Môc lôc
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.

Trang 2

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Trang 4

2.1. Cơ sở lí luận.
2.2. Thực trạng.
2.3. Giải pháp thực hiện.
2.4. Biện pháp tiến hành.

Trang 4

Trang 2
Trang 3
Trang 3
Trang 3

Trang 4
Trang 6
Trang 6

2.4.1. Khai thác bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để giá
Trang 6

1.1. Lí do chọn đề tài:
Nâng cao chất lượng dạy học nói chung và môn Toán nói riêng, nhất là
chất lượng mũi nhọn là một việc không hề dễ dàng hiện nay đối với một số
trường khu vực nông thôn, “vùng trũng”, xa trung tâm huyện, điều kiện kinh tế
khó khăn, trình độ dân trí thấp. Điều này, được minh chứng rất rõ qua các kì thi
khảo sát chất lượng, thi vào lớp 10 và đặc biệt là thi chọn học sinh giỏi văn hóa
cấp huyện hàng năm.
Nâng cao chất lượng đại trà, bồi dưỡng mũi nhọn là một vấn đề có tính
chiến lược và vô cùng cần thiết ở nhà trường THCS. Bởi đây là cấp học “trung
gian”, các em được trang bị một hệ thống kiến thức và kĩ năng cơ bản để học
xong cấp học này các em có thể vận dụng vào lao động sản xuất, học nghề và
tiếp tục học ở bậc THPT.
Đối với môn Toán, nó có vai trò không nhỏ, góp phần tạo điều kiện cho các
em học tốt các môn học khác. Nhưng dạy học như thế nào để học sinh không
những nắm kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà còn giải quyết được các bài
toán khó trong chương trình. Để giúp người học nắm kiến thức môn học có tính hệ
thống và hiểu được bản chất của vấn đề. Đây là việc đặt ra cho mỗi giáo viên dạy
Toán. Nhất là việc giải các bài toán mang tính vận dụng đòi hỏi người học phải
nắm vững những hệ thống kiến thức cơ bản và khả năng vận dụng linh hoạt , đặc
biệt là các công cụ toán học, các kĩ năng khi thực hiện việc giải toán. Trong giải
toán học sinh phải biết nhận dạng và từ đó nhanh chóng đưa ra cách giải phù hợp.
Để làm được điều này, một trong những cái mà trong dạy học người dạy hướng cho
học sinh cách khai thác và phát triển một bài toán.
Việc khai thác và phát triển một bài toán được thể hiện rất đa dạng và phong
phú, nhất là ở tiết luyện tập, ôn tập, và nó cũng là một hoạt động trong dạy học
Toán. Nhưng nhiều giáo viên chưa chú trọng tới(!). Vì vậy mà khi giải một số bài
toán khó học sinh hay lúng túng, không tìm ra cách giải hoặc giải được nhưng mất
quá nhiều thời gian.
Chính vì lẽ đó trong quá trình giảng dạy đặc biệt là bồi dưỡng học sinh khá,
giỏi toán , tôi nhận thấy đây là điểm quan trọng mà mỗi học sinh cấp THCS nên

chọn học sinh giỏi lớp 8, kết quả đội tuyển của trường đạt được khá khiêm tốn (!).
Qua đó chúng tôi đã nghiêm túc phân tích số liệu, tìm ra nguyên nhân và giải pháp
cho thực trạng vấn đề.

3


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận:
Trên quan điểm của các Nghị quyết Đại hội của Đảng được cụ thể hoá trong
Luật Giáo dục: “Giáo dục trung học cơ sở nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển
những kết quả của giáo dục tiểu học; có học vấn phổ thông ở trình độ cơ sở và
những hiểu biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp để tiếp tục học trung học phổ
thông, trung cấp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động.” (Khoản 3, điều 27,
chương II, Luật Giáo dục – Nhà xuất bản Chính trị Quốc gia, năm 2006). Hay trong
Nghị quyết số 29 – NQ/TW ngày 04.11.2013 của Ban chấp hành Trưng ương khóa
XI về “ Đổi mới căn bản và toàn diện về giáo dục” có nêu “Đối với giáo dục phổ
thông, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công
dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh.
Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống,
đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng
kiến thức vào thực tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự học,…” (mục 2. Mục tiêu
cụ thể”.
Đối với học sinh lớp 8, đặc điểm về tâm, sinh lí lứa tuổi các em muốn tìm
hiểu, khám phá, vươn lên để thể hiện mình. Trong những năm qua thực hiện đổi
mới phương pháp dạy học ở trường THCS đã có những chuyển biến tích cực góp
phần nâng cao hiệu quả và chất lượng dạy - học.
Từ những cơ sở trên đòi hỏi người thày luôn cần mẫn, nhiệt tình, sáng tạo
trong các hoạt động dạy học, không ngừng tích luỹ vốn kiến thức và kinh nghiệm
cho bản thân. Dạy dỗ thế nào để đem lại niềm vui, sự hứng thú học tập cho học

(trang 22 – SGK Toán 8 – Tập một). 3. Tìm số nguyên a sao cho a 4 + 4 là số
nguyên tố (Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 8 năm học 2013 – 2014 của huyện Thủy
Nguyên, Hải Phòng và của huyện Việt Yên, Bắc Giang). Bài này được khai thác từ
bài 57d (trang 25 – SGK Toán 8 – Tập một): Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x4 + 4... Đó là một vài ví dụ cho thấy các bài tập trong đề thi không dễ dàng đối với
nhiều học sinh khi gặp phải. Nhưng nó lại được xuất phát từ những bài tập rất cơ
bản ở sách giáo khoa mà đa số học sinh làm được. Tôi luôn nghĩ một bài tập dù khó
đến đâu cũng không ngoài chương trình, kiến thức và phương pháp đã học. Chỉ có
điều chúng ta dạy các em như thế nào mà thôi.
Trong quá trình giảng dạy Toán 8 tôi nhận thấy năng lực học tập nơi các em
nhìn chung còn hạn chế, đặc biệt là kĩ năng khai thác, phát triển một bài toán. Bên
cạnh đó, phụ huynh chưa đầu tư nhiều và chưa có sự quan tâm đúng mực đối với
việc học tập của con em. Vì vậy việc học tập và nâng cao khả năng học tập môn
toán gặp không ít khó khăn. Chính vì lẽ đó hàng năm, thực tế cho thấy khả năng
tiếp thu, lĩnh hội môn toán nhất là các chuyên đề toán học nói chung cũng như vận
dụng giải toán với tỉ lệ khá giỏi chưa cao.
Đề tài này tôi tích luỹ, rút ra từ kinh nghiệm giảng dạy trong đó có sự định
hướng của các thày cô dạy tôi ở Đại học. Tôi đã triển khai ở nhiều năm học trước
đây (kết quả đạt được rất đáng khích lệ) và đang tiếp tục ở năm học 2016 - 2017
trong chương trình dạy học chính khóa cũng như ôn tập bồi dưỡng học sinh khá
giỏi ở trường. Kết quả kiểm tra khả năng tiếp thu khi chưa vận dụng cách khai thác,
phát triển một bài toán được kết quả như sau:
Điểm 9
Điểm 7 - 8 Điểm 5 - 6 Điểm 3 - 4 Điểm 0 - 2
Sỉ
-10
Lớp
Tổng
Tổng
Tổng

51,2

6

15,8
5


Từ thực trạng đó khiến tôi luôn băn khoăn suy nghĩ làm thế nào để học sinh
biết cách sử dụng một bài toán cơ bản, bài toán gốc để giải bài toán nâng cao một
cách linh hoạt, sáng tạo. Với trách nhiệm của người thày tôi thấy mình cần giúp các
em làm tốt hơn phần này.
2.3. Giải pháp thực hiện:
Trong chương I (Phép nhân và phép chia đa thức) kiến thức vô cùng quan
trọng. Nắm vững kiến thức của chương này mới học tốt chương trình tiếp theo
được. Và kiến thức của chương này còn là công cụ, ứng dụng để giải nhiều dạng bài
tập. Các bài tập SGK cơ bản các em làm được như: Nhân đơn thức với đa thức,
nhân đa thức với đa thức, vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để tính nhanh,
tính nhẩm, biết cách phân tích đa thức thành nhân tử, chia đa thức cho đơn thức,
chia hai đa thức một biến… Nhưng khi gặp một số bài toán khi bồi dưỡng học sinh
giỏi hay trong các đề thi các em gặp rất nhiều khó khăn, vướng mắc.
Mà thực ra những bài toán lại bắt đầu từ những bài toán rất cơ bản. Nếu ta vận
dụng được kiến thức cơ bản và hiểu bản chất của nó thì bài toán trở nên quen thuộc
dễ giải. Tất nhiên, điều đầu tiên để nâng cao được chất lượng dạy học thì người học
phải có hứng thú, có lòng say mê, ham học hỏi. Muốn vậy, hơn ai hết giáo viên
phải là người gây được hứng thú, tạo sự chú ý, tính tò mò khoa học nơi các em,
phải tác động làm thay đổi mạnh mẽ trong nhận thức của học sinh.
Người thày ngoài việc có kiến thức chuyên môn giỏi còn phải có phương pháp
truyền thu tốt, kĩ năng sự phạm, nhà tâm tâm lí học… thực sự yêu nghề, mến trẻ.
2.4. Biện pháp tiến hành

Nếu x2 - 2x +2 =1 => x = 1 => A = 5 (thỏa mãn).
Nếu x2 + 2x +2 =1 => x = - 1 => A = 5 (thỏa mãn).
Vậy với x = 1 hoặc x = -1 thì A = x4 + 4 là số nguyên tố.
2.(Sử dụng kết quả của bài toán gốc): M = (a2 + 2a + 2)(a2 – 2a + 2).
Vì a là số tự nhiên nên (a2 + 2a +2) = (a+1)2 + 1 ≥ 2. Do đó, muốn M là số nguyên
tố thì phải có a2 – 2a + 2 = 1 => a =1. Khi đó M = 5 là số nguyên tố.
Vậy, với a = 1 thì M = a4 + 4 là số nguyên tố.
3. (Sử dụng kết quả của bài toán gốc): M = (a2 + 2a + 2)(a2 – 2a + 2)
Vì (a-1)2 + 1 ≥ 2 với mọi a ≥ 2 và (a+1)2 + 1 ≥ 10 với mọi a ≥ 2 nên M là hợp số.
(Lưu ý: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó. Hợp
số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.)
2.4.2. Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để
giải bài toán chứng minh chia hết, số chính phương:
Ví dụ 2. (Bài 58 trang 25 - SGK Toán 8 Tập một). Chứng minh rằng: n3 – n chia
hết cho 6 với mọi n ∈ Z.
Lời giải: Ta có : n3 – n = n(n -1)(n + 1) đây là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tồn
tại ít nhất một số chia hết cho 2 và có một số chia hết cho 3 nên tích chia hết cho 6.
Khai thác và phát triển bài toán:
1. Vì n(n -1)(n + 1) M6 => n(n -1)(n + 1) ± (6k)n M6 (n, k ∈ Z).
Ta phát triển thành các bài toán:
7


Bài 1. Chứng minh rằng: n3 -13n chia hết cho 6 (với n ∈ Z).
Bài 2 Cho các số tự nhiên a1, a2, ....., a2016 có tổng bằng 20162017
3
3
3
Chứng minh rằng: a1 + a 2 +.....+ a 2016 chia hết cho 3.
Lời giải bài 2: Ta có: 2016M3 ⇒ 20162017 M3 ⇒ a1 + a2 + ..... + a2016 ( = 20162017)M3

cùng bằng 0 hoặc 5 . Do đó n5 - n + 2 có chữ số tận cùng bằng 2 hoặc 7. Không có
số chính phương nào có chữ số tận cùng bằng 2 hoặc 7=> n 5 - n + 2 không phải là
số chính phương.
Vậy không có số tự nhiên n nào để n5 - n + 2 là số chính phương.
Bài 5. Ta có: a5 + b5 + c5 = a5 + b5 + c5 – (a+b+c)
(vì a+b+c =0)
5
5
5
= (a – a)+(b – b)+(c – c) M30 ( theo kết quả bài 2)
mà a + b + c = 0 M30 nên a5 + b5 + c5 M30.
Và từ bài 2, bài 4 và bài 5 này chúng ta có thể khai thác phát triển thành nhiều bài
toán khác. Đó là điều thú vị. Nó gây hứng thú cho học sinh, kích thích tính sáng
tạo, sự tò mò khoa học, say mê cho người học.

8


2.4.3. Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để
giải bài toán phương trình nghiệm nguyên:
Khi gặp các bài toán về phương trình nghiệm nguyên, học sinh thường “rất sợ”
(!). Bởi lẽ, phương trình nghiệm nguyên rất đa dạng và phong phú nó có thể là
phương trình một ẩn, nhiều ẩn hoặc có thể là phương trình bậc nhất hoặc bậc cao.
Không có cách giải chung cho mọi phương trình. Tuy nhiên với việc vận dụng kiến
thức của chương I này, chúng ta khai thác phát triển một số bài tập cơ bản trong
SGK để đưa các phương trình về “dạng tích” giải một số bài tập từ đơn giản đến
phức tạp, bước đầu cho các em làm quen, và từ đó hình thành một cách giải. Nó
góp một phần không nhỏ để các em học sinh vững tin hơn khi gặp dạng toán này.
Ví dụ 3. (Bài 53b. trang 25 - SGK Toán 8 Tập một). Phân tích đa thức sau
thành nhân tử: x2 + x – 6.

Giải các trường hợp trên và kết hợp với điều kiện x, y nguyên ta được các nghiệm
nguyên (x, y) là (6; 6); (6; -6) ; (2; 0); (- 3; 0).
Sau khi HS đã hiểu được cánh làm của bài tập 1, 2 ở trên ta có thể nâng cao hơn
cho HS luyện tập các bài sau:
Bài 3. Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình:
a) 2(x + y) + 5 = 3xy;

b) 2x2 + 3xy – 2y2 = 7;

c) x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2.

Lời giải:
a) Ta có: Ta có: 2( x + y ) + 5 = 3xy ⇔ 3 xy − 2 x − 2 y = 5
2
4
⇔ y (3 x − 2) − (3x − 2) = 5 + ⇔ (3 x − 2)(3 y − 2) = 19
3
3
Do x, y nguyên dương nên 3 x − 2 ≥ 1; 3 y − 2 ≥ 1 mà 19 = 1.19 = 19.1 nên ta có các
3 x − 2 = 1
3 x − 2 = 19
(II)
(I) hoặc 
khả năng sau: 
3 y − 2 = 1
3 y − 2 = 19
Giải các hệ phương trình trên, ta đươc 2 nghiêm nguyên của phương trình là
(x; y) ∈ { (1; 7); (7; 1)} .
b) Ta có 2x2 + 3xy – 2y2 = 7  2x2 + 4xy – xy -2y2 = 7
⇔ 2 x( x + 2 y) − y( x + 2 y) = 7 ⇔ (2 x − y)( x + 2 y) = 7

⇔ [(x+1)2 –y][(x+1)2+y] =1.
Vì x, y nguyên dương nên (x+1)2 –y nguyên, (x+1)2+y nguyên và (x+1)2+y ≥ 5
Suy ra [(x+1)2 –y][(x+1)2+y] =1 vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên dương: ( x, y ) ∈ ∅ .
Qua các bài tập trên yêu cầu học sinh nêu nhận xét về cách làm, kiến thức vận
dụng. Đó là: Biến đổi phương trình về dạng: Vế trái là tích của của các đa thức
chứa ẩn, vế phải là tích của các số nguyên. Kiến thức vận dụng là phân tích đa
thức thành nhân tử kết hợp một số kĩ năng biến đổi.
10


4.4.4. Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để
chứng minh bất đẳng thức từ đó vận dụng giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất
(GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) của một đa thức.
Ví dụ 4. (Bài 82. trang 33 - SGK Toán 8 Tập một). Chứng minh:
a) x2 – 2xy + y2 + 1 > 0 với mọi số thực x và y.
b) x – x2 – 1 < 0
với mọi số thực x.
Lời giải:
a) Ta có x2 – 2xy + y2 + 1 = (x – y)2 + 1. Vì (x-y)2 ≥ 0 nên (x – y)2 + 1 > 0 với
mọi x, y.
2
1 1 3
 2
1 3

x
−
2.
x

Bài 2. Tìm GTNN của biểu thức:
a) M = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2017;
b) N = a4 + 2a3 + 3a2 – 4a + 5.
Giải:
a) Ta có M = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y + 4 + 2013 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 2013
Do (x-y)2 ≥ 0 ; (y - 2)2 ≥ 0
Nên:(x-y)2 + (y - 2)2 + 2013 ≥ 2013
Dấu ''='' xảy ra ⇔ x – y = 0 và y – 2 = 0 ⇔ x = y = 2.
Vậy GTNN của M là 2013 khi x = y =2.
b) Ta có Ta có N = a4 + 2a3 + 3a2 – 4a + 5 = a 2 (a 2 + 2) - 2a(a 2 + 2) + (a 2 + 2) + 3
= (a 2 + 2)(a 2 - 2 a+1) + 3 = (a 2 + 2)(a-1) 2 + 3
11


Vì a 2 + 2 > 0 ∀a và (a-1) 2 ≥ 0, ∀ a nên (a 2 + 2)(a-1) 2 ≥ 0, ∀a .
Do đó: (a 2 + 2)(a-1)2 + 3 ≥ 3∀a
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a − 1 = 0 ⇔ a = 1 .
Vây MinN = 3 khi a = 1.
2.4.5. Khai thác phát triển bài toán chia hai đa thức một biến:
Ví dụ 5. (Bài 74. trang 32 - SGK Toán 8 Tập một).
Tìm số a để đa thức f(x) = 2x3 – 3x2 + x +a chia hết cho đa thức x + 2.
Giải:
Cách 1. Xét giá trị riêng:
Ta có f(x) = 2x3 – 3x2 + x +a chia hết cho đa thức x +2 nếu có đa thức q(x) sao cho
q(x).(x +2) = f(x).
Vì g(x).(x +2) = f(x) đúng với mọi x nên khi x = -2, ta có:
f(-2) = 2.(-2)3 – 3.(-2)2 + (-2) + a = 0 => a = 30.
Vậy với x = 30 thì đa thức f(x) = 2x3 – 3x2 + x +a chia hết cho đa thức x + 2.
Cách 2. Đặt thành cột dọc:
Ta có:

Lời giải: Bài 1. Ta có : g ( x ) = x + x − 2= ( x −1) ( x + 2 ) Vì f ( x ) = ax + bx + 10x − 4
2
chia hết cho đa thức g ( x ) = x + x − 2 .

12


Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x)=g(x).q(x)
=> ax 3 + bx 2 + 10x − 4= ( x+2 ) . ( x-1) .q ( x ) đúng với mọi x. Do đó:
Với x=1 → a+b+6=0 → b=-a-6 ( 1)
Với x= -2 → 2a -b +6= 0
(2)
Thay (1) vào (2) . Ta tính được : a = 2 và b = 4.
3
2
Vậy với a = 2 và b = 4 thì đa thức f ( x ) = ax + bx + 10x − 4 chia hết cho đa thức
g ( x ) = x2 + x − 2 .
Bài 2.
Vì đa thức g(x) = x2 – 1 có bậc là 2, nên đa thức dư có dạng: r(x) = ax + b.
Gọi thương của phép chia trên là q(x), ta có:
f(x) = x + x3 + x9 + x27 = (x – 1)(x + 1).q(x) + ax + b
(*)
Đẳng thức (*) đúng với mọi x. Do đó : - Với x = 1 ta có :
a+b=4
(1)
- Với x = - 1 ta có : - a + b = -4 (2)
⇒
Từ (1) và (2)
b = 0 và a = 4
Vậy dư của phép chia x + x3 + x9 + x27 cho x2 – 1 là: 4x

7 với ∀n∈Z .
Bài 3. Chứng minh rằng A =  n (n − 7) − 36n M

13


(Đề thi học sinh giỏi lớp 8 năm học 2014 – 205, Phòng GD&ĐT Việt Yên, Bắc Giang).

Bài 4. a) Giải phương trình x2-y2+2x-4y-10=0 với x,ynguyên dương.
b) Tìm số tự nhiên n để: A=n3-n2+n-1 là số nguyên tố.
(Đề thi học sinh giỏi lớp 8 năm học 2008 – 2009, Phòng GD&ĐT Thọ Xuân)
Bài 5. a) Cho biểu thức A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 - a4 – b4 – c4. Chứng minh rằng
nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì A >0.
b) Chứng minh rằng : a5 và a có cùng chữ số tận cùng ( a ∈ Z ) .
(Đề thi học sinh giỏi lớp 8 năm học 2007 – 2008, Phòng GD&ĐT Tam Dương – Vĩnh
Phúc)

Bài 6. Cho đa thức P(x) = x2 + bx + c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng
các đa thức

x4 + 6x2 + 25 và 3x4 + 4x2 + 28x + 5 đều chia hết cho P(x).

Tính P(-2).
Bài 7. a) Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x3 + ax 2 + bx + 2 chia cho đa
thức B(x) = x+1 còn dư 5 và chia cho C(x) = x + 2 còn dư 8.
b) Tìm đa thức dư cuối cùng của phép chia đa thức:
f(x) = 1+ x2014+ x2015+ x2016+ x2017 cho đa thức g(x) = 1- x2
Bài 8 .a) Tìm số dư trong phép chia (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 2017 cho đa thức
x2 + 10x+ 21;
b) Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x4 – 3x2 +ax + b chia hết cho

Bài 2. Đặt x = a2 +a +1 ⇒ a2 +a +2 = x +1
A = x(x + 1) – 12 = x2 + x – 12 = (x +4)(x – 3)
Thay x = a2 +a +1 vào A ta có: A = (a2 +a +5) (a2 +a – 2)
Vì a ∈ N và a > 1 nên a là số tự nhiên. Ngoài ước là ± 1 và chính A, nó còn có thêm
2 ước là (a2 +a +5) và (a2 +a – 2)
Do đó A là hợp số.








3 2
2
Bài 3. Ta có: A =  n (n − 7) − 36n 

2
2
3
3



A = n  n( n − 7) − 6   n( n − 7) + 6  = n(n − 7n − 6)(n − 7n + 6)



= n(n3 − n − 6n − 6)(n3 − n − 6n + 6) = n  n(n2 −1) − 6(n + 1)   n(n 2 − 1) − 6(n − 1) 


15


= (a + b + c)(a + b − c)(c + a − b)(c − a + b)
Do a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác nên
a + b + c > 0;a + b − c > 0;c + a − b > 0;c − a + b > 0 ⇒ A > 0
b) Làm tương tự bài 3 mục b ở trên.
Bài 6. P(x) = x2 + bx + c, trong đó b và c là các số nguyên. Tìm hiệu: 3(x4 + 6x2 +
25) và 3x4 + 4x2 + 28x + 5 => đồng nhất hệ số => a = -2; b = 5. Rồi tính P(-2) = 5.
Bài 7. a) Tương tự bài 1, mục c;
b) Tương tự bài 2, mục c.
Bài 8. Tương tự bài 3, mục c
Bài 9. Đặt m = 3k + r với 0 ≤ r ≤ 2 ; n = 3t + s với 0 ≤ s ≤ 2
=> xm + xn + 1 = x3k+r + x3t+s + 1 = x3k xr – xr + x3t xs – xs + xr + xs + 1.
= xr( x3k –1) + xs ( x3t –1) + xr + xs +1
ta thấy: ( x 3k – 1)  ( x2 + x + 1) và ( x3t –1 )  ( x2 + x + 1)
vậy: ( xm + xn + 1)  ( x2 + x + 1)
<=> ( xr + xs + 1)  ( x2 + x + 1) với 0 ≤ r ; s ≤ 2
<=> r = 2 và s = 1 =>
m = 3k + 2 và n = 3t + 1
r = 1 và s = 2 =>
m = 3k + 1 và n = 3t + 2
<=> mn – 2 = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – 2 = 9kt + 3k + 6t = 3( 3kt + k + 2t)
mn – 2 = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – 2 = 9kt + 6k + 3t = 3( 3kt + 2k + t)
=> (mn – 2)  3 Điều phải chứng minh.
áp dụng: m = 7; n = 2 => mn – 2 = 12  3.
=> ( x7 + x2 + 1)  ( x2 + x + 1)
=> ( x7 + x2 + 1) : ( x2 + x + 1) = x5 + x4 + x2 + x + 1
Bài 10. Gợi ý: Vận dụng bài 9.

học sinh thói quen nghiên cứu khoa học. Góp phần thúc đẩy phong trào học tập của
học sinh trong trường.

17


3 – KẾT LUẬN
3.1. Kết quả nghiên cứu:
Qua quá trình giảng dạy môn toán ở lớp 8 bậc THCS, để giúp các em có kĩ
năng vận dụng kiến thức của bộ môn cũng như việc tiếp cận đề tài trên tôi nhận
thấy:
- Khai thác và phát triển một bài toán của chương I Đại số lớp 8 là một nội dung
rất quan trọng, bởi kiến thức này có liên quan chặt chẽ, nó là tiền đề cho học sinh
học tốt các kiến thức về sau và đặc biệt là ứng dụng nó rất hiệu quả trong các bài
toán chứng minh một biểu thức là số nguyên tó, là số chính phương, giải phương
trình, phương trình nghiệm nguyên, bài toán cực trị, bài toán chia hết… Từ đó để
học sinh làm tốt các dạng toán này khi học các chương tiếp theo.
- Để học sinh nắm chắc kiến thức và có hứng thú học tập, giáo viên phải chọn lọc hệ
thống kiến thức, hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần, từ dễ đến khó, giúp học sinh
phát huy khả năng suy luận và tính độc lập sáng tạo.
- Với mỗi dạng toán tuy không có quy tắc tổng quát song khi giải giáo viên chỉ ra
những đặc điểm cơ bản mà có hướng giải quyết để khi gặp những bài toán tương tự
học sinh có thể liên hệ được.
- Đối với học sinh các em có khả năng vận dụng kiến thức cơ bản vào việc giải
toán tốt hơn. Từ chỗ đơn thuần các bài phân tích đa thức thành nhân tử hay chia hai
đa thức một biến các em có thể làm được những bài tập khó hơn, ở mức độ cao hơn
như thường có trong các đề thi học sinh giỏi. Qua đó các em các em có hứng thú, tự
tin và cũng mở ra cho các em hướng tìm tòi, chủ động trong nghiên cứu khoa học.
giúp các em phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo.
- Rèn luyện cho khả năng tư duy toán học, tự tìm tòi sáng tạo để biến những tri


%

Tổng
số

%

Tổng
số

%

Tổng
số

%

Tổng
số

%

6

15,
8

9


phạm.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐON VỊ
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………

Thọ Xuân, ngày 02 tháng 03 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
( Ký và ghi rõ họ tên)

19


………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………

Lê Văn Hậu
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. SGK và SGV Toán 8 (Tập một và tập hai) - Nhà xuất bản GD 2003
2. Phương pháp dạy học Toán ở trường THCS – NXB Giáo dục 1996.
3. Bồi dưỡng Toán 8 - Nhà xuất bản GD 2006
4. Vũ Hữu Bình - Toán cơ bản và nâng cao Đại số 8- Nhà xuất bản Đà Nẵng

(A, B, hoặc
Tỉnh...)
C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

Hưỡng dẫn học sinh lớp 8 tìm lời
1.

2.

3.

giải của một số bài toán cực trị Đại
số.
Hướng dẫn học sinh kẻ thêm đường
phụ trong giải toán Hình học 8.
Dạy học sinh lớp 7 khai thác, phát
triển bài toán tính giá trị của một

Phòng

C

2010 - 2011

Phòng


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỌ XUÂN

==============

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI:

DẠY HỌC SINH KHAI THÁC, PHÁT TRIỂN MỘT SỐ
BÀI TOÁN TRONG CHƯƠNG I – ĐẠI SỐ 8

Người thực hiện: Lê Văn Hậu
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Xuân Hưng - Thọ Xuân
Sáng kiến thuộc lĩnh vực (môn): Toán

22


THANH HÓA - 2017

23