A.MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài:
Trong dạy học môn toán, giải toán là một yêu cầu mà học sinh và giáo
viên thường xuyên phải thực hiện. Qua giải toán, kiến thức toán học được giáo
viên củng cố, mở rộng cho học sinh, …, từ đó có sức hấp dẫn, đồng thời rèn
luyện tư duy logic, sáng tạo; rèn luyện các kỹ năng giải toán cho các em.
Với học sinh lớp 6, từ môi trường tiểu học lên cấp THCS việc tiếp cận với
cách học, phương pháp học các môn trong đó có môn toán đã gặp không ít khó
khăn. Qua giảng dạy, tìm hiểu, quan sát trong môn số học lớp 6 có dạng toán
tính tổng dãy các phân số có quy luật đã gây nhiều khó khăn hơn cả, phần lớn
các em chưa biết cách tìm lời giải, chưa có kĩ năng phát hiện vấn đề, tìm đường
lối giải quyết vấn đề, số ít em giải được nhưng khả năng khái quát đặc điểm bài
toán để từ đó giải những bài toán tương tự chưa có, điều này ảnh hưởng rất lớn
đến chất lượng học toán của học sinh.
Qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy: Khi cho một
bài toán, đa số các em đều xem bài toán đó thuộc dạng nào và đi tìm các phương
pháp giải dạng toán đó, nhưng khi gặp một bài toán không vận dụng được các
phương pháp “truyền thống” đã học thì một số em rất lúng túng, chưa có nhiều
khả năng tư duy sáng tạo, chưa khéo léo vận dụng các bài toán đã biết vào giải
bài toán mình đang làm. Đặc biệt, đa số các em chưa biết tự khai thác và phát
triển bài toán theo các hướng khác nhau, đôi khi gặp những dạng toán quen
thuộc nhưng nhiều em vẫn không giải được vì các em còn máy móc, chưa linh
hoạt.
Từ những lý do trên, tôi nghiên cứu hướng dẫn học sinh lớp 6 biết giải và
khai thác bài toán, kết quả thu được rất khả quan: Chất lượng học tập bộ môn
tốt; tinh thần học tập, sự hứng thú say mê học tập của học sinh được nâng lên,
…, đây cũng chính là động lực giúp tôi hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm về
“ Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 6 khai thác các ứng dụng từ
một bài toán” để chia sẻ cùng đồng nghiệp.
II. Mục đích nghiên cứu:
Từ một bài toán trong chương trình toán 6, tôi giúp học sinh biết giải, nắm

Khi học sinh đã nắm được cách giải, biết trình bày lời giải, tôi tập trung
hướng dẫn cách khai thác bài toán để học sinh hiểu sâu hơn về bài toán, từ đó
giúp học sinh biết mở rộng bài toán thành những bài toán mới và có bài tập tự
luyện để học sinh rèn luyện kỹ năng giải dạng toán đã học.
II.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Qua các tiết dạy trên lớp , dạy buổi hai cũng như những buổi dạy bồi dưỡng
cho học sinh lớp 6B trường THCS Phú Nhuận về bài tập dạng tính tổng dãy các
phân số có quy luật, mặc dù các em đã nắm vững kiến thức cơ bản nhưng nhiều
em vẫn gặp khó khăn.
Cụ thể: Trước khi triển khai đề tài tôi yêu cầu học sinh làm bài kiểm tra
khảo sát như sau.
ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT
(Thời gian: 45 Phút)
Bài 1 (3 điểm): Tính tổng
1
1
1
1
+
+
+ ... +
2.3 3.4 4.5
15.16
1
1
1
1
+
+
+ ... +

2


Kết quả kiểm tra :
Sĩ số
44

Giỏi
SL
0

Khá
%
0

SL
0

TB
%
0

SL
13

%
29,5

Yếu, Kém
SL


1
1
và
( n ∈ Z, n 〉 0 ). Chứng tỏ rằng tích của hai phân
n
n +1

số này bằng hiệu của chúng.
b) Áp dụng kết quả trên để tính giá trị các biểu thức.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
. + . + . + . + . + . + .
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
B=
30 42 56 72 90 110 132

A=

1
= −
Vậy: .
(n ∈ Z, n 〉 0 ).
n n +1 n n +1

b) Áp dụng:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A= . + . + . + . + . + . + .
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 7
=( − )+( − )+( − )+( − )+( − )+( − )+( − )= − =
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
7 8
8 9
2 9 18
1
1

1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
= ( − )+( − )+( − )+( − )+( − )+( − )+( − )
5 6
6 7
7 8
8 9
9 10
10 11
11 12
1 1
7
= −
=
5 12 60

- Sau khi học sinh giải xong câu a, tôi yêu cầu học sinh rút ra công thức
tổng quát:
Ví dụ :

1
1
1
= −
Với n ∈ Z, n 〉 0
(1)
n(n + 1) n n + 1


Học sinh suy nghĩ, tìm được kết quả :

5
1
1 1
= 5.
= 5( − )
2.3
2.3
2 3

Vậy: Phân số có mẫu là tích 2 thừa số có giá trị hơn kém nhau 1 đơn vị, tử số
1

khác 1 thì biến đổi đề xuất hiện phân số n(n + 1) và áp dụng công thức (1)
( Kết quả của câu a bài 87 SBT toán 6 tập 2 đã giải ở trên)
- Tình huống 2: Ở công thức (1) , nếu tử số khác số 1, hai thừa số ở mẫu hơn
3
thì sao?
2.5

kém nhau bằng tử số của nó Ví dụ

Học sinh tiếp tục suy nghĩ, trả lời, khi các em lúng túng, tôi gợi ý biến đổi để
có:

Vậy:

3

+
=
c, +
5.7 7.10 10.14

a,

7
1 1
= − ;…
2.9 2 9
1 1 1 1
1
1 1 1
9
− + − + −
= −
=
5 7 7 10 10 14 5 14 70

-Tình huống 3: Trở lại công thức (1), tôi giữ nguyên tử số là 1, mẫu thay bằng
1

tích hai thừa số hơn kém nhau n đơn vị được phân số: a(a + n)

(a, n ∈ N* ) ,

1

Em hãy cho biết phân số a(a + n) có thể viết thành tích hai thừa số trong đó

)
a ( a + n) n a a + n

(3)

5


Ví dụ áp dụng công thức (3) và (2)
1
1 2
1 1 1
= .
= ( − )
3.5 2 3.5 2 3 5
2
2 3
2 1 1
= .
= ( − )
b,
4.7 3 4.7 3 4 7
6
3
9
12
2
1
3
4

Vậy: Từ bài tập 87 ( SBT toán 6- tập 2), học sinh rút ra được các công thức
cần ghi nhớ là.
1/
2/
3/

1
1
1
= −
a (a + 1) a a + 1
n
1
1
= −
a ( a + n) a a + n
1
1 1
1
= ( −
)
a ( a + n) n a a + n

với a∈ N*
với a,n∈ N*
với a,n∈ N*

Ba công thức trên là kết quả có được từ bài tập 87 sách bài tập toán 6 tập hai.
Với kết quả này, tôi hướng dẫn học sinh khai thác các ứng dụng của bài toán đã
nêu trong dạng toán tính; toán rút gọn biểu thức; toán chứng minh đẳng thức;

1
1
1
1
1
+
+
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4 4.5 5.6
2010.2011
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
2010
= 1 − + − + − + − + − + ... +
−
= 1−
=
2 2 3 3 4 4 5 5 6
2010 2011
2011 2011

a)

6



Những phân số ở bài tập 1 đều có mẫu là tích của hai số hơn kém nhau 1
đơn vị. Vậy nếu gặp những bài toán xuất hiện phân số có mẫu là tích của hai số
hơn kém nhau n đơn vị (n ≠ 0) và tử các phân số đó là các số bằng nhau thì ta
làm thế nào? Nêu bài tập 2.
Bài 2: Tính tổng [1]
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.4 4.7 7.10
301.304
2
2
2
2
b) B = 1.6 + 6.11 + 11.16 + ... + (5n − 4)(5n + 1)

a) A =

( n∈ N*).

Hướng dẫn:
a) Tương tự bài 1: Biến đổi để viết mỗi hạng tử trong tổng thành tích có thừa số
là hiệu hai phân thức :
Ta có:

1 1

1
+
+
+ ... +
)
= (1 − ) + ( − ) + ( − ) +…+ ( −
1.4 4.7 7.10
301.304
3
4 3 4 7 3 7 10
3 301 304
1
1 1 1
1 1
1
1
−
= (1- + − + − + . . .+
)
3
4 4 7
7 10
301 304
1
1
101
)
= (1 −
=
3

2
1
2 5n
2n
= (1 − + − + − + ... +
−
) = (1 −
)= .
=
5
6 6 11 11 16
5n − 4 5n + 1
5
5n + 1 5 5n + 1 5n + 1

B=

7


* Nhận xét:
- Với cách suy luận như vậy tôi đề xuất và yêu cầu học sinh đề xuất một loạt bài
toán cùng loại với cách giải cùng phương pháp trên.
- Mở rộng : Tôi yêu cầu học sinh suy nghĩ sang dạng toán có mẫu là tích của 3,
4, …, số tự nhiên cách đều nhau. Liệu có sử dụng phương pháp trên được
không? Từ đây Học sinh tiếp tục nghiên cứu bài tập.
Bài 3: Tính tổng [1]
1

1

−
(2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) 4  (2n − 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3) 

Áp dụng ta có:

1 1
1
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+
−
+ ... +
−

÷
4  1.3 3.5 3.5 5.7 5.7 7.9
(2n − 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3) 
1 1
1
M = 4 ( 3 − (2n + 1)(2n + 3) ) .
n 2 + 2n
M=
3(2n + 1)(2n + 3)

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
27.28.29.30
1 1
1
1 1
1
−
) + (
−
) + ...
= (
3 1.2.3 2.3.4
3 2.3.4 3.4.5
1 1
1
451
= (
−
)=
3 1.2.3 28.29.30
8120
451
Vậy: N =

7
7
7
7
7
b) 2.4 + 4.6 + 6.8 + 8.10 + ... + 2n(2n + 2)

a)

với n ≥ 1

4. Ứng dụng kết quả bài 87 (SBT toán 6- tập 2) trong toán rút gọn biểu
thức; toán chứng minh đẳng thức:
A
biết: [3]
B
34
51
85
68
39
65
52
26
A=
+
+
+
và B =
+


Tuy nhiên sẽ không thực hiện theo cách trình bày như vậy, tránh phức tạp
các em nên dùng phương pháp đã học để tính riêng giá trị A, tính giá trị B, sau
đó tính tỉ số

A
.
B

Nếu học sinh không phát hiện được cách tính giá trị các biểu thức, tôi yêu
cầu học sinh nhận xét các mẫu ở mỗi dãy có hai thừa số cách nhau mấy đơn vị?
từ đó tìm cách đưa mỗi phân số trong dãy về dạng tích có thừa số là hiệu hai
phân số có tử là 1.
Vì dụ:

34
34
6
34 1 1
= .
= ( - )
7.13
6 7.13
6 7 13

Sau khi học sinh phát hiện được vấn đề và tìm được cách giải, tôi yêu cầu
học sinh trình bày lời giải.
Giải
Ta có:
34

7 13
3
13 22
3
22 37
3
37 49
17 1 1
1 1
1 1
1 1
17 1 1
= .( - + +
+
- )= ( - )
3 7 13
13 22
22 37
37 49
3 7 49

A=

9


39
65
52
26

3 31 43
3 43 49
13 1 1
1 1
1 1
1 1
= ( - + - +
- + - )
3 7 16
16 31
31 43 43 49
13 1 1
= ( - )
3 7 49
17 1 1
( − )
A
17 3
17
3 7 49
Suy ra:
= 13 1 1 = . =
B
3 13
13
( − )
3 7 49
A
17
Vậy:

1
1
1 1
1
- ( 1 + 1 + 1 + ... + 1 )
+
+ + ... +
= 1 + + + ... +
26 27 28
50
2 3
50
2 3
25
1 1
1
1 1 1
1
=1 + + + ... + - 2( + + + ... + )
2 3
50
2 4 6
50
1 1 1
1
1
= 1 − + − + ... + −
2 3 4
49 50
1

Bài 1: Tính giá trị biểu thức:
1 1
1
1
1 + + + ... + +
3 5
97 99
A= 1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+
1.99 3.97 5.95
97.3 99.1

Bài 2: Cho biết a, b, c là các số nguyên khác nhau. Chứng minh rằng:
b−c
c−a
a −b
2
2
2
+
+
=
+

a) x −

(x ∈ N )
( x ∈ N , x ≥ 2)

Giải:
20
20
20
20
3
−
−
− ... −
=
11.13 13.15 15.17
53.55 11
20
20
20
20
3
⇔ x−(
+
+
+ ... +
)=
11.13 13.15 15.17
53.55 11
2


b) Ta có:

1
1
1
1
2x − 9
+
+
+ ... +
=
1.6 6.11 11.16
(5 x + 1)(5 x + 6) 5 x + 6
1
1 1 1 1 1
1
1
2x − 9
⇔ (1 − + − + − + ... +
−
)=
5
6 6 11 11 16
5x + 1 5x + 6 5x + 6
1
1
2x − 9
⇔ (1 −
)=

3
2

2009

b) 3 + 6 + 10 + ... + x( x + 1) : 2 = 2011
11


Hướng dẫn:
7

7

7

7

7

3

a) 2.4 + 4.6 + 6.8 + 8.10 + ... + 2 x(2 x + 2) =
2
⇔

7 1
1
1
1

Vậy: x = 6 .
b) Ta có:
1 1 1
1
2009
+ + + ... +
=
3 6 10
x( x + 1) : 2 2011
2
2
2
2
2009
⇔
+
+
+ ... +
=
2.3 3.4 4.5
x( x + 1) 2011
1 1 1 1 1 1
1
1
2009
⇔ 2( − + − + − + ... + −
)=
2 3 3 4 4 5
x x +1
2011

11
11
11
1
2
+
+
+…+
+x=
12 12.23 23.24
89.100
3
2
2
2
221
4
b,
+
+…+
- x+
=
11 .13 13.15
19.21
231
3

a,

6. Ứng dụng kết quả bài 87 (SBT toán 6- tập 2) trong bài toán chứng minh

4

Lời giải
1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Đặt: A = 5 + 45 + 117 + 221 + ... + (4n − 3)(4n + 1)
Ta có: A = 5 + 45 + 117 + 221 + ... + (4n − 3)(4n + 1)
1

1

1

1
⇒ A

1
2
2
2
2
+
+
+ ... +
+
+
+ ... +
= (
)
1.2.3 2.3.4 3.4.5
18.19.20 2 1.2.3 2.3.4 3.4.5
18.19.20
1 1
1
1
1
1
1
1
1
−
= ( − + − + − + ... +
)
2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5
18.19 19.20
1 1

4
4
4
4
+
+
+ ... +
+
+
+ ... +
b)
= 9.(
)
1.3.5 3.5.7 5.7.9
25.27.29
1.3.5 3.5.7 5.7.9
25.27.29
1
1
1
1
1
1
−
= 9.( − + − + ... +
)
1.3 3.5 3.5 5.7
25.27 27.29
1 1
260 260 261

+ 2 + 2 + ... +
.
2
2

56 140 260
1400
1
1
1
1
+
+
+ ... +
c,
1.2.3 2.3.4 3.4.5
37.38.39

b,

Bài 2 (2 điểm): Tìm số tự nhiên x, biết:
1

1

1

1

11

a, 1.6 + 6.11 + 11.16 + ... + (5 x + 1)(5 x + 6) = 56
b, (

(Với x ∈ N * )


Kết quả thu được :
Giỏi
Sĩ số
SL
%
44
8
18,2

Khá
SL
16

TB
%
36,4

SL
20

%
45,4

Yếu,kém
SL
%
0
0,0


cơ bản trong giảng dạy dạng toán này ở các lớp tiếp theo.
.Một số ý kiến đề xuất:
* Đối với trường THCS Phú Nhuận:
- Nhà trường cần tổ chức tốt hơn nữa các hoạt động học tập tạo niềm say mê
học toán cho các em như phong trào “ Hoa điểm 10” , sân chơi trí tuệ, em yêu
toán học,… để khích lệ học sinh thi đua học tập .
15


* Đối với phòng giáo dục huyện:
- Tăng cường các buổi triển khai chuyên đề cấp huyện để giáo viên được học tập
kinh nghiệm của đồng nghiệp trong giảng dạy góp phần nâng cao chất lượng
giáo dục.
- Tổ chức tốt các buổi hội thảo theo chuyên đề bộ môn.
Trong phạm vi nhỏ của đề tài bản thân chưa thể bao quát hết các kiến thức
từ việc khai thác kết quả của một bài toán, tuy nhiên khi thực hiện đã có tác
dụng rất tốt đối với học sinh. Từ những thành công trong việc vận dụng sáng
kiến kinh nghiệm vào giảng dạy tôi xin mạnh dạn chia sẻ cùng đồng nghiệp.
Bài viết không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót, rất mong nhận
được sự góp ý để đề tài được hoàn thiện hơn.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Như Thanh , ngày 20 tháng 3 năm 2017.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung người khác.
Người viết

Trương Thị Huyên


Cấp
đánh giá
xếp loại

1.

Hướng dẫn học sinh giải toán.

2.

Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải
PGD
phương trình bằng phương pháp đặt
ẩn phụ.
Hướng dẫn học sinh chứng minh
PGD
bất đẳng thức.
Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải
PGD
phương trình qui về phương trình
bậc hai qua tiết học.
Hướng dẫn học sinh chứng minh
PGD
đẳng thức hình học.
Dạy học sinh lớp 9 giải bài toán
PGD
quỹ tích.
Dạy học sinh lớp 9 chứng minh bất
PGD
đẳng thức.

2002 - 2003

A

2004 - 2005

A

2005 - 2006

Năm học
đánh giá
xếp loại

2007 - 2008
C

8.

Dạy học sinh yếu kém học toán.

PGD

B

2010 - 2011

9.

Dạy học sinh lớp 8 chứng minh bất