Sở Gd&Đt Nghệ an
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học 2007 - 2008
hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 05 trang)
Môn: Toán lớp 12 - THPT - bảng a
----------------------------------------------
Câu Nội dung
Biểu
điểm
Câu 1:
6,0
a.
(m - 3)
x
+ ( 2- m)x + 3 - m = 0 (1).
3,0
ĐK: x 0; Đặt t =
x
, t 0.
0,5
(1) trở thành: (m - 3)t + (2 - m)t
2
+ 3 - m = 0 <=> m =
2
2
2t 3t 3
t t 1
+
+
(2)

Bảng biến thiên
t 0 2
+
0,5
f
/
(t)

0 +
f(t)
3
2
5
3
Phơng trình (1) có nghiệm <=> phơng trình (2) có nghiệm thoả mãn t 0.
0,25
<=>
5
m 3
3

.
0,25
b.

3
sinx
cosx
x


f
//
(x) = 2tgx.
2
1
cos x
+ 4sinx.cosx - 6x =
3
2sin x
cos x
+ 2sin2x - 6x.
f
///
(x) =
4 2 2
6
2cos x 6sin x.cos x
4cos2x 6
cos x
+
+
0,25
0,25
0,25
Trang / 5 - Toán 12 THPT - Bảng A1
=
2 2
2
4
2cos x 6sin x

π
=> f
//
(x) > f
//
(0) = 0 ,
x (0; )
2
π
∀ ∈
.
0,5
=> f
/
(x) ®ång biÕn trªn
(0; )
2
π
=> f
/
(x) > f
/
(0) = 0 ,
x (0; )
2
π
∀ ∈
.
0,5
=> f(x) ®ång biÕn trªn

+ 2(3 - x)
2
+ 4x(3 - x) - 5x + 3x
2
= x
3
+ x
2
- 5x + 18.
0,5
XÐt f(x) = x
3
+ x
2
- 5x + 18 ; x
[ ]
0;2∈
; f
/
(x) = 3x
2
+ 2x - 5.
0,5
f
/
(x) = 0 <=>
x 1
5
x (lo )
3

e (1)
sin y
3 8x 3 1 6 2y 2y 1 8y (2)
x, y 0; (3)
4
−

=



+ + = − + +


π
 

∈
 ÷

 

Ta cã (1) <=>
/
x y
sin x sin y
(1 )
e e
=
.

0,25
0,25
Trang / 5 - To¸n 12 THPT - B¶ng A2
=> f(t) đồng biến trên
0;
4


ữ

. Khi đó từ (1
/
) => x = y.
0,25
Thay vào (2) ta đợc:
2 2
3 8x 3 1 6 2x 2x 1 8x+ + = + +
<=>
2 2
3( 8x 3 8x 8x 4) 8x 1+ + =
<=> 3(8x - 1) = (8x - 1)(
2 2
8x 3 8x 8x 4+ + +
)
<=> (8x - 1)(
2 2
8x 3 8x 8x 4+ + +
- 3) = 0
<=>
2 2


Vậy hệ có nghiệm
1
x
8
1
y
8

=




=


0,25
0,25
Bài 3.
2,5
Với n N
*
, xét f(x) =
x
1
x n
2008
+
; x R.

n
(n; n + 1) (2).
Từ (1) và (2) => đpcm.
0,25
0,25
Ta có: x
n
- n =
n
x
1
2008
> 0 => x
n

> n.
=> 0 < x
n

- n <
n
1
2008
.
0,25
0,25
Mặt khác: lim
n
1
0

a b 5
2

do đó: (1) <=>
a b 5
3 1
. . 2 a b 5 3
2 2
2

= =
.
<=>
a b 8
a b 2
=


=

0,25
0,25
0,25
Toạ độ G(
a 5 b 5
;
3 3
+
)
Ta có: G <=>

TH
2
:
a b 2 a 1
3a b 4 b 1
= =



= =

=> C(1; -1)
0,25
Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA =
2 5 2+
=> r =
3
2 5 2+
.
0,25
b.
Xét hệ toạ độ Axy nh hình vẽ:
O(R; 0).
(Nếu học sinh không vẽ hình thì phải
nêu rõ cách chọn hệ trục toạ độ)
3,0
0,5
Gọi M(x
0
; y

=> M (P): y
2
= 2Rx ; (P) có tiêu điểm F(
R
;0
2
).
0,25
0,5
0,5
Trang / 5 - Toán 12 THPT - Bảng A4
A
H

y
F
O
x
T
M(x
0;
y
0
)
• XÐt ®êng trßn (C)
/
t©m F, b¸n kÝnh
R
2
.