MỤC LỤC
I.MỞ ĐẦU
1.1.Lí do chọn đề tài………………………………….........................1
1.2.Mục đích nghiên cứu……………………………………………..1
1.3.Đối tượng nghiên cứu…………………………………………….1
1.4.Phương pháp nghiên cứu……………………………....................1
II.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM………………………2
2.1.Cở sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm…………………………2
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……3
2.3.Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề………………………3
2.3.1.Nội dung hướng dẫn học sinh…………………………………..3
2.3.2.Bài tập củng cố…………………………………………………17
2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục ,
với bản thân,đồng nghiệp và nhà trường …………………………..19
III.KẾT LUẬN,KIẾN NGHỊ…………………………………………..20
3.1.Kết luận…………………………………………………………..20
3.2.Kiến nghị…………………………………………………………20
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………21

I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Tr
ang 1


Ở các lớp dưới ,học sinh mới chỉ tính toán ,giải toán trên tập số
thực.Lên lớp 12 các em phải tính toán và giải toán trên tập số phức
Số phức là một nội dung mới trong các đề thi Đại học ,Cao đẳng và
thực sự gây không ít khó khăn bởi nguồn tài liệu tham khảo hạn chế.
Các bài toán về số phức liên quan đến nhiều kiến thức của lớp
dưới,đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức như giải phương trình,hệ

-Định hướng giải và phân dạng các bài tập thường gặp
-Xây dựng một số bài toán trắc nghiệm ứng dụng trong quá trình học
tập và thi THPTQG của học sinh
-Rèn luyện kỹ năng làm toán thông qua hệ thống bài toán viết dưới
dạng trắc nghiệm có hướng dẫn và hệ thống bài tập tự rèn luyện
-Đề xuất một phương án khai thác trong dạy học ,nhằm góp phần gây
hứng thú học tập đối với học sinh
1.3.Đối tượng nghiên cứu
Tr
ang 2


- Học sinh khối 12 THPT ôn thi THPT quốc gia
- Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT
1.4.Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện mục đích chọn đề tài ,trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử
dụng một số phương pháp sau:
1.4.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các sách, báo, tư liệu, các công trình
nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến đề tài.
1.4.2.Phương pháp điều tra thực tế:
+ Điều tra GV và HS THPT về tình hình thực tiễn có liên quan.
+ Tham khảo ý kiến của giáo viên Toán về kinh nghiệm xây dựng và
khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn.
1.4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
Sử dụng phương pháp thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và
hiệu quả của giải pháp đề ra.

Tr
ang 3


mật thiết vơi nhau. Trong quá trình giảng dạy phần nội dung này tôi nhận thấy
vẫn còn một số học sinh chưa giải quyết được bài toán tìm tập hợp các điểm
biểu diễn số phức mặc dù tập hợp các điểm cần tìm thông thường là đường
thẳng, đường tròn, đường Elíp, đường Hybebol, đường Parabol,...Nhiều học
sinh lại gặp rất nhiều khó khăn khi giải quyết bài toán tìm số phức có môđun
lớn nhất, nhỏ nhât. Để làm tốt được bài toán này trước hết học sinh phải tìm
được tập hợp các điểm biểu diễn số phức sau đó áp dụng kiến thức về bất
đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, hình giải tích trong mặt phẳng: đường thẳng,
đường tròn, Elíp, ...để từ đó tìm ra được môđun số phức lớn nhất, nhỏ nhất.
Tra
ng 4


2.3. Các giải pháp.
Để hướng dẫn cho học sinh vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các
bài toán “Tìm số phức z để môđun lớn nhất, nhỏ nhất”tôi đã hướng dẫn học
sinh thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô
hình Toán học cho vấn đề đang xét
Đây là bước quan trọng,từ giả thiết của bài toán và các mối liên hệ ta
xây dựng,thiết lập và biểu diễn chúng dưới dạng các biến số,lập hàm số tìm
các điều kiện tồn tại của chúng
Bước 2: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài
toán ở bước 1
Với các kiến thức đã học ta vận dụng giải quyết bài toán như: sử
dụng công cụ đạo hàm để khảo sát hàm số hoặc áp dụng công thức lượng
giác, giải phương trình, các bài toán hình học phẳng…và giải quyết bài toán
hình thành ở bước 1.Và đặc biệt tôi luôn lưu ý các em về các điều kiện ràng
buộc của biến số và hướng dẫn các em sử dụng CASIO để tính toán
nhanh,chính xác và tiết kiệm thời gian.

+Số đối của z = a + bi là − z = −a − bi
4.Nhân hai số phức
Cho hai số phức z = a + bi; z2 = a '+ b ' i với a, b, a ', b ' ∈ R
z.z ' = ( a.a '− b.b ') + (ab '+ a ' b)i
_

5.Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z = a − bi
=

_

_

_

_

_

_

z = z ; z + z ' = z + z ' ; z.z ' = z . z '
_

_

z là số thực ⇔ z = z ; z là số ảo ⇔ z = − z
6.Môđun của số phức z=a+bi
_
uuuu


,  =

z'
z'
=
z
z

z'
,
z

B. MỘT SỐ KIẾN THỨC ÁP DỤNG
1.Bất đẳng thức :Bun-nhi-a-cốp-xki với 4 số thực
Với 4 số thực a,b,c,d ta có : (ab + cd )2 ≤ (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 )
Dấu đẳng thức xảy ra khi ad=bc
2.Định lý về dấu tam thức bậc hai
3.Sự đồng biến ,nghịch biến của hàm số và bảng biến thiên
4.Giao điểm của đường thẳng và đường thẳng,đường thẳng và đường
tròn
5.Tính chất của hàm số lượng giác
6.Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thường gặp
Tra
ng 6


+Phương trình đường thẳng :ax+by+c=0
+Phương trình đường tròn (x-a)2+(y-b)2=R2
+Phương trình đường Elip:

AM ≤ AI + IM = AI + IC = AC

.Đẳng thức xáy ra khi M trùng C
+Nếu A nằm trong đường tròn (T)
thì với điểm M bất kì trên (T) ,ta có
AM ≥ IM − IA = IB − IA = AB .
Đẳng thức xáy ra khi M trùng B
AM ≤ AI + IM = AI + IC = AC .
Đẳng thức xáy ra khi M trùng C
Tra
ng 7


Vậy khi M trùng với B thì AM đạt GTNN
Khi M trùng với C thì AM đạt GTLN
Bài toán 2: Cho hai đường tròn (T1) có tâm I, bán kính R1; đường tròn (T2) có
tâm J, bán kính R2.Tìm ví trí của điểm M trên (T1), điểm N trên (T2) sao cho
MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Bài Giải
-Gọi d là đường thẳng đi qua I,J
d cắt đường tròn (T1) tại hai
điểm A,B ( giả sử JA > JB ),
d cắt (T2) tại hai điểm C,D
(giả sử ID > IC )
-Với điểm M bất kì trên (T1)
và điểm N bất kì trên (T2),ta có :
+ MN ≤ IM + IN ≤ IM + IJ + JN = R1 + R2 + IJ = AD
Đẳng thức xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D
+ MN ≥ | IM − IN | ≥ | IJ − IM − IN | = | IJ − R1 − R2 | = BC
Đẳng thức xảy ra khi M trùng với B và N trùng với C

C. z = − + i ; z = − i
5
5
5 5

A. z =

27 36
3 4
+ i ;z = − i
5
5
5 5
27 36
3 4
D. z = + i ; z = + i
5
5
5 5

B. z =

Bài giải
• Cách 1: Phương pháp lượng giác hoá
Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức z = x + yi ( x, y ∈ R) .
Khi đó | z − 3 + 4i |= 4 ⇔ ( x − 3) 2 + ( y + 4) 2 = 4 ⇔ ( x − 3) 2 + ( y + 4) 2 = 16
 x = 3 + 4sin t
. Khi đó
 y = −4 + 4cost



Vậy môđun lớn nhất của z bằng 9 khi z =

Chọn phương án A
• Cách 3:Qui về bài toán 1
Tra
ng 9


Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức z = x + yi ( x, y ∈ R) .Khi đó
| z − 3 + 4i |= 4 ⇔ ( x − 3) 2 + ( y + 4) 2 = 4 ⇔ ( x − 3) 2 + ( y + 4) 2 = 16

Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc đường tròn (T) có tâm
I(3;-4),bán kính R=4
| z |= x 2 + y 2 = OM ; OI = 5 > R nên O nằm ngoài đường tròn (T)
|z| lớn nhất (nhỏ nhất) khi OM lớn nhất (nhỏ nhất)
Phương trình đường thẳng OI là 4x+3y=0
Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) tại hai điểm A,B có toạ độ là
nghiệm của hệ phương trình
27
36

x= ;y=−

( x − 3) + ( y + 4) = 16
3 4
27 36
5
5
⇔

27 36
− i
5
5
3 4
Môđun nhỏ nhất của z bằng 1 khi z = − i
5 5

Vậy môđun lớn nhất của z bằng 9 khi z =

Chọn phương án A
• Cách 5:Phương pháp hình học
Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức
z = x + yi ( x, y ∈ R) .Khi đó
| z − 3 + 4i |= 4 ⇔ ( x − 3) 2 + ( y + 4) 2 = 4
⇔ ( x − 3) 2 + ( y + 4) 2 = 16

Tra
ng 10


Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc
đường tròn (T) có tâm I(3;-4),bán kính R=4
Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) tại hai
điểm A,B như hình vẽ
Ta có | z |min ⇔ M trùng với A trên (T) gần O
nhất
Kẻ AH ⊥ Ox ,theo định lý Talet ta có

AH OA OI − R 1

Vậy môđun lớn nhất của z bằng 9 khi z =

Chọn phương án A
• Cách 6: Sử dụng bất đẳng thức tam giác
Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức z = x + yi ( x, y ∈ R) .
Gọi ω = 3 − 4i ⇒ A(3, −4) biểu diễn cho số phức ω
|z|=OM, | ω |= OA = 5;| z − ω |= AM ;| z − 3 + 4i |= 4 ⇔| z − ω |= 4 ⇔ AM = 4
Ta có
| OM − OA |≤ AM ⇔ −4 ≤ OM − OA ≤ 4 ⇔ −4 + OA ≤ OM ≤ 4 + OA ⇔ 1 ≤ OA ≤ 9
⇒ 1 ≤| z |≤ 9
27 36
− i
5
5
3 4
Môđun nhỏ nhất của z bằng 1 khi z = − i
5 5

Vậy môđun lớn nhất của z bằng 9 khi z =

Chọn phương án A

Bài 2: (Qui về bài toán 2)
Tra
ng 11


Cho các số phức z1 , z2 thoả mãn : | z1 − 1 − i |= 1;| z2 − 6 − 6i |= 6 ,tìm số phức z1 , z2
sao cho | z1 − z2 | đạt giá trị lớn nhất
2− 2 2− 2

tròn tâm I(1,1),bán kính R=1
| z2 − 6 − 6i |= 6 ⇔| z2 − 6 − 6i |2 = 36 ⇔ (c − 6) 2 + ( d − 6) 2 = 36 suy ra N thuộc
đường tròn tâm J(6,6),bán kính R’=6
| z1 − z 2 |= (c − a) 2 + ( d − b) 2 = MN

Đường thẳng IJ có phương trình y=x,đường thẳng IJ cắt đường tròn
tâm I tại hai điểm M 1 (

2− 2 2− 2
2+ 2 2+ 2
;
); M 2 (
;
)
2
2
2
2

Đường thẳng IJ có phương trình y=x,đường thẳng IJ cắt đường tròn
tâm J tại hai điểm N1 (6 − 3 2;6 − 3 2); N 2 (6 + 3 2;6 + 3 2)
M 2 N1 ≤ MN ≤ M 1 N 2 ⇔ 5 2 − 7 ≤| z1 − z2 |≤ 5 2 + 7
Max | z1 − z2 |= 5 2 + 7 ⇔ M ≡ M 1 ; N ≡ N 2

Vậy z1 =

2− 2 2− 2
+
i ; z2 = 6 + 3 2 + (6 + 3 2)i thì | z1 − z2 | đạt GTLN
2

2
i; z2 = 3 + 3i
2

2
2
−
i; z2 = 3 − 3i
2
2
2
2
+
i; z2 = 3 − 3i
D. z1 =
2
2

B. z1 =

Bài giải
Gọi z1 = a + bi; z2 = c + di;(a, b, c, d ∈ R ) ⇒ M (a, b); N (c, d ) lần lượt biểu diễn
cho z1 , z2 trong hệ toạ độ Oxy
| z1 |= 1 ⇔ a 2 + b 2 = 1 ⇔ a 2 + b 2 = 1

suy ra M thuộc đường tròn (T) có tâm O,bán kính R=1
_

ω = z2 [ z2 − (1 − i )] − 6i + 2 = c(c − 1) + d (d + 1) + 2 + [c(d + 1) − d (c − 1) − 6]i
ω là một số thực

2

Vậy P đạt GTNN bằng 18 − 3 2 ⇔ z1 =

2
2
+
i; z2 = 3 + 3i
2
2

Chọn phương án C

Dạng 2:Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng

Tra
ng 13


Bài 4:Trong các số phức z thoả mãn |z-2-4i|=|z-2i|.Tìm số phức z có môđun
nhỏ nhất
A. z = 2 − 2i
B. z = 2 + 2i
C. z = −2 − 2i
D. z = −2 + 2i
Bài giải
• Cách 1:
Giả sử z = x + iy ( x, y ∈ R )
| z − 2 − 4i |=| z − 2i |⇔ ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = x 2 + ( y − 2) 2 ⇔ x + y − 4 = 0 ⇔ y = 4 − x
| z |= x 2 + y 2 = x 2 + (4 − x) 2 = 2 x 2 − 8 x + 16 = 2( x − 2) 2 + 8 ≥ 2 2

Dạng 3:Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường Elip
Tra
ng 14


Bài 5:Trong các số phức z thoả mãn điều kiện | z − 3 | + | z + 3 |= 10 .Tìm số phức
z có môđun lớn nhất
A. z = 5i; z = −5
B. z = 5; z = −5i
C. z = −5i; z = 5i
D. z = 5; z = −5
Bài giải
Trong mặt phẳng Oxy,gọi các điểm M,F1,F2 lần lượt biểu diễn các số
phức z,3,-3 suy ra M(x,y);F1(3,0);F2(-3,0) , F1 ; F2 ∈ Ox
| z − 3 | + | z + 3 |= 10 ⇔ MF1 + MF2 = 10; F1F2 = 6

Vậy tập hợp các điểm M là Elip có độ dài trục lớn bằng 10 và độ dài
trục bé bằng 4 suy ra phương trình Elip :
• Cách 1:
Ta có | z |= OM = x 2 + y 2 = 9 +

x2 y2
+
=1
25 16

16 2
x
25



Vậy | z |max = 5 ⇔ 
Chọn phương án D
• Cách 3:

 x = 5sin t
⇒| z |= x 2 + y 2 = 25sin 2 t + 9cos 2t = 9 + 16sin 2 t
 y = 3cos t
Suy ra 3 ≤| z |≤ 5
 x = 5 ⇒ M (5;0) ⇒ z = 5
| z |max = 5 ⇔ sin 2 t = 1 ⇔ 
 x = −5 ⇒ M (−5;0) ⇒ z = −5

Đặt 

Chọn phương án D
E. BÀI TẬP CỦNG CỐ
Tra
ng 15


Bài 1: (Câu 23-Đề thi thử Trần Hưng Đạo-Ninh Bình-Lần 3)
Trong các số phức thoả mãn điều kiện | z + 3i |=| z + 2 − i | .Tìm số phức có môđun
nhỏ nhất ?
A. z = 1 − 2i

1
5

2

Cho số phức z thoả mãn z không phải là số thực và w =

z
là số thực .Giá
2 + z2

trị lớn nhất của biểu thức M =| z + 1 − i | là:
A. 2 2
B. 2
C.2
D.8
Bài 4:Cho số phức z thoả mãn | z − 2 − 2i |=| z − 2i | .Tìm số phức z có môđun
nhỏ nhất
A. z = −2 + i
B. z = −2 + 2i
C. z = 2 − 2i D. z = 2 + 2i
Bài 5: Cho số phức z thoả mãn điều kiện: | z − 1 − 2i |= 2 .Tìm số phức z có
môđun nhỏ nhất
5 + 2 5 10 − 4 5
+
i
5
5
10 − 4 5 5 − 2 5
+
i
C. z =
5
5


Tra
ng 16


_

Bài 8:Trong các số phức z1 , z2 thoả mãn : ( z1 − 10)( z1 + 6i ) có phần thực bằng
-26; | z2 + 1 − 3i |2 + | z2 − 4 + 2i |2 = 58 .Tìm số phức z1 , z2 sao cho | z1 − z2 | đạt giá
trị nhỏ nhất,lớn nhất
Bài 9:Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất .Biết số phức z thoả mãn điều kiện
| z − 1| + | z + 1|= 4

A. z1 = 3i ; z2 = − 3i
B. z1 = 3; z2 = − 3
C. z1 = 3i ; z2 = −3i
D. z1 = 1 + 3i ; z2 = 1 − 3i
Bài 10:Trong các số phức z có môđun bằng 2 2 .Tìm số phức z sao cho biểu
thức P =| z + 1| + | z + i | đạt giá trị lớn nhất
A. z = 2 + 2i
B. z = −2 + 2i
C. z = 2 − 2i
D. z = −2 − 2i
Bài 11:Trong các số phức z có môđun bằng 2.Tìm số phức z sao cho biểu thức
P =| z − 1| + | z − 1 + 7i | đạt giá trị nhỏ nhất
A. 49
B. 7
C.4
D. 0
Bài 12: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện | z − 2 − 4i |= 5 .Tìm số phức
có môđun lớn nhất,nhỏ nhất


1
2

1
2

1
2

B. z = − i

1
2

C. z = − + i

1
2

1
2

D. z = − + i

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Tra
ng 17



số

12A 6

6

8

10

9

7

2

0

42

12A10

2

3

4

12


Nêu bật được ứng dụng các phương pháp trong việc giải quyết một bài
toán kể cả dùng kiến thức của hình học phẳng.
Đề tài có thể là tài liệu tham khảo giảng dạy cho giáo viên Toán hoặc sử
dụng làm tài liệu liên môn, cũng như tài liệu học tập cho học sinh lớp 12.
Đề tài của tôi trên đây còn mang màu sắc chủ quan, chắc chắn còn
nhiều thiếu sót và hạn chế .Vì vậy tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến quí
báu, phê bình, phản hồi của các thầy cô, các đồng nghiệp để càng hoàn thiện
hơn.
3.2. Kiến nghị.
-Từ kết quả nghiên cứu đã đạt được trên đây, tôi xin mạnh dạn đề xuất một số
kiến nghị như sau:
Một là, đối với Sở giáo dục và đào tạo: Cần tổ chức tập huấn cho giáo viên
nhiều hơn nữa về việc đổi mới phương pháp dạy học, đặc biệt là tập huấn việc
ra đề trắc nghiệm.
Hai là, đối với nhà trường: cần tạo điều kiện thuận lợi về cơ sở vật chất, trang
thiết bị hỗ trợ giáo viên. Có chế độ khen thưởng kịp thời đối với giáo viên có
nhiều sáng kiến kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy.
Ba là, đối với giáo viên: Cần phối hợp nhiều phương pháp dạy học tích cực
trong quá trình dạy học, đổi mới phương pháp theo hướng tích cực hóa người
học, tích cực soạn giáo án liên môn tích hợp và giảng dạy.
Đề tài này cần thiết giới thiệu rộng rãi cho học sinh và đồng nghiệp dạy 12.
Tuy nhiên các ví dụ cũng cần được sưu tập thêm, với sự cộng tác của độc giả
Tra
ng 19


chắc chắn đề tài sẽ đem lại nhiều lợi ích . Ngoài ra phương pháp giải các ví dụ
có thể chưa tối ưu cần sự góp ý bổ sung của bạn đọc.
XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ


Họ và tên tác giả: Ngô Thị Hoài
Chức vụ và đơn vị công tác:Giáo viên, trường THPT Hoằng Hoá 4

TT
1.

Tên đề tài SKKN

Kết quả
Cấp đánh
đánh giá
giá xếp loại
xếp loại
(Phòng, Sở,
(A, B,
Tỉnh...)
hoặc C)

Năm học
đánh giá xếp
loại

Sử dụng véc tơ và toạ độ để
giải một số bài toán sơ cấp

Sở GD_ĐT
C

2009-2010