A. Mở đầu
1) Lý do chọn đề tài:
Ngày nay sự phát triển của tất cả các ngành khoa học, cơ bản cũng nh ứng
dụng và tất cả những ngành công nghệ then chốt nh dầu khí, viễn thông, hàng
không đều không thể thiếu Toán học và càng gắn bó mật thiết với toán học. Sự
ra đời và phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin thực sự đã dẫn đến hiện tợng
" Bùng nổ " các ứng dụng của toán học đa lại hiệu quả to lớn cho đời sống xã hội.
Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí. Toán
học không chỉ cung cấp cho học sinh (ngời học toán) những kỹ năng tính toán cần
thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng t duy lôgic, một phơng pháp
luận khoa học.
Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra những phơng pháp dạy học và giải
bài tập toán đòi hỏi ngời giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử dụng đúng
phơng pháp dạy học. Góp phần hình thành và phát triển t duy của học sinh. Đồng
thời qua việc học toán học sinh cần đợc bồi dỡng, rèn luyện về phẩm chất đạo đức,
các thao tác t duy để giải các bài tập toán đặc biệt là giải toán bất đẳng thức.
Một trong những thực trạng hiện nay khi dạy toán bất đẳng thức ở trờng
THCS đó là:
Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức thì chỉ chữa bài tập là xong, ít khai thác,
phân tich đề bài, mở rộng bài toán mới,không đa ra phơng pháp giải bài toán . Dẫn
đến khi học sinh gặp bài toán khác một chút là không giải đợc.
Học sinh thờng ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức ít, không liền mạch,
phơng pháp giải hạn chế. Vận dụng toán bất đẳng thức vào các loại toán khó nh
cực trị, giải phơng trình rất hạn chế.
Vì vậy, phát triển năng lực, t duy cho học sinh thông qua việc giải toán bất
đẳng thức là cần thiết. Trong những năm giảng dạy thực tế ở trờng trung học cơ sở
tôi đã tích luỹ đợc một số kiến thức về bất đẳng thức xin trình bầy ở đây một góc
độ nhỏ.
2) Mục đích nghiện cứu:
2.1 Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc
giải các bài tập về chứng minh bất đẳng thức nói riêng. Trang bị cho học sinh một

6) Dự kiến kết quả của đề tài
Khi cha thực hiện đề tài này: Học sinh chỉ giải một số bài tập về bất đẳng
thức đơn giản, hay mắc những sai lầm, hay gặp khó khăn, ngại làm bài tập về bất
đẳng thức.
Nếu thực hiện đợc đề tài này thì học sinh có hứng thú khi giải toán bất đẳng
thức, làm bài tập tốt hơn, tự giải quyết đợc các bài tập bất đẳng thức có dạng tơng
tự, hạn chế đợc rất nhiều sai lầm khi giải toán bất đẳng thức.
B. Nội dung
Phần I: áp dụng giải toán bất đẳng thức trong đại số ở
trờng THCS
I. Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức
1. Định nghĩa:
Cho hai số a và b ta nói:
a lớn hơn b, kí hiệu a > b a - b > 0
a nhỏ hơn b, kí hiệu a < b a - b < 0.
2. Các tính chất của bất đẳng thức:
2.1. a > b b < a
2.2. Tính chất bắc cầu: a > b; b > c a > c.
2.3. Tính chất đơn điệu của phép cộng: Cộng hai vế của một bất đẳng thức với
cùng một số:
a > b a + c > b + c
2.4. Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều đợc bất đẳng thức mới cùng chiều
với bất đẳng thức đã cho:
a > b; c > d a + c > b + d
Chú ý: Không đợc trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều.
2.5. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngợc chiều, đợc bất đẳng thức mới cùng
chiều với bất đẳng thức bị trừ.
dbca
dc
ba

n
> b
n
với n = 2k + 1 ( k

N )
2.9 So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dơng.
Nếu m > n > 0 thì: a > 1 a
m
> a
n
a = 1 a
m
= a
n
0 < a < 1 a
m
< a
n
2.10 Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu.
a > b hoặc b < a < 0
ba
11
<
Chú ý: Ngoài các bất đẳng thức chặt (a > b) ta còn gặp các bất đẳng thức không
chặt (a

b, tức là a > b hoặc a = b.)
Trong những tính chất nêu trên nhiều tính chất dấu " > " ( hoặc dấu " < ") có
thể thay bởi dấu "

baba

. Xảy ra dấu đẳng thức khi
0.

ba
;
ba

Các điều kiện này có thể diễn đạt là:





0
0
ba
ba
Chú ý: Một số bất đẳng thức quan trọng (coi nh bổ đề)
1. a
2
+ b
2


2ab
2.
ab
ba

( )
( )( )
2222
2
yxbabyax
+++
( Bất đẳng thức Bunhia Côpski ).
II. Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại
số.
1. Phơng pháp dùng định nghĩa:
1.1 Cơ sở toán học:
Để chứng minh: A > B ta xét hiệu A - B và chứng tỏ A - B > 0;
A < B ta xét hiệu A - B Và chứng tỏ A - B < 0.
1.2 Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)

-1.
Giải:
Xét hiệu: (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) - (-1) = (x
2
- 5x + 4)(x
2
- 5x + 6) + 1
Đặt: (x
2
- 5x + 5) = y biểu thức trên bằng: (y - 1)(y + 1) + 1 = y
2


0

- 2xy
= x
2
- 2xy + y
2

= (x - y)
2

0
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng nếu a và b là các số thực không âm thì
ab
ba

+
2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.
1.3 Bài tập tự giải:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1.
2
22
22







6


a
5
b + b
5
c + c
5
a (a, b, c

0)
6. Với a

b

1 thì
abba
+

+
+
+
1
2
1
1
1
1
22

2


0 (3)
Cộng từng vế của (2) và (3) ta đợc: 2(a
2
+ b
2
) > 1 a
2
+ b
2
> 1 (4)
Bình phơng hai vế của (4) ta đợc: a
4
+ 2a
2
b
2
+ b
4
>
4
1
(5)
Mặt khác: (a
2
- b
2
)

+
+
Giải:
Xét
acbcba
+
+
+
11
Với a + b - c > 0; b + c - a > 0
áp dụng bất đẳng thức:
yxyx
+
+
411
với x, y > 0 ta đợc:

bbacbcba
2
2
411
=
+
+
+
Tơng tự ta có:
cbacabc
211

+

1
3333
<++++
n
Giải:
Phân tích, hớng dẫn:
Gọi A là vế trái của bất đẳng thức trên. Ta sử dụng tính chất bắc cầu của bất
đẳng thức dới dạng làm trội.
Để chứng minh A < B ta làm trộn A thành C (A < C) rồi chứng minh rằng C

B (C đóng vai trò trung gian).
Ta có với mọi k

N
*
:
)1)(1(
1
)1(
111
233
+
=

=

<
kkkkkkkk
Do đó:
( )

3.2.1
1
+
+++=
nnn
C
Ta lại thấy:
( ) ( ) ( ) ( )
11
2
1
1
1
1
+
=
+


nnnnnnnNên:
( ) ( )







2
1
2
1
<
+
=






+
=
nnnn
Vậy :
4
11
...
4
1
3
1
2
1
3333
<++++
n
Ví dụ 4: Cho x

(z + x)
2


4xz
Hai vế của 3 bất đẳng thức trên đều không âm nên nhân từng vế với nhau ta đợc:
(x + y)
2
(y + z)
2
(z + x)
2

64xyz
[(x + y)(y + z)(z + x)]
2


[8xyz]
2
(x + y)(y + z)(z + x)


8xyz (Vì xyz

0; (x + y)(y + z)(z + x)

0)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
2.3 Chú ý: Khi sử dụng các bất đẳng thức ta cần tránh các sai lầm sau:

c
b
a
..
>>
5. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức mà cha biết hai vế cùng dấu:
ba
ba
11
<>
6. Khi làm trội một biểu thức đôi khi phải chia biểu thức thành nhiều nhóm rồi
làm trội trong từng nhóm.
Ta xét ví dụ sau:
Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n

2 thì
n
<

++++
12
1
...
3
1
2
1
1
2
Giải:


12
1
...
2
1
...
15
1
...
2
1
7
1
...
2
1
3
1
2
1
1A
n1n32
ở mỗi nhóm ta làm trội bằng cách thay các phân số bằng phân số lớn nhất trong
nhóm ta đợc:
n1...11.2
2
1
....8
2

3/ Cho a + b = 1. Chứng minh rằng:
8
1
44
+
ba
4/
n
n
n
11
...
4
1
3
1
2
1
2222

<++++
3. Phơng pháp biến đổi tơng tơng:
3.1 Cơ sở toán học:
-
Để chứng minh bất đẳng thức A

B ta biến đổi tơng đơng (dựa vào các tính
chất của bất đẳng thức).
A


Giải:
Ta có: x
2
- x + 1 > 0

0
4
3
2
1
0
4
3
4
1
2
1
..2
2
2
>+







>+


2
+ d
2
+ e
2


a(b + c + d + e) (1)
4a
2
+ 4b
2
+ 4c
2
+ 4d
2
+ 4e
2


4a(b + c + d + e) (nhân cả hai vế với 4)
(a
2
- 4ab + 4b
2
) + (a
2
- 4ac + 4c
2
) + (a

0 a, c R
(a - 2d)
2


0 a, d R
(a - 2e)
2


0 a, e R
Bất đẳng thức (2) đúng a, b, c, d, e R.
Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh.
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng với 4 số bất kì a, b, x, y ta có:
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
)

(ax + by)
2
(1)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
y

y
2
a
2
y
2
- 2abxy + b
2
x
2


0
(ay - bx)
2


0 (2)
Bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) đúng.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ay - bx = 0 hay
y
b
x
a
=
Ví dụ 4:
Cho các số dơng a và b thoả mãn điều kiện: a + b = 1.
Chứng minh rằng:
9
1





+






+
ba
(1)
9
1
.
1

++

b
b
a
a
ab + a + b +1

9ab (Vì a, b > 0).
a + b + 1



+

+
baba
với a > 0, b > 0.
Giải:
3
33
22






+

+
baba
(1)
4(a
3
+ b
3
)

(a + b)
3
(nhân hai vế với 8)

0 (2)
Bất đẳng thức (2) đúng và các phép biến đổi đều tơng đơng nên bất đẳng thức
(1) đúng.
3.3 Chú ý:
-
Sẽ mắc sai lầm nếu trong lời giải trên thay các dấu tơng đơng " " bằng các
dấu kéo theo " ".
Thật vậy, nếu (1) (2) mà bất đẳng thức (2) đúng thì cha thể kết luận đợc bất
đẳng thức (1) đúng hay không.
- Khi sử dụng phép biến đổi tơng đơng, học sinh thờng bỏ các biến đổi tơng đơng
có điều kiện dẫn đến không chặt chẽ. Vì vậy cần lu ý các biến đổi tơng đơng có
điều kiện.
Chẳng hạn: a
2
> b
2
a > b với a, b > 0.
m > n a
m
> b
n
m, n Z
+
, a > 1.
Cần chỉ rõ các điều kiện ấy khi biến đổi tơng đơng.
3.4 Bài tập tự giải:
Bài 1: So sánh hai số
333
=
A



x
x
Bài 5: Với a > 0, b > 0 chứng minh bất đẳng thức:
a
b
ba
b
a

Bài 6: Chứng minh rằng: a, b, c R. Ta có:
a) a
4
+ b
4


a
3
b + ab
3
b) a
2
+ b
2
+ c
2



Giải:
Giả sử a + b > 2 (a + b)
2
> 4 (Vì hai vế dơng nên bình phơng hai vế)
a
2
+ 2ab + b
2
> 4 (1)
Mặt khác ta có: 2ab

a
2
+b
2
a
2
+ b
2
+ 2ab

2(a
2
+ b
2
)
Mà: 2(a
2
+ b
2

+ b
2


2 (2)
Cộng (1) với (2) ta đợc: a
2
+ 2ab + b
2


4
(a + b)
2


4 -2

a + b

2.
Ví dụ 2:
Cho a, b, x, y liên hệ bởi: a + b = 2xy
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là đúng: x
2


a; y
2


Cho 3 số thực a, b, c thoả mãn 3 điều kiện sau:





>
>++
>++
0
0
0
abc
cabcab
cba
Chứng minh rằng: Cả ba số đều dơng.
Giải:
Vì abc > 0 nên trong ba số a, b, c có ít nhất một số dơng.
Giả sử ngợc lại cả ba số đều âm abc < 0 (Vô lý).
Không mất tính tổng quát ta giả sử a > 0.
Mà abc > 0 bc > 0.
- Nếu b < 0, c < 0 b + c < 0
Từ a + b + c > 0 b + c > -a
(b + c)
2
< -a(b + c)
b
2
+ 2bc + c
2

b1a
>
( )
4
1
c1b
>
( )
4
1
a1c
>
Hãy phát biểu tổng quát.
5. Phơng pháp quy nạp toán học
5.1. Cơ sở toán học:
Nội dung của phơng pháp này là tiền đề quy nạp toán học.
Cho mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dơng n. Nếu:
+ Mệnh đề dúng với n = 1
+ Từ giả thiết đúng với n = k (k N) suy ra đợc mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.
Thế thì mệnh đề đúng với mọi số nguyên dơng.
Nh vậy để chứng minh một mệnh đề T đúng với mọi số nguyên dơng bằng
phơng pháp quy nạp toán học ta phải tiến hành 3 bớc.
+ Bớc 1: Chứng minh T(1) đúng (Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1).
+ Bớc 2: - Giả sử mệnh đề T(k) đúng.
- Ta chứng minh mệnh đề T(k + 1) cũng đúng.
+ Bớc 3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số nguyên dơng (n).
5.2. Một số ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng: với x > -1 thì (1 + x)
n

2
Mà kx
2
> 0 nên 1 + (k + 1)x + kx
2


1 + (k + 1)x
Từ đó suy ra bất đẳng thức phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0.
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng: a ta đều có
1...
222
++++
aaaa
(1)
Trong đó vế trái có n dấu căn.
Giải:
Kí hiệu:
222
... aaaP
n
++=
(Có n dấu căn)
+ Với n = 1 ta có:
1
2
1
+==

+

+
22
n

2.
Giải:
+ Với n = 2 ta dễ dàng chứng minh đợc:
2
22
22






+

+
baba
+ Giả sử bài toán đúng với n = k ta có:
k
kk
baba








+
2
ba
ta đ

ợc:







+






+













+






+
k
kk
bababa
Để có (2) ta phải chứng minh:

222
11 kkkk
bababa
+






+

Thật vậy, ta có:

a

k + 1

+ b

k + 1

- ab

k

- a

k

b = a

k

(a - b) - b

k

(a - b) = (a - b)(a

k

Bất đẳng thức (3) đúng. Mà

:

1
222
+






+









+






ợc chứng minh.

5.3 Chú ý:

Khi chứng minh bất đẳng thức theo ph

ơng pháp này

thì phải hiểu kỹ các b

ớc chứngminh, các phép biến đổi t

ơng đ

ơng, tính chất của bất đẳng

th

ức.

5.4 Bài tập tự giải:

1/

Chứng minh rằng:


6. Ph

ơng pháp đổi biến

6.1 Cơ sở toán học:

B1. Đặt biến mới dựa theo biến cũ.

B2. Biến đổi bất đẳng

th

ức theo biến mới, chứng minh bất đẳng

th

ức theo biếnmới.

B3. Kết luận và trả về biến cũ.

6.2 Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1:

Chứng minh bất đẳng

th

b
zy
a
+
=
+
=
+
=
Ta phải chứng minh:

xyz
yxzxzy

+++
2
.
2
.
2

(y + z)(x + z)(x + y)

8xyz (2)

z

2

(Vì 2 vế không âm)

Ta có: (x + y)

2

4xy

(y + z)

2

4yz

(x + z)

2


y

2

z

2[(y + z)(x + z)(x + y)]

2

(8xyz)

2

Vậy bất đẳng

th

ức (1) đ


3
1
Giải:

Đặt a =

x
+
3
1
; b =

y
+
3
1
; c =

z
+
3
1
Do a + b + c = 1 nên x + y + z = 0

Ta có: a

2







++






+
zyx=






+++



3
1
+

( )
+++
zyx
3
2
x

2

+ y

2

+ z

2
=

3
1
+ x

2

6.3. Chú ý:

Khi dùng ph

ơng pháp biến đổi để chứng minh bất đẳng

th

ức cần chú ý:

+ Đặt biến mới theo hệ đ

i

ều kiện của biến cũ, kèm theo đ

i

ếu kiện của biến mới.

+ Nắm kỹ đ

ợc các phép biến đổi, các bất đẳng

th

ức cơ bản, quen thuộc

để áp dụng.


1 +

xy
3/ Cho a, b, c


0

Chứng minh rằng:

2
222
22
4
22
4
22
4
cba
ba
c
ca
b
cb
a
++

+
+
+


là những bất đẳng thức "kinh điển" nh

bất

đẳng thức: Cô si; Bunhia côp

s

ki

;



7.2.

Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1:

Chứng minh rằng:

a
b
b
a

1.
2
2
=












+
a
b
b
a
a
b
b
a
hay a = b

Ví dụ 2:

Chứng minh bất đẳng thức Becnuli đối với a


R

+

; 1 < q

Q thì:

( 1
+
a

)
n số hạng m - n số hạng

( ) ( )
( )
m
nm
n
qa
n
qaqa

+
++++++++
1.1
1...111...1

(Không xảy ra dấu ''='' vì (

1 +qa) > 1)