu chỉ thực hiện phép đo địa phương lên từng hạt bởi
phép đo thì chỉ xác định một phần thông tin của trạng thái chẵn lẻ hoặc pha. Điều
này có ý nghĩa rất quan trọng bởi thông tin được mã hóa trong các trạng thái đó
mang tính bảo mật tuyệt đối, ngăn chặn hoàn toàn sự đánh cắp nó khi mà hai hạt
được rối với nhau không lại gần nhau.
+ Đối với rối ba, ta có trạng thái W và GHZ có dạng như sau

W

123


 1 l 1 l  m

2 l 0

2

l n 3,

(1.16)

lập thành tám véctơ cơ sở cho phép đo GHZ.
+ Đối với rối N (N>3), ta có các trạng thái rối thường gặp sau:

GHZ

Trạng thái GHZ:

Trạng thái W:

W

12... N



12... N





12...N

1



2
với quy ước  z

N 1

N
2

aN1  0 a  aa 1  1 a ,




(1.19)

1

1.2.1 Độ rối lƣợng tử
Để đặc trưng cho mức độ rối của một trạng thái rối chúng ta đưa vào khái niệm
độ rối lượng tử. Cho đến nay việc xác định độ rối đối với trạng thái rối của nhiều hơn 2
qubit là vấn đề rất khó và chưa được giải quyết một cách triệt để. Trong phần này sẽ
trình bày cách tính độ rối lượng tử của trạng thái rối 2 qubit theo hai cách: tính độ rối
theo Entropy von Neumann và tính độ rối theo Concurrence.


AB

)  S(A )  S(B ),

(1.21)

với S(A ),S(B ) là entropy của A , B , với A và B lần lượt là ma trận mật độ rút
gọn theo B và A có dạng

A  TrB ( 

AB

B  TrA ( 

AB

 ),

(1.22)

 ).

(1.23)

12


S A  và S B  được tính theo công thức


AB

 (a 0  b 1 )A  (c 0  d 1 ) B

 (ac 00  ad 01  bc 10  bd 11 ) AB ,
để cho đơn giản ta xét a, b, c, d là các số thực thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa

a 2  b 2  1,
 2
2
c  d  1.
Trong hệ cơ sở

 00 , 01 , 10 , 11 

A  TrB ( 1

AB

AB AB

ta có thể dễ dàng tính được

 a 2c 2 a 2cd abc2 abcd 
 2

a cd a 2d 2 abcd abd 2 

1 )  TrB


2

a 0
2

A

2

0  ab 0

2

2

2

1  ab 1 A 0  b 1 A
2

A

 a 2 ab 
1 
.
2 
ab
b



AB

 (a 00  b 11 )AB ,

(1.30)

với a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa: a 2  b2  1.
Ta cũng dễ dàng tính được

A  TrB (  2

a 0

AB AB

2

 a2

0
 2 )  TrB 
0

 ab

0 b 1 A
2

A


Áp dụng công thức (1.20) ta tính được độ rối của trạng thái đan rối là

14

(1.32)


E(  2
khi a  b 



AB



1
thì E(  2
2

AB

AB

)  S(A )  a 2 log 2 a 2  b 2 log 2 b 2 ,

(1.33)

)  1 , trạng thái rối (1.30) trở thành trạng thái rối cực đại

*

Trong hai cách tính này tuy khác nhau về công thức tính nhưng đều cho ta kết quả
có giá trị từ 0 đến 1. Giá trị bằng 0 ứng với trường hợp trạng thái đã cho là không rối,
còn giá trị bằng 1 ứng với trường hợp trạng thái đã cho là rối cực đại.
1.2.2 Phép đo lƣợng tử
Muốn xác định và nghiên cứu một đối tượng vật lý, ta cần phải thực hiện các
phép đo lên hệ. Cơ học cổ điển cho phép xác định chính xác kết quả của một phép đo
đối với đại lượng vật lý cần đo. Phép đo lượng tử chỉ cho ta biết một phần thông tin của
trạng thái cần đo. Chúng ta chỉ có thể xác định trạng thái của hệ lượng tử khi chúng ta
thực hiện phép đo lên các trạng thái chồng chập của hệ. Một phép đo lượng tử cần phải
có: Toán tử đo và hệ cơ sở của phép đo.
Trong thực tế, có nhiều phép đo lượng tử khác nhau, dưới đây chúng tôi sẽ trình

15


bày phép đo hình chiếu còn gọi là phép đo von Neumann. Phép đo von Neumann là
phép đo thực hiện trên hệ cơ sở hoàn toàn trực giao và chuẩn hóa. Giả sử hệ cần đo ở
trạng thái lượng tử  nằm trong không gian Hilbert n chiều. Ta thực hiện phép đo
von Neumann lên trạng thái này bằng một hệ các toán tử đo {Mi } , (i = 0, 2, ...n-1) thỏa
mãn điều kiện

M i M i  I (a)


.
i

M i M j  ij (b)

pi xuất hiện ở đây để thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa.
Sau đây, để hiểu rõ hơn về phép đo này, ta sẽ áp dụng vào trường hợp đơn giản

là đo trạng thái một qubit có dạng như (1.1).
Toán tử đo là tập hợp M0 ,M1 , với cơ sở được chọn

 0 , 1  gồm hai vectơ

trực giao. Ta chọn toán tử đo như sau


1 
1
M 0  0 0    1 0   

 0
0

M  1 1   0  0 1   0
 
1  
 1
 
0


16

0
0 


(1.40)

Từ đó ta thấy

 
1
2
M 0 M 0  M 0  

0

M  M  M 2   0
1
0
 1 1



0 1 0  1
 0 0    0
0 
 
0  0 0   0

1 
 0 1   0

0
 M0


0 

M0 
 M 0 M 0 



0
 ei 0  0 .


(1.44)

Kết quả đo được 1 xảy ra với xác suất

p1   M1 M1    M1    ,
2

và khi đó trạng thái  bị suy sụp thành

17

(1.45)


1 

M1 
 M1 M1 


ei sin  
 cos 
U(, )    i
,

e
sin

cos




(1.48)

dễ thấy U(, ) thỏa mãn điều kiện unita: U U  I , điều này cho thấy tính chất thuận
nghịch của cổng logic lượng tử.
Sau đây ta sẽ xét một số cổng logic lượng tử đơn qubit thường gặp
 Toán tử đơn vị I
Toán tử đơn vị là toán tử không làm biến đổi trạng thái qubit đầu vào

18


I 0  0
.

I
1


(1.51)

Biểu diễn dưới dạng ma trận của toán tử Pauli  x là

0 1
σx  
.
1
0



(1.52)

 Toán tử Pauli  y (Y)
Toán tử Pauli  y là toán tử có tác dụng vừa đảo pha vừa đảo bit

 σ y 0  i 1
.

σ y 1  i 0

(1.53)

Biểu diễn dưới dạng ma trận của toán tử Pauli  y là

 0 i 
σy  
.