SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH THUẬN
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề này có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn: Toán
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (5 điểm)

1 3
2
x   m  1 x 2   6m  3 x  .
3
3
Với các giá trị nào của m , hàm số đồng biến trên khoảng  4;  ?

a) Cho hàm số y 

b) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x 2  4 x  3  m .
Bài 2. (3 điểm)
Cho các số dương x, y,z . Chứng minh rằng:

x2
y2
z2
x yz
xy
yz

nhau, các chàng trai ngồi cạnh nhau và có một chàng trai ngồi cạnh cô gái mà anh ta dẫn theo ?
b) Ký hiệu các cô gái là G1 , G2 ,..., G10 . Xếp hết 20 người ngồi thành một hàng ngang sao
cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:
1. Thứ tự ngồi của các cô gái, xét từ trái sang phải là G1 , G2 ,..., G10 .
2. Giữa G1 và G2 có ít nhất 2 chàng trai.
3. Giữa G8 và G9 có ít nhất 1 chàng trai và nhiều nhất 3 chàng trai.
Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp như vậy ?
Bài 5. (4 điểm)
Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp và M là một điểm nằm trong tam
giác. Gọi A1 , B1 , C1 là các điểm đối xứng với điểm M lần lượt qua các đường thẳng AI , BI , CI .
Chứng minh rằng các đường thẳng AA1 , BB1 , CC1 đồng quy.
-------------- HẾT ------------Giám thị không giải thích gì thêm.
Ho ̣ và tên thı́ sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . .


ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 CẤP TỈNH - Năm học 2016 – 2017
LỜI GIẢI TÓM TẮT
Bài 1. (5 điểm)
a) TXĐ: D = 

ĐIỂM

y /  x 2  2  m  1 x   6m  3

0,25
0,5

Hàm số đồng biến trên khoảng  4;  khi và chỉ khi

0,5


 x,

z
zx
4
yz
4
x y
4
x2
y2
z2
x yz
Nên:



yz zx x y
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  y  z
Ta có:
x  y 2 xy y  z 2 yz z  x 2 zx
,
,



2
zx

 0 nên lim . . ...
2 4 6 2n  2
3n  4

a) Bằng quy nạp ta chứng minh được

b) Dự đoán vn  tan



n  1.

2n1
Chứng minh công thức đúng bằng quy nạp.

Bài 4. (4 điểm)

0,5
0,5
0,5
0,5

0,25 x 3
0,5
0,25
0,25 x 3
0,5
0,25
1,0


0,25

Bài 5. (4 điểm)

Xét trường hợp M nằm trong góc BAI .
Gọi M a , M b , M c lần lượt là các điểm đối xứng với M qua BC , CA, AB .


Bằng biến đổi góc, ta chứng minh được M
AA  M
AA nên AA là đường trung
c

1

b

1

1

trực của đoạn M b M c .
Trường hợp M nằm trong góc CAI hoặc M nằm trên AI ta cũng chứng minh
được AA1 là đường trung trực của đoạn M b M c .
Chứng minh tương tự, ta được BB1 là đường trung trực của đoạn M a M c và CC1
là đường trung trực của đoạn M a M b .
Vậy AA1 , BB1 , CC1 đồng quy.

0,5
1,5