CHUYÊN ĐỀ : BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ - CỰC TRỊ ĐẠI SỐ
I/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1/ Định nghĩa về BĐT:
2/Tính chất của bất đẳng thức ( Xem SGK toán 8).
3/ Một số phương pháp chứng minh BĐT
*PP1: Dựa vào định nghĩa.
Để cm BĐT A
≥
B ta làm như sau:
B1: Xét hiệu A – B
B2: Dùng lập luận chỉ ra A – B
≥
0
B3: Kết luận (bao gồm cả việc chỉ ra dấu bằng nếu có).
Ví dụ : cmr a
2
+ b
2
+ 1
≥
ab + a + b.
HD: Xét a
2
+b
2
+1 – ab-a-b = …..=
2
1
( ) ( ) ( )
[ ]
222

2
1
1
1
++++
>
n
với n
∈
N, n>1.
HD:
n
1
......
3
1
2
1
1
1
++++
>
nnn
1
.......
11
+++
>
n
n

AAA
∀−≥
,
;
AA
∀≥
,0
.
BABA
+≥+
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A.B
≥
0
BABA
−≥−
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi B(A – B)
≥
0
*PP6: Vận dụng BĐT Cauchy – BĐT Bunhiacôpxki.
- BĐT Cauchy: Cho 2 số a,b không âm, ta có :
abba 2
≥+
Dấu “ = ‘’ xảy ra khi và chỉ khi a = b
≥
0
HQ1:
Nếu 2 số không âm có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số đó
bằng nhau.
HQ2:
Nếu 2 số không âm có tổng không đổi tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng

5/ PP chung để giải bài toán GTLN, GTNN của biểu thức A(x) xác định trên miền
D là:
• Với bài toán tìm GTLN:
B1: Cm A(x)
≤
m- hằng số
Dx
∈∀
B2: Chỉ ra tồn tại x = x
0

D
∈
để tại đó A(x
0
) = m.
B3: Kết luận GTLN của A là m hay MaxA = m khi x= x
0
.
• Với bài toán tìm GTNN ta làm tương tự.
6/ Một số chú ý khi giải bài toán GTLN, GTNN :
- Có khi phải thay bài toán đã cho bởi bài toán tương đương.
+ MinA
⇔
Min A
2
với A > 0.
+ Min A
⇔
- MaxA với A > 0

2
+ d
2
+ e
2

≥
a( b + c + d + e )
3/ Cmr:
2
1
2
2
2
≥
+
+
x
x
4/ Cho a,b
≥
1, cmr:
ababba
≤−+−
11
5/ Cmr 3(a
2
+ b
2
+ c

≤
+
9/ Cmr:
nnn 2
1
...
2
1
1
1
++
+
+
+
>
2
1
với n > 1, n
N
∈
10/Chứng tỏ rằng trong các BĐT sau có ít nhất 1 BĐT là sai:
a/
aba
−
<0 ;
acb
−
<0 ;
abc
−

y
y
x
với x,y
≠
0
13/ Cho
3;3;3
≥≥≥
zyx
.Cmr
1
≤
++
xyz
zxyzxy
14/ Cmr:
a/ 3(x
2
+y
2
+z
2
)
≥
(x+y+z)
2

≥
3(xy+yz+zx).

> 2n + 5 với mọi n nguyên dương.
18/ Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a/ A = x
2
– 4x + 7
b/ B = x
4
+ 2x
3
+ 3x
2
+2x +1
c/ C =
1
324
2
2
+
++
x
xx
d/ H =
2
1
35
x
x
−
−
e/ E =

(16 – x
3
) với 0 < x
3
<16
III/ GỢI Ý CÁCH GIẢI
* Các bài từ bài 1 đến bài 5 dùng định nghĩa ( có thể có cách khác VD bài 3 có thể dùng
BĐT cauchy)
* Bài 6 đến bài 8 dùng pp biến đổi tương đương.
- Chú ý : -Bài 8 ta phải xét 2 TH của vế trái hoặc ta chứng minh VP
22
baba
+
≥
+
≥
* Bài 9: Dùng PP làm trội làm giảm.
* Bài 10: Dùng PP phản chứng.
* Bài 11, bài 15. bài 18de, 20ad – Dùng BĐT cauchy.
* Bài 14. bài 16,bài19, bài 20c – Dùng BĐT Bunhia- copxki.
* Bài 12,13 – Dùng BĐT có chứa dấu GTTĐ.
* Bài 18c – Dùng PP miền giá trị (Liên quan đến đk có nghiệm của pt bậc 2).
* Bài 17- Dùng quy nạp.
* Bài 20b: ĐK
1
≤
x
( )
2
1