1
MỤC LỤC
Nội dung

Trang

1. Mở đầu

2

1.1. Lý do chọn đề tài

2

1.2. Mục đích nghiên cứu

2

1.3. Đối tượng nghiên cứu

2

1.4. Phương pháp nghiên cứu

2

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

3

2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

2

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Chủ đề cực trị của hàm số trong chương trình lớp 12 là nội dung quan trọng
và khó đối với học sinh; có thể nói đây là nội dung được sử dụng và khai thác để
giải các bài toán cho nhiều phần khác trong chuyên đề của hàm số.
Từ năm 2017 kỳ thi THPT Quốc gia đối với môn Toán chuyển sang hình thức
thi trắc nghiệm khách quan với thời gian 90 phút mà học sinh phải giải quyết 50
câu hỏi. Vì vậy, học sinh phải có kiến thức tốt và có phương pháp giải nhanh để
lựa chọn đáp án chính xác; đặc biệt đối với bài thi trắc nghiệm có 4 lựa chọn thì
người ra đề luôn tìm cách đưa ra phương án nhiễu tốt nhất, như vậy việc phát hiện
các sai lầm và có biện pháp sửa chữa các sai lầm cho học sinh là một yêu cầu cấp
thiết để giúp học sinh hoàn thành tốt bài thi.
Đây là năm đầu tiên Bộ Giáo dục và Đào tạo tổ chức thi môn Toán dưới hình
thức trắc nghiệm khách quan. Vì vậy các tài liệu, các bài viết giúp học sinh giải
quyết nhanh các bài toán về phần cực trị, cũng như chỉ ra các khó khăn và sai lầm
của học sinh trong khi giải bài toán trắc nghiệm phần cực trị là chưa có.
Từ những lý do trên tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình là: “Phát
hiện, sửa chữa các sai lầm và xây dựng các công thức giúp học sinh giải nhanh
các bài toán phần cực trị hàm số”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng các công thức và phát hiện, sửa chữa các sai lầm cho học sinh để
học sinh hoàn thành bài thi trắc nghiệm khách quan môn Toán đạt kết quả cao.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Xây dựng công thức tính nhanh về các bài toán cực trị của hàm số, đồng thời
chỉ ra các sai lầm và cách khắc phục sai lầm của học sinh trong việc giải toán về
cực trị của hàm số.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Xây dựng cơ sở lý thuyết về xây dựng các công thức tính nhanh giúp học sinh

Các khó khăn của học sinh khi học phần cực trị của hàm số:
- Sử dụng dấu hiệu I về tìm cực trị học sinh thường không để ý đến các điểm
mà tại đó đạo hàm không tồn tại;


4
- Đọc số các điểm cực trị khi cho biết đồ thị hoặc đạo hàm còn dễ sai lầm vì
chỉ để ý đến số nghiệm của đạo hàm mà không xét đến việc đổi dấu của đạo hàm;
- Sử dụng dấu hiệu II học sinh thường cho rằng đây là điệu kiện cần và đủ dẫn
đến lựa chọn kết quả sai;
- Thời gian giải một bài toán trắc nghiệm khoảng 2 phút. Nhưng nếu giải theo
phương pháp thông thường học sinh cần phải ít nhất 10 phút. Như vậy học sinh sẽ
không hoàn thành được bài thi.
2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Phát hiện và sửa chữa các sai lầm thường gặp của học sinh khi giải
bài toán về cực trị của hàm số.
2.3.1.1. Áp dụng Quy tắc 1:
Bước 1: Tìm f '(x)
Bước 2: Tìm các điểm x i ( i = 1,2,...) mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng
không hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
Bước 3: Xét dấu f '(x) . Nếu f '(x) đổi dấu khi x qua điểm xi thì hàm số đạt
cực trị tại xi. [1]
+ Học sinh chỉ quan tâm đến nghiệm của đạo hàm bậc nhất y ' mà học sinh
không để ý đến việc đổi dấu của đạo hàm, điều này được thể hiện qua 2 ví dụ minh
họa sau:
2
3
Câu 1: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x + 1) ( x − 2 ) ( 2 x + 3) . Tìm

số điểm cực trị của hàm số f ( x ) .


5
Đối với câu 1) học sinh thấy f '( x) = 0 có 3 nghiệm nên chọn đáp án C, hàm
số có 3 cực trị; học sinh sai lầm ở chỗ qua điểm x = -1 đạo hàm không đổi dấu thì
x = - 1 không phải cực trị của hàm số. Đáp án đúng là A, hàm số có 2 cực trị.
Qua ví dụ này giáo viên khi dạy phải chú ý cho học sinh đọc số cực trị của
hàm số khi biết đạo hàm để khắc phục sai lầm trên.
Đối với câu số 2) học sinh có sai lầm là: hàm số có cực trị khi và chỉ khi
f '( x) = 0 có nghiệm. Vì vậy học sinh đưa ra điều kiện ∆ ' = 9(m+ 1)2 − 3.9 ≥ 0nên

học sinh hầu hết chọn đáp án A. Học sinh quên rằng khi tam thức bậc 2 có nghiệm
kép thì dấu của nó không thay đổi qua nghiệm kép. Đáp án đúng của bài toán này
là đáp án B, điều kiện là:

∆ ' = 9(m+ 1)2 − 3.9 > 0 ⇔ m∈ (−∞;−1− 3) ∪ (−1+ 3;+∞)
+ Học sinh chỉ để ý cực trị của hàm số đạt tại các điểm mà f '( x) = 0 mà
không để ý đến các điểm mà tại đó f '( x) không xác định.
Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục
trên ¡ và có bảng biến thiên là:
Xét các khẳng định sau:
a) Hàm số có đúng một cực trị.

b) Cực tiểu của hàm số bằng

−1 .

c) Hàm số đạt cực đại tại x = 2017
d) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là x = 2016 .
Số khẳng định đúng là:




6
c) là sai và đồng thời cho rằng khẳng định a) là đúng. Ở khẳng định b) và d) nhiều
học sinh sẽ cho là đúng vì các em nhầm khái niệm giữa điểm cực trị của hàm số
với điểm cực trị của đồ thị hàm số; điểm cực trị của hàm số và giá trị cực trị của
hàm số. Câu hỏi này sau khi thầy giáo chữa cho học sinh và chốt lại chọn đáp án A,
tức là chỉ có khẳng định c) là đúng.
 x 2 − 2x Khi x ∈ ( −∞;0] ∪ [ 2; +∞ )
Câu 4: Ta có: y = x − 2x = 
2
2x − x Khi x ∈ ( 0;2 )
2

2x − 2 Khi x < 0, x > 2
y'
=
Khi đó

2 − 2x Khi x ∈ ( 0;2 )
Từ đó y ' = 0 ⇔ x = 1 và qua x = 1 đạo hàm đổi dấu từ + sang – nên học sinh
chỉ kết luận hàm số có 1 điểm cực đại tại x = 1.
Trong trường hợp này học sinh thường không để ý được tại x =0 và x = 2 hàm
số không có đạo hàm nhưng qua 2 điểm này đạo hàm đổi dấu vì vậy học sinh
khẳng định hàm số chỉ có 1 cực trị chứ không phải 3 cực trị dẫn đến chọn đáp án
sai.
Câu 5: Ta có y ' =

5x − 2
2

Ÿ  ′′
 f ( x0 ) > 0

 f ′ ( x0 ) = 0

⇒ x0 là điểm cực đại [1]
Ÿ  ′′
 f ( x0 ) < 0

Điều ngược lại nói chung là không đúng (!).
4
Câu 6: Cho hàm số y = f ( x ) = mx . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
hàm số đạt cực đại tại x = 0 ?

A. m = 0;

B. m > 0

D. m ∈ ∅

C. m < 0

3
2
Một số học sinh trình bày như sau: +) Ta có: f ′ ( x ) = 4mx và f ′′ ( x ) = 12mx

 f ′ ( 0 ) = 0

 4m.0 = 0



 f ′ ( x ) < f ′ ( x0 ) = 0, ∀x ∈ ( x0 ; x0 + h )
3
Lời giải đúng là: +) Ta có: f ′ ( x ) = 4mx

+) Nếu m = 0 thì f ′ ( x ) = 0 . Khi đó hàm số đã cho là hàm hằng y = f ( x ) = 0 nên
không cực trị.
3
+) Nếu m ≠ 0 thì f ′ ( x ) = 4mx = 0 ⇔ x = 0

v Với m > 0 ta có bảng biến thiên:

v Với m < 0 ta có bảng biến thiên:

+) Vậy với m < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x = 0
2.3.2. Xây dựng hệ thống công thức giúp học sinh giải nhanh các bài tập
trắc nghiệm.
2.3.2.1. Hàm số bậc 3: y = f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 )
2
+ Đạo hàm: y′ = f ′ ( x ) = 3ax + 2bx + c ; Đặt: ∆ 1 = b2 − 3ac


9
+ Điều kiện tồn tại cực trị: y = f (x) có cực trị ⇔ y = f (x) có cực đại và
cực tiểu ⇔ f ′ ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ 1 >0
(1)
+ Kỹ năng tính nhanh cực trị: Khi đó f ′ ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt
x1 , x 2 với x = −b ± ∆ 1 và hàm số đạt cực trị tại x1, x2. Theo định nghĩa ta
1,2
3a

3a 1
9a
nên
Bước 2: Do 

 f ′ ( x 2 ) = 0
 y = f ( x ) = r ( x ) = 2 c − b 2 x + d − bc
2
2
 2
3
3a 2
9a
3
2
Kết luận: Đối với hàm số tổng quát : y = f (x) = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0 ) có
∆ > 0 thì đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số có phương trình

(

)

(

) (

)

(


cực tiểu: A. ( −∞; −1] ∪ [ 3; +∞ ) ; B. m < 1; C. m > - 3;
D. ( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ )
2
2
Học sinh giải: ∆1 = b − 3ac = m − 3.

 m < −1
1
( 2m + 3 ) = m 2 − 2m − 3 > 0 ⇔ 
.
3
m > 3

Từ đó học sinh chọn đáp án D.
3
2
Câu 8: Tìm m để đồ thị hàm số y = x + x + mx + 3 có đường thẳng đi qua
CĐ, CT vuông góc với d: y = 9x −7. [3]


10
A. m = −

1
6

B. m =

1
6

C. 0
D. 3
2
3±3
Học sinh giải: ∆1 = b 2 − 3ac = 9 − 0 = 9 > 0 . x1,2 = −b ± b − 3ac =
. Nên
3a
3
tích các giá trị cực trị là: -3 đáp án B
Câu 10: Tìm m để khoảng cách từ gốc O(0; 0) đến đường thẳng đi qua 2 điểm
1 3
9 37
2
cực trị của đồ thị hàm số y = x − x − 3 ( m + 2 ) x + m − 3 bằng
9
37
A.m ∈∅ ;

B. m = −

153
;
44

C. m = 0;

D. m = −

153
và m = 0

÷
1
b d
−1 m − 3
9a 

y = −2 ( m + 3) x − 2m − 9 ⇔ 2 ( m + 3) x + y + 2m + 9 = 0 (d)
+ Khoảng cách từ O đến d là:
m = 0
9
2
d ( O;d ) =
=
⇔ 44m + 153m = 0 ⇔ 
2
 m = − 153 (L)
37
4 ( m + 3) + 1

44
2m + 9

Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu. Chọn đáp án C.
4
2
2.3.2.2. Hàm số trùng phương: y = ax + bx + c ( a ≠ 0 ) trên ¡ .


11
3

(3)
b
≥ 0 ⇔ ab ≥ 0 (với a ≠ 0 )
2a

x = 0

Với điều kiện (4) ta có y′ = 0 ⇔ 
b . Suy ra đồ thị hàm số có ba điểm
x=± −

2a


cực trị là C ( 0; c ) , A  − −



b
∆
b
∆ 
∆ 

; − ÷ và B  − ; - ÷, H  0; - ÷. Vì 2 điểm A
2a 4 a 
2a 4a 
4a 




(5)

+ Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác
cân có một góc α = 1200 .
·
+ Ta có ∆ ABC có ·ACB = 1200 ⇔ BCH
= 600 ⇔ BH = 3CH ⇔ 3b 3 + 8a = 0 .

Đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một
 ab < 0

tam giác có 1 góc α = 1200 ⇔ 

3
3b + 8a = 0

.

(6)

+ Ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác và tính diện
tích tam giác đó.
Ta có: CH = −

b2
b2
1
2b b 2
1

lý

sin

vào

CH CH
=
.
AC BC

tam

giác

b3 − 8a
CB
BC 2 b 4 − 8ab 4 a
2R =
=
=
× 2 . Suy ra R =
.
·
8ab
CH
16a 2
b
sin CAB


A. -1

B. 0

C. - 2

D. 1

Học sinh giải: Áp dụng công thức (4) ta có:
Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác
−
 m > −1
 ab < 0
 2 ( m + 1) < 0
⇔
⇔
⇔
⇔ m = 0 . Chọn đáp án B
vuông

 3

3
3
m
+
1
=
1
b

D.

1
2

3

−2m < 0
 ab < 0
m > 0



3
3
b − 8a ⇔ 
−2m ) − 8 ⇔ 
Áp dụng công thức (8) ta có: 
(
m3 + 1
R
=
R
=
R
=



8ab

2
2m
2

4
2
2
Bài 14: Tìm m để đồ thị hàm số y = x + 2 ( m − 2 ) x + m − 5m + 5 có các điểm
cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều. [3]


14
A. 2

B.

1
2

3

C. 2 − 3 3

D. 2 + 3 3

2 ( m − 2 ) < 0
 m < 2
 ab < 0
⇔
⇔

 ab < 0

 −2m < 0
1
⇔
m
=
⇔
. Chọn B

3
3
3
3
3b + 8a = 0
 24m − 8 = 0

Áp dụng (6) ta có: ⇔ 

Bài 16: Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m + 2 có ba điểm cực trị tạo
thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 32.
A. 4

B. 1

C. 2

D.

1

⇔
⇔ 2
⇔ m = 4 . Chọn đáp án A.

5
5
2
 m = 32
32 = m

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4.1. Đối với đồng nghiệp
- Giúp đồng nghiệp quan tâm, khăc sâu và sửa chữa các sai lầm thường gặp
cho học sinh trong quá trình dạy ôn thi THPT Quốc gia phần cực trị của hàm số
thuộc chương trình lớp 12.


15
- Giúp đồng nghiệp có thể sử dụng các kết quả (công thức được xây dựng) để
kiểm tra nhanh các kết quả trong quá trình dạy học của mình và hướng dẫn học
sinh giải nhanh trong bài thi THPT Quốc gia.
2.4.2. Đối với học sinh
- Giúp học sinh khắc phục các sai lầm về giải quyết các bài toán phần cực trị
ôn thi THPT Quốc gia.
- Giúp học sinh nắm được các công thức tính nhanh để tìm ra đáp án phù hợp
trong bài thi THPT Quốc gia năm 2017.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận: Trong nhiều năm dạy học của mình, đặc biệt là năm học 2016 –
2017 tác giả có ôn thi THPT Quốc gia và đã rút ra được một số kinh nghiệm trong
việc dạy ôn thi phần cực trị của hàm số. Qua bài viết tác giả đã đưa ra được một số

Nam tái bản lần thứ 4.
3. Nguyễn Văn Nho, Bộ đề luyên thi thử đại học môn Toán, Nxb đại học quốc
gia Hà Nội tái bản lần thứ 2.
4. Trần Thành Minh, Giải toán đại số và giải tích 11 dùng cho học sinh lớp
chuyên, Nxb giáo dục tái bản lần thứ 12.