SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
QUẢNG NGÃI
Ngày thi 29 tháng 3 năm 2012

Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút.
Bài 1: (4,0 điểm)
a) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn:
6 +5 +18 = 2x y xy
b) Chứng minh rằng với mọi a
∈N
thì biểu thức A =
5 4 3 2
a a 7a 5a a
+ + + +
120 12 24 12 5

có giá trị là số tự nhiên.
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình:
2
4 1 5 14x x x+ = − +
b) Giải hệ phương trình:
1 1 6
2
y = x
z = xy
= +
x y z



+ + ≥ +
Bài 4: (5,0 điểm)
Trên đường tròn (O) đường kính AB lấy điểm M (M khác A và B). Từ điểm C
trên đoạn OB (C khác B) kẻ CN vuông góc với AM tại N. Đường phân giác của
·
MAB

cắt CN tại I và cắt đường tròn (O) tại P; đường thẳng MI cắt đường tròn (O) tại điểm
thứ hai là Q.
a) Chứng minh ba điểm P; C; Q thẳng hàng.
b) Khi BC = AM, hãy chứng minh tia MI đi qua trung điểm của đoạn AC.
Bài 5: (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Trên các đoạn AH, AB, AC lần
lượt lấy các điểm D, E, F sao cho
·
·
0
EDC = FDB = 90
(E khác B).
Chứng minh rằng EF // BC.
HẾT
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
1
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
QUẢNG NGÃI HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn Toán
Bài 1: (4,0 điểm)
a) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn:
6 +5 +18 = 2x y xy

− = =
 
⇒
 
− = =
 
*
3 11 4
2 5 3 14
y x
x y
− = =
 
⇒
 
− = =
 
*
3 3 8
2 5 11 6
y x
x y
− = =
 
⇒
 
− = =
 
Các cặp số nguyên dương đều thỏa mãn đẳng thức trên.
Vậy các cặp số cần tìm là : (3; 36); (4; 14); (8; 6); (19; 4)

+ Trong tích có ít nhất 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp, nên M
8M
+ M là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp, nên M
5M
+ M chứa tích của 3 số tự nhiên liên tiếp, nên M
3M
Vì (3; 5; 8) = 1 nên
M 3.5.8 120=M
Do đó
5 4 3 2
a a 7a 5a a
120 12 24 12 5
+ + + +
là số tự nhiên với mọi a
N∈
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình:
2
4 1 5 14x x x+ = − +
Tóm tắt cách giải
2
4 1 5 14x x x+ = − +
( 1 )Điều kiện: x
≥
–1.
(1)
⇔
(x
2
– 6x + 9 ) + ( x + 1– 4

x
x
− =



+ − =



⇔
3
1 2
x
x
=



+ =



⇔

3 3
1 4 3
x x
x x
= =

2
(1)
(2)
1 1 6
(3)
y x
z xy
x y z


=


=



= +


với x, y, z
≠
0
Thế (1) vào (2) ta có z = x
3
(4)
Thế (1) và (4) vào (3) ta có:
2 3
1 1 6
x x x

Với x = –2
⇒
y = 4; z = –8
Với x = 3
⇒
y = 9; z = 27
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (–2 ; 4 ; –8) và (3 ; 9 ; 27).
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Cho a =
1 2
2
-
. Tính giá trị của biểu thức:
16 51
8
a a
-

Tóm tắt cách giải
Ta có:
( )
2
4 2
8 8
8
1 2
2 1 2 1 2 2 4 4 1
2
16 16 8 1 16 4 8 1 24 5
169

2 2
a b
   
− ≥ − ≥
 ÷  ÷
   

1 1
0; 0
4 4
a a b b⇒ − + ≥ − + ≥
1 1
( ) ( ) 0
4 4
a a b b⇒ − + + − + ≥

∀
a, b > 0
1
0
2
a b a b⇒ + + ≥ + >
Mặt khác
2 0a b ab+ ≥ >

Nhân từng vế ta có :
( ) ( )
( )
1
2

3
2
1
1
2
Tóm tắt cách giải
a) Chứng minh P, C, Q thẳng hàng
Ta có CI // BM ( cùng vuông góc AM)
⇒

¶
µ
2 1
IM =
( đồng vị ) (1)

¶
µ
2 3
M A=
( góc nội tiếp cùng chắn cung BQ) (2)
Từ (1) và (2)
µ
µ
3 1
IA⇒ = ⇒
Tứ giác AICQ nội tiếp .
·
µ
2

Mặt khác AI là phân giác của
·
MAB
nên
EI AE
IM AM
=
(6)
Từ (5) và (6)
( )
EC AE
BC AM
EC AE
BC AM gt

=

⇒ ⇒ =


=

Vậy MI đi qua trung điểm của AC .
4
Q
P
M
N
F
E

(3)
Qua D vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại P và Q.
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
Vì PD // BM
PD ED
BM EM
⇒ =
; PD // BH
PD AD
BH AH
⇒ =
.
Do đó
: : .
PD PD ED AD BH ED AH
BM BH EM AH BM EM AD
⇒ = ⇒ =
(4).
Tương tự ta cũng có
.
CH FD AH
CN FN AD
=
(5)
Từ (3) (4) và (5)
ED FD
EM FN
⇒ =
.
Theo định lí Ta-lét đảo, suy ra EF // BC.