PHềNG GD&T THANH OAI
CHNH THC

THI CHN HC SINH GII LP 9 NM HC 2014 - 2015
Mụn: Toỏn
Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao )
thi gm cú: 01 trang

Cõu 1: (6 im)
1. Cho A =

:

a. Rỳt gn A

b. Tớnh A khi x =

+

2. Cho n l s nguyờn dng v n l. CMR:
1947
Cõu 2: (4 im)
Gii phng trỡnh

x 2 3x + 2 + x + 3 = x 2 + x 2 + 2 x 3
b ) Cho a, b, c l 3 s tng ụi mt khỏc nhau v tho món:
a
b
c
+
+

Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh:
(x + y)4 = 40y + 1.
- Ht Lu ý: Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm!


PHÒNG GD&ĐT THANH OAI

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn: Toán

Câu 1: (6 điểm)
1. a) ĐK: x

0; x

0.5

1

2
1
0.5

Rút gọn A =
b) Lập phương 2 vế tính x = 2
Thay vào A: => A =
n

0.25
0.25

a,(2đ)
a, x 2 − 3x + 2 +

x + 3 = x − 2 + x 2 + 2 x − 3 (1)

x 2 − 3x + 2 ≥ 0

⇔x≥2
ĐK: x + 3 ≥ 0
x 2 + 2 x − 3 ≥ 0

(1) ⇔ + = +
 x −1 = a ≥ 0

Đặt:  x − 2 = b ≥ 0

 x + 3 = c ≥ 0
⇔ a.b + c = b + a.c
(1)
⇔ a(b - c) - (b - c) = 0

0,25
0,5
0,25

0,5


a = 1
⇔ (a - 1)(b - c) = 0 ⇔ 


1
Nhân 2 vế của đẳng thức với
ta có:
b-c

( b - c)

2

=

ab - b 2 - ac + c 2
( a - b) ( a - c) ( b - c)

0,5

Vai trò của a, b, c như nhau, thực hiện hoán vị vòng quanh giữa a, b, c ta có:
b

( c - a)

=

2

cb - c 2 - ab + a 2
( a - b) ( a - c) ( b - c) ,

c


3
4

a. (1,5d) Giải: Ta có x2+x+1=(x+ )2 + >0
5x2+11x+7=5(x+

11 2 19
) +
>0
10
20

Nên(1+x+x2+x3)-(1+x+x2)

0,5®


1
2 1 2 1
⇒ a 3 + b 3 + c 3 ≥ (a + b + c) − = − =
3
9 3 9 9
1
1
Do ®ã A ≥ . DÊu “=” x¶y ra khi a=b=c=
9
3
1
1
VËy min A= ⇔ a = b = c =
9
3

0,5®

Bài 4
(6 đ)
a)
M
1
2

A

·
+ Tia MI là tia phân giác: AMB
(1)
¶ +E
µ = 900
A
1
1
¶ + OAE
·
¶ + OAE
·
¶ =A
¶
⇒A
= 900 mà A
+ 
= 900 ⇒ A
1
2
1
2
µ
·
E1 = OAE
·
⇒ AE là tia phân giác MAB
(2)
+ Chứng minh :


0,25


+ Gọi IN là đường cao của ∆OIK và J là trung điểm của ON.

IN.OK
⇒ ( SOIK ) max ⇔ ( IN ) max ( do IK không đổi )
2
OK
OK
+ Đánh giá: IN ≤ IJ =
⇒ ( IN ) max =
⇔ N ≡ J ⇔ ∆IOK vuông cân.
2
2
+ Lập luận ∆OMH vuông cân ⇒ MH = HO . Kết luận……
+ SOIK =

0,25
0,25
0,5
0,25

Câu 5: (1 điểm)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
(x + y)4 = 40y + 1. (1)
Vì x ≥ 1, y ≥ 1 nên (1) viết được dưới dạng:

( x + y ) 3 = 40 y + 1
x+ y