Phơng pháp tìm giới hạn bằng đạo hàm
Nh chúng ta đã biết, đạo hàm là kết quả của một phép lấy giới hạn;
thế nhng, nhiều bài toán tìm giới hạn, ngợc lại, có thể giải bằng cách
dùng đạo hàm. Theo định nghĩa đạo hàm: nếu f ( x) khả vi tại x0 thì
lim

f ( x) f ( x0 )
= f '( x0 ) , ta sẽ áp dụng điều này để phân tích và tính các
x x0

bài giới hạn có liên quan. Phơng pháp này rất hữu hiệu trong việc khử
dạng vô định và giải đợc một lớp rất rộng các bài toán giới hạn có liên
quan đến các hàm lợng giác, hàm số mũ, hàm logarit mà các phơng
pháp đánh giá thông thờng phải khó khăn lắm mới có thể giải quyết
đợc!
Dạng vô định thờng gặp là xlim
x

0

g ( x)
, trong đó: f ( x0 ) = 0 , ta viết g ( x) dới
x x0

dạng g ( x) = f ( x) f ( x0 ) rồi tính giới hạn trên ở dạng: xlim
x

0

f ( x) f ( x0 )
= f '( x0 )

1
.
6

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau:

lim
x

4

tan x 2 cos x
.

x
4


Giải: Tơng tự ví dụ trên, ta xét hàm số f ( x) = tan x 2 cos x , rõ ràng f ( x)


2
, f '( x) = 1 + tan 2 x + 2 sin x và f ( ) = 1 2.
= 0 nên ta cũng đ4
4
2
a về tính giá trị:

khả vi tại x =


2

+2 x

x

1

2

= lim
x 0

+2 x

2

+2 x

ex

2

+2 x

x

1

.

n

ax + 1 1 a
*
= với a > 0, n Ơ .
x
n

3.cos x + sin x tan x
.

x ữ
3
3

5 x 2 + 9 x + 1 3 x 3 + 2 x + 125
.
x0
5x

3. Tính giới hạn sau: lim

( x + 1) n (1 x) n
= 0?
x0
x

4. Với giá trị n thế nào thì lim



Sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn
Lời giải

85.

2011

Tính giới hạn:

lim
x 0

4x + 1 1
.
x

2011
4 x + 1 1 f ( x) =
Xét hàm số f ( x) =

4
20112011 (4 x + 1) 2010

.

Ta thấy: f ( x) khả vi tại 0 và f (0) = 0 nên:
2011

lim
x 0

86.

a
n n (ax + 1) n 1

. Suy ra:

ax + 1 1
f ( x) f (0)
a
= lim
= f (0) = .
x 0
x
x0
n

Tính giới hạn:

Xét hàm số:

lim
x

3

3 ìcos x + sin x tan x
.



π

π
f ( x) − f ( )
3 = 3 ×f ′( π ) = − 15
.
π
π
3
π
x−
3


87.

Tính giới hạn sau
5 x 2 + 9 x + 1 3 x 3 + 2 x + 125
.
x 0
5x

lim
Xét hàm số:

f ( x) = 5 x 2 + 9 x + 1 3 x 3 + 2 x + 125 f ( x) =

5(2 x + 9)
2 x2 + 9 x + 1


( x + 1)2 m ( x 1) 2 m
f ( x) f (0)
= lim
= f (0) = 4m .
x 0
x 0
x
x0

lim

Để giới hạn này bằng 0 thì 4m = 0 m = 0 n = 0 .
-Nếu n là số lẻ thì đặt n = 2m + 1, m Ơ . Xét hàm số:
f ( x) = ( x + 1) 2 m+1 + ( x 1) 2 m +1 f ( x) = (2m + 1) ì( x + 1) 2 m + ( x 1) 2 m .
Ta thấy hàm số này khả vi tại 0 và f (0) = 0 nên:
( x + 1)2 m+1 ( x 1)2 m+1
f ( x) f (0)
= lim
= f (0) = 2(2m + 1) .
x 0
x 0
x
x0

lim

Ta


1

e
2
Vậy giới hạn cần tìm là .
e

cos 4 x + ln( x + 1) + 3e x 3 x + 8 x + 4
.
x 0
x cos5 x
Trớc hết, ta thấy rằng cos5 x 1 khi x 0 .
90.

Tính giới hạn: lim

Xét hàm số f ( x) = cos 4 x + ln( x + 1) + 3e x 3 x + 8 x + 4 thì dễ thấy hàm này
khả vi tại 0 và f (0) = 0 nên:
cos 4 x + ln( x + 1) + 3e x 3 x + 8 x + 4
f ( x) f (0)
= lim
= f (0) .
5
x 0
x 0
x cos x
x0

lim

Ta có:
f ( x) = 4 ìsin x ìcos 3 x +

3

Tính giới hạn:
cos x 1 cos 2 x 1 cos3 x 1
cos 2011 x 1
lim
ì
ì
ìL ì
ữ.
x 0
x
2x
3x
2011x


cos k x 1
Trớc hết, ta sẽ tính giới hạn dạng tổng quát: lim
.
x 0
kx
Ta xét hàm số: f ( x) = cos k x 1, k  f ( x) = k .sin x.cos k 1 x .
Dễ thấy hàm này khả vị tại 0 và f (0) = 0 nên:
cos k x 1 1
f ( x) f (0) f (0)
lim
= ìlim
=
= 0.