ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ CHỨNG MINH MỘT
PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
I.Một số định nghĩa :
1. Định nghĩa 1: Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b), f(x) liên tục tại
0
x
∈
(a; b)
⇔

)x(flim
0
xx
+
→
=
)x(flim
0
xx
−
→
=
)x(flim
0
xx
→
= f(
0
x
)
2. Định nghĩa 2: f(x) liên tục trên [a; b]

1.Định lý 1:
f(x) liên tục trên [a; b] thì f(x) đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đó.
2.Định lý 2:
f(x) liên tục trên [a; b]; m =
)x(fmin
]b;a[x
∈
; M =
)x(fmax
]b;a[x
∈
thì
∀
k
∈
[m; M],
∃
c
∈

[a; b] sao cho f(c) = k.
3.Hệ quả :
f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì
∃
c
∈
(a; b) sao cho f(c) = 0.
Ví dụ 1. Cho 2a + 6b + 19c = 0. Chứng minh rằng: a
2
x

f(x) = 0 có nghiệm x
∈
[0;
3
1
].
Ví dụ 2. Chứng minh rằng
∀
a, b, c phương trình: a.cos3x + b.cos2x + c.cosx + sinx =
0 có nghiệm.
Giải.
Đặt f(x) = a.cos3x +b.cos2x + c.cosx +sinx.
f(0) = a + b + c.
f(
2
π
) = – b +1.
f(
2
3
π
) = – b – 1.
f(π) = – a + b – c.
f(0) + f(
2
π
) + f(
2
3
π

[0; 1] sao cho f(c) = f(c +
n
1
).
Giải.
Đặt g(x) = f(x +
n
1
) – f(x)
⇒
g(x) liên tục trên [0;
n
1n
−
]
g(0) = f(
n
1
) – f(0).
g(1) = f(
n
2
) – f(
n
1
).
.....................................
g(
n
1n

0
⇒
g(
n
i
).g(
n
j
)
≤
0.
⇒

∃
c
∈
[min{
n
i
,
n
j
}, max{
n
i
,
n
j
}] sao cho g(c) = 0
⇒

tồn tại
1
x
,
2
x

∈
[a; b] sao cho
f(
1
x
) =
)x(fmin
]b;a[x
∈
= m; f(
2
x
) =
)x(fmax
]b;a[x
∈
= M.
vì
α
> 0,
β
> 0 nên (
α

⇒
[
1
x
;
2
x
]
⊂
[a; b].
Ta có
g(
1
x
) = (
α
+
β
).f(
1
x
) –
α
.f(a) –
β
.f(b) = (
α
+
β
).m –

x
).g(
2
x
)
≤
0
⇒

∃
c
∈
[
1
x
;
2
x
] sao cho g(c) = 0
⇒
(
α
+
β
).f(c) –
α
.f(a) –
β
.f(b) = 0
⇔

c
= 0.
Chứng minh rằng: a
2
x
+ bx + c = 0 có nghiệm x
∈
(0; 1) .
Giải.
Xét hàm f(x) =
2m
a
+
2m
x
+
+
1m
b
+
1m
x
+
+
m
c
m
x
.
f ’(x) = a.

(0; 1) sao cho:
f ’(
0
x
) =
01
)0(f)1(f
−
−
= 0
⇔
a.
1m
0
x
+
+ b.
m
0
x
+ c.
1m
0
x
−
= 0
⇔

1m
0


≠
0).
⇒

0
x
là nghiệm của phương trình a
2
x
+ bx + c = 0 và
0
x

∈
(0; 1). (đpcm)