A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong
nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và
đời sống. Toán học trở nên thiết yếu đối với mọi ngành khoa học, góp phần làm
cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn. Bởi vậy, việc tăng
cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học môn Toán là
điều cần thiết đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với mục tiêu của Toán
học.
Việc dạy học Toán học ở trường phổ thông phải gắn bó mật thiết với thực
tiễn nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng và giáo dục họ có ý thức ứng dụng
Toán học một cách có hiệu quả trong các lĩnh vực của cuộc sống như: khoa học
kỹ thuật, kinh tế, sản xuất.
Tuy nhiên, việc ứng dụng của Toán học vào thực tiễn trong chương trình
SGK, cũng như trong việc dạy học môn Toán chưa được quan tâm đúng mức.
Hơn nữa những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động và
sản xuất còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ
thông. Mặt khác, trong thực tế giảng dạy môn toán ở phổ thông các giáo viên
chưa thường xuyên rèn luyện cho học sinh thực hiện những ứng dụng của Toán
học vào thực tiễn.[3]
Trong những năm gần đây, bài toán có liên quan thực tế đã có mặt trong các
đề thi THPT Quốc gia. Đặc biệt, năm học 2016- 2017, lần đầu tiên Bộ giáo dục
đào tạo chuyển hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm đối với môn Toán, và
số lượng bài toán thực tế đã xuất hiện nhiều hơn qua các đề minh họa và thử
nghiệm của Bộ. Điều đó không chỉ gây lúng túng, khó khăn cho học sinh mà còn
gây trăn trở cho giáo viên trong việc giảng dạy các dạng toán thực tế này. Bởi
vậy, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh
Lớp 12 giải quyết các bài toán trắc nghiệm thực tế’’.
2. Mục đích nghiên cứu.
Xây dựng một số bài tập trắc nghiệm có nội dung thực tiễn, đề xuất một
phương án khai thác trong dạy học, nhằm góp phần tăng cường thực tiễn của

những nội dung liên quan đến thực tế.
Để một tình huống thực tế trở thành một bài toán thực tế, phải xác định
được yêu cầu cần phải giải quyết từ tình huống và xác định được các dữ kiện
của khách thể làm giả thiết của bài toán.
Thực ra trong dạy học toán ở phổ thông, thường các tình huống thực tế
được phát biểu ngay dưới một bài toán thực tế, tức là học sinh thường được yêu
cầu giải ngay các bài toán thực tế mà rất ít khi phải toán học hóa tình huống để
có bài toán.
2. Thực trạng.
Trong thực tế dạy học ở trường phổ thông, giáo viên thường chỉ quan tâm,
chú trọng việc hoàn thành những kiến thức lý thuyết quy định trong chương
trình và sách giáo khoa, sao nhãng việc thực hành, đặc biệt là những bài toán có
nội dung thực tiễn nên học sinh thường lúng túng thậm chí còn không hoàn
chỉnh được những bài toán có nội dung thực tiễn.
Giảng dạy Toán còn thiên về sách vở, hướng việc dạy Toán về việc giải
nhiều loại bài tập hầu hết không có nội dung thực tiễn. Việc dạy học Toán ở
trường phổ thông hiện nay đang rơi vào tình trạng bị coi nhẹ thực hành và ứng
dụng toán học vào đời sống. Mối liên hệ giữa Toán học và thực tế còn yếu.
3. Các giải pháp.
Qua tổng hợp và phân tích, tôi thấy các bài toán lớp 12 có liên quan đến
thực tế thường là các bài toán kinh tế; tìm phương án tối ưu( tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất); xác định thời gian, số tiền, số dân; hoặc vận tốc quãng đường, tính
diện tích, thể tích của hình , thông qua việc sử dụng đạo hàm hoặc áp dụng các
công thức tính toán( có suy luận tư duy)
Như vậy ta có thể mô tả quy trình mô hình hóa dưới đây

Ta có thể cụ thể hóa 3 bước của quá trình mô hình hóa như sau:
Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô hình
Toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả “dưới dạng ngôn ngữ Toán học”
cho mô hình mô phỏng thực tiễn. Lưu ý là ứng với vấn đề được xem xét có thể

 f '( xi ) = ?

Bước 3: Tính  f ( a) = ?

 f ( b) = ?

{
{

}
}

 max f ( x) = max f ( x1 ) ; f ( x2 ) ;...; f ( xn ) ; f ( a) ; f ( b)
 D
Bước 4: So sánh và kết luận 
f ( x) = min f ( x1 ) ; f ( x2 ) ;...; f ( xn ) ; f ( a) ; f ( b) [4]
 min
D
Lưu ý: Trường hợp tập D = ( a; b) (hoặc D = ( a; b ; D = ( a;b ) thì ta làm tương tự

như bước 1 và bước 2. Đến bước 3 thì ta “lập bảng biến thiên” để từ đó đưa ra
kết luận.
Ngoài cách sử dụng đạo hàm như đã trình bày ở trên, đôi khi để giải quyết
nhanh bài toán ta có thể sử dụng thêm các kiến thức về cực trị của hàm số bậc
hai hay các bất đẳng thức đã học như Cauchy hay bất đẳng thức trong tam
giác.
3.1.2. Bài toán về lãi suất, số dân:
* Công thức tính lãi kép.
Vốn gốc ban đầu P0 với mong muốn đạt được lãi suất r mỗi kì theo hình thức
lãi kép trong thời gian n kì. Vào cuối mỗi kì ta rút tiền lãi và chỉ để lại vốn. Tính


3.1.3. Thể tích một số hình không gian thường gặp.
a. Khối chóp: Thể tích

1
V = .B.h
3

Diện tích xung quanh của một khối chóp bằng tổng diện tích các mặt bên
Diện tích toàn phần của một khối chóp bằng tổng của diện tích xung quanh
và diện tích đáy.
b. Khối lăng trụ: Thể tích V = B.h
Diện tích xung quanh của một khối lăng trụ bằng tổng diện tích các mặt bên.
Diện tích toàn phần của một khối lăng trụ bằngtổng của diện tích xung
quanh và diện tích hai đáy.
c. Khối hộp chữ nhật: Thể tích V = a.b.c với a,b,c là kích thước hình hộp.
Khối lập phương: Thể tích V = a3
d. Khối nón:
Cho hình nón có bán kính đáy r , đường cao h , đường sinh l
1
1
V = .B.h = .π .r 2.h
3
3
của hình nón: Sxq = π .r.l

Thể tích V của khối nón:

Diện tích xung quanh
Diện tích toàn phần của một hình nón bằng tổng của diện tích xung quanh và

( H ) : y = 0
.
 x = a, x = b (a < b)


Diện tích được tính theo công thức
b

S = ∫ f (x) dx
a

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra do hình (H) xoay quanh trục Ox.
b

V = π ∫ f 2 ( x) dx
a

3.2. Sau đây tôi xin trình bày một số ví dụ minh họa
Từ ví dụ 1 đến ví dụ 7, là các bài toán thực tế có sử dụng đạo hàm vào
các bài toán kinh tế, hình học.
Từ ví dụ 8 đến ví dụ 11, là các bài toán thực tế sử dụng công thức mũ
và logarit.
Ví dụ 12, là bài toán thực tế sử dụng công thức tích phân.
Ví dụ 1: Công ty du lịch Tây Nguyên dự định tổ chức tua du lịch “Thăm lại
chiến trường xưa” lộ trình Thanh Hóa- Nghệ An- Hà Tĩnh- Quảng Bình- Quảng
Trị. Công ty dự tính nếu giá tua là 2 triệu đồng thì sẽ có khoảng 150 người tham
gia. Lợi nhuận càng lớn khi càng nhiều người tham gia. Do đó để thu hút mọi
người tham gia, công ty quyết định giảm giá và cứ mỗi lần giảm giá tua 100
ngàn đồng thì sẽ có thêm 20 người tham gia. Hỏi công ty phải định giá tua là
bao nhiêu để doanh thu từ tua du lịch là lớn nhất ?


11
.
8

Lập bảng biến thiên ta có:
x

f ' ( x)
f ( x)

0
+

11
8
0

2
−

3025
8

 11

f ( x) = f  ÷ = 378,125
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy xmax
∈( 0;2)
 8

Ta sử dụng đến quan hệ tỉ lệ trong
định lý Thales thuận ( MH / /AB ) nên ta có:

HC MH
x
=
=
. Bài toán trở
BC
AB x + 0,5

thành tìm min f ( x) = ?
● Nếu phân tích theo hướng thứ hai, nếu ta đặt HC = x > 0 thì khi đó ta sẽ biểu
diễn độ dài AC = P ( x) + Q ( x) (việc khảo sát hàm này không đơn giản chút
nào). Do đó ta chuyển hướng sang tìm quan hệ giữa góc và cạnh tam giác và
nhận thấy α = R MCH = R AMK . Đến đây ta thấy hướng phân tích tiếp là hoàn
toàn thuận lợi vì khi đó MC = MH sinα và AM = MK cosα . Khi đó bài toán trở
thành tìm ming( α ) = ?
Hướng dẫn giải.
● Đặt HC = x > 0 ⇒ BC = x + 0,5 . Theo định lý Thales ta có
Do đó ta có AB =

4( x + 0,5)
x

.

Do ∆ABC vuông tại B ⇒ AC 2 = AB2 + BC 2 = ( x + 0,5) +
2


x2

65 2
x + 16x + 4
4
x > 0) .
(
2
x

 3



65
65 2
2
x + 16÷x2 − 2x x4 + x3 +
x + 16x + 4÷
 4x + 3x +
2
4
Ta có



f ' ( x) = 
4
x
4

0

+

f ( 2)

f ( x) = f ( 2) =
Dựa vào bảng biến thiên ta có min
x> 0

Do đó ta có minAC =

+∞

2

125
4

125 5 5
=
≈ 5, 5902. Đáp án C
4
2

Nhận xét: Trong quá trình giải ta gặp khó khăn khi giải phương trình f' ( x) = 0 ,
nhưng ta có thể sử dụng MTBT để tìm nghiệm.
Với cách thi trắc nghiệm ta có thể thử 4 phương án từ đáp án để tìm
nghiệm (bằng chức năng CALC của máy tính cầm tay) sau đó kiểm tra qua
f' ( x) = 0 .

x
2x

Do V = 2x2 y ⇒ y =

6

Trong trang này: ví dụ 3 là “của” tác giả.
Do S,x phải luôn dương nên ta tìm giá trị nhỏ nhất của S trên ( 0;+∞ ) .

9


Ta có : S' ( x) = 4x −

3V
3V
,S' ( x) = 0 ⇔ x = 3
2
4
x

 3V
6
Lại có S'' ( x) = 4 + 3 > 0,∀x∈ ( 0; +∞ ) . Do đó minS = S  3
x
 4

Và khi đó chiều cao là


3

150 m2 .

Do đó chi phí thấp nhất sẽ là 150.( 500000) = 75.000.000 (đồng). Đáp án B
Nhận xét: Ta có thể tìm giá trị nhỏ nhất bằng bất đẳng thức Cauchy:
2
3V
3V 3V
9V 2
2
2 9V
3
3
S ( x) = 2x +
= 2x +
+
≥ 3 2x
=3
x
2x 2x
2
4x2
2

Ví dụ 4: Huyện X muốn làm con đường
đi từ địa điểm A đến địa điểm B ở hai
bên bờ một con sông, các số liệu được
thể hiện trên hình vẽ, con đường được
làm theo đường gấp khúc AMNB. Biết

10


f ( x) = ?
Bài toán trở thành tìm x∈min
( 0;4,1)

x

−
Ta có f' ( x) = a 2
 x + 1, 44


Cho


÷
÷
2
( 4,1− x) + 2,25 ÷
1,3( 4,1− x)

(

)

2
2
f ' ( x) = 0 ⇔ x2 ( 4,1− x) + 2, 25 = 1, 32 ( 4,1− x) x2 + 1, 44

● Một nhận xét quan trọng là maxθ ⇔ max( tanθ ) , lại có θ = θ 2 − θ1 nên ta thử
tính
tan( θ 2 − θ1 )

tanθ 2 − tanθ1
=
=
1+ tanθ 2 tanθ1

2, 4 + 8,5 8,5
2,4
−
2,4
x
x
x
=
=
( 2,4 + 8,5) . 8,5 1+ 1853 x + 1853
1+
20x2 14 220
x
x
43x

( x) = ?
● Đến đây, bài toán trở thành tìm ming
x> 0

g( x)

20x2 14 220
x
x
43x
tanθ 2 − tanθ1

g( x)

Ta thấy rằng maxθ ⇔ max( tanθ ) ⇔ ming( x) .
1853
g( x) = ?
. Bài toán trở thành tìm x∈min
0;+∞ )
(
20x
1853
1853
,g' ( x) = 0 ⇔ xo =
≈ 9,63
Ta có: g' ( x) = 1−
2
20
20x

Đặt g( x) = x +

Lập bảng biến thiên
x

xo

1853 Cauchy
1853
1853
g( x) = x +
≥ 2 x.
=2
.
20x
20x
20

Dấu “=” xảy ra ⇔ x =

1853
1853
⇒x=
20x
20

Ví dụ 6: Công ty mỹ phẩm chuẩn bị cho ra một mẫu
sản phẩm dưỡng da mới mang tên Ngọc Trai với thiết
kế là một khối cầu như viên ngọc trai khổng lồ, bên
trong là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng
kem dưỡng da như hình vẽ (hình ảnh chỉ mang tính
chất minh họa). Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự
định để khối cầu có bán kính là R = 3 3 cm. Tìm thể
tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực
ghi trên bìa hộp là lớn nhất (với mục đích thu hút khách hàng).
A. 54π cm3 .
B. 18π cm3 .


R
3

< R.

Lập bảng biến thiên ta có:
h

R

0

f ' ( h)

+

3
0

R
−

 R 
f
÷
 3

f ( h)


B.Hình hộp chữ nhật đáy hình vuông
C.Cả hai như nhau.
D.Hình lập phương.
Phân tích: Để chi phí nhỏ nhất thì diện tích sản phẩm phải nhỏ nhất
TH1: Nếu làm hình trụ có bán kính đáy là x(dm) và chiều cao là h(dm)
AM −GM
1
2
2
2
S
=
2
π
xh
+
2
π
x
=
+
2
π
x
≥ 3 3 2π ≈ 5,5 (dm 2 )
tp
2
πx
x
TH2: Nếu làm hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông cạnh x(dm) và cao h(dm)

gửi không rút lãi tiền lãi sau mỗi kỳ được nhập vào vốn ban đầu?
A. 596 ngàn đồng.
B. 595 ngàn đồng.
C. 600 ngàn đồng.
D. 590 ngàn đồng.
Phân tích: Đề bài yêu cầu tìm tổng số tiền ông A rút được từ ngân hàng sau 2
năm, lúc này ta sử dụng trực tiếp công thức

Pn = P0 ( 1 + r )

n

.

Ta phải xác định rõ: P0 = ..,r = ..,n = ....? , từ đó thay vào công thức (2) tìm được Pn .
Lời giải: 2 năm = 8 quý.
Sau 2 năm, số tiền ông A nhận được là 100 ×1,062 triệu đồng
Sau 2 năm, số tiền ông B nhận được là 100 ×1,014 8 triệu đồng
Vậy, sau 2 năm số tiền ông A nhận được hơn ông B là
( 100 ×1,062 − 100 ×1,0148 ) ×1000 ≈ 595,562 nghìn đồng
Vậy, chọn đáp án A.
Nhận xét: Đây cũng là một bài toán rất thực tế, gửi theo năm tiền lãi có thể
nhiều hơn, xong nó có điều bất tiện là sự mất giá của đồng tiền và sự xoay vòng
của tiền lâu hơn so với gửi theo quý.
Ví dụ 9: Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất là 0,7%/tháng theo
thỏa thuận cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 5 triệu đồng và cứ trả
hàng tháng như thế cho đến khi hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả dưới 5 triệu).
Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng.
A. 21.
B. 22.

vay này và họ xem như là lấy lương trước.
Ví dụ 10: Ông Y đến siêu thị điện máy để mua một cái laptop với giá 15,5 triệu
đồng theo hình thức trả góp với lãi suất 2,5% một tháng. Để mua trả góp ông Y
phải trả trước 30% số tiền, số tiền còn lại ông sẽ trả dần trong thời gian 6 tháng
kể từ ngày mua, mỗi lần trả cách nhau 1 tháng. Số tiền mỗi tháng ông Y phải trả
là như nhau và tiền lãi được tính theo nợ gốc còn lại ở cuối mỗi tháng. Hỏi, nếu
ông Y mua theo hình thức trả góp như trên thì số tiền phải trả nhiều hơn so với
giá niêm yết là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất không đổi trong thời gian ông Y
hoàn nợ và hàng tháng ông B đều trả tiền đúng hạn. (Kết quả làm tròn đến chữ
số hàng chục nghìn)
A. 1628000 đồng .
B. 2325000 đồng .
C. 1384000 đồng.
D. 970000 đồng
Phân tích: Vì ông Y đã trả trước được 30% rồi nên việc tính lãi cho số tiền còn
lại, sử dụng công thức ta tính được số tiền trả trong mỗi tháng.
Lời giải: Ông Y phải trả trước 30% số tiền nên số tiền ông Y cần phải vay là:
15,5 − 15,5× 30% = 10,85 triệu đồng.
Áp dụng công thức,ta tính được số tiền háng tháng ông Y phải trả là:
a( 1+ r ) .r
n

x=

( 1+ r ) − 1
n

10,85( 1 + 2, 5%) × 2, 5%
6


giải:
Từ
giả
thiết
ta
có
các
dữ
kiện
sau:
P0 = 90700000,n = 2024 − 2014 = 10,r = 1,06%

Áp dụng công thức (2): Khi đó dân số nước ta năm 2024 là:
10
P10 = 90700000× ( 1+ 1,06%) ≈ 100.786.003 (người) . Đáp án B
Nhận xét: Vì đề bài không đưa ra công thức tăng trưởng dân số:

Pn = P0enr

15


Nên ta dùng công thức lãi kép, còn nếu dùng công thức tăng trưởng ta sẽ có
10×1,06%
≈ 100.842.244 (người) (chênh lệch giữa 2 công
đáp số là: P10 = 90700000× e
thức là 56.241 người)
Ví dụ 12: Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có dạng hình Parabol. Người
ta dự định lắp cửa kính cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp
vào biết rằng vòm cửa cao 8 m và rộng 8 m.

4

S=

∫ ( ax

2

−4

)

+ bx + c

Lưu ý rằng cánh cửa rộng 8m và ta cho đường cong Parabol đối xứng qua trục
tung Oy nên dễ suy ra các cận x = −4 và x = 4 .
Lời giải: Không mất tổng quát, ta xét dạng hình parabol vòm cửa lớn như hình
vẽ sau.
Giả sử parabol ( P ) : y = ax2 + bx + c.

16


Ta có:


−1
 A ( 0; 8) ∈ ( P )
a = 2
c = 8



 1

x3 
128 2
SH = 2  − x2 + 8÷dx =  16x −
=
m
÷

÷
2
3
3


0
0

∫

( ) . Đáp án D

Nhận xét: Khi phải tính diện tích của một hình không có trong công thức tính
cơ bản, ta sẽ dùng tích phân để tích, vấn đề quan trọng phải xác định được
dạng của hình, sau đó sẽ gắn vào hệ trục tọa độ và áp dụng công thức.
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Sau khi tiến hành thử nghiệm dạy lớp 12A3, Lớp đối chứng là 12A2trường THPT Hoằng Hóa 4; hai lớp này có lực học là tương đương; qua quá
trình thiết kế bài soạn, thực nghiệm giảng dạy và kiểm tra đánh giá kết quả, tôi

3

4

10
12

7

4

0

45

15

8

1

45

Qua đây, học sinh có hứng thú hơn trong học tập nhất là các bài toán có liên
quan đến thực tiễn, có thể vận dụng vào cuộc sống hàng ngày. Các em không
còn thấy “xa lạ” với các bài toán trắc nghiệm, nhất là có liên quan đến thực tế.
Giáo viên sẽ tích cực giảng dạy, khai thác sâu hơn các ứng dụng của toán học
vào đời sống.
C. KẾT LUẬN
1. Kết luận.


Hong Húa, ngy 26 thỏng 5 nm 2017.
Tụi xin cam oan õy l SKKN ca mỡnh vit,
khụng sao chộp ni dung ca ngi khỏc
Ngi vit

Nguyn Vn Trng

TI LIU THAM KHO
1. Bựi Vn Ngh (2008), Vn dng lý lun vo thc tin dy hc mụn Toỏn
trng ph thụng, NXB i hc s phm H Ni.
2. Nguyễn Nhứt Lang (2003), Tuyển tập các bài toán thực tế
hay và khó, NXB Đà Nẵng.
3. Phạm Phu (1998), ứng dụng toán sơ cấp giải các bài toán
thực tế, NXB Giáo dục.

18


4. Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên),
Nguyễn Xuân Liêm, Trn Phng Dung, Đặng Hùng Thắng
(2007), Đại số và Giải tích 12; Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên),
Vn Nh Cng, Phm Khc Ban- sỏch Hỡnh Hc 12(nâng cao), NXB
Giáo dục.
5. minh ha, th nghim mụn Toỏn THPT Quc Gia ca B giỏo dc;
cỏc thi th ca cỏc S giỏo dc, cỏc trng THPT trờn ton quc.
6. Cỏc ti liu tham kho trờn Internet.

19