Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

NHỊ THỨC NEWTON
1. Công thức nhị thức Newton (Niu-tơn)

a  b

 Cn0 a n  Cn1a n 1b  Cn2 a n  2b 2  ...  Cnk a n  k b k  ...  Cnn 1ab n 1  Cnnb n

n

 Cn0b n  Cn1b n 1a  Cn2b n  2 a 2  ...  Cnk b n k a k  ...  Cnn 1ba n 1  Cnn a n
n

  Cnk a n k b k (coi a 0  b 0  1).
k 0

Kí hiệu  do Leonhard Euler (1707– 1783) đề xuất.
Công thức nhị thức Newton (còn được gọi là Định lí nhị thức Newton) đã được độc lập chứng minh bởi:
- Nhà toán học và cơ học Sir Isaac Newton (1643-1727) vào năm 1665;
- Nhà toán học James Gregory (1638 - 1675) vào năm 1670.

Trong khai triển trên, số hạng tổng quát có dạng Tk 1  Cnk a nk bk (k  0,n).
Các hệ số trong khai triển này có thể được xác định theo tam giác Pascal sau đây.

1

1


1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 6 15 20 15 6 1

......................................

......................................

2. Phương pháp làm trội
n

Để tính tổng có dạng Sn   uk , ta có thể phân tích uk  vk  vk 1, k  1, 2,..., n, và
k 1

3


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Sn 

n

 uk 


 ak  an  an1  ...  a1  a0  f (1).

k 0

Tổng tất cả các hệ số bậc chẵn của f ( x) là S1  a0  a2  a4  ...  a

n
2 
2

Tổng tất cả các hệ số bậc lẻ của f ( x) là S2  a1  a3  a5  ...  a

4. Hệ quả của công thức nhị thức Newton

4



 n1
2
1
 2 

1
 f (1)  f (1)  .
2





4
n

n
2 
2
n

 C  C  C  ...  C
1
n

3
n

5
n

 n 1 
2
 1
 2 
n

 2n 1.

8) C02 n 1  C21n 1  C22n 1  ...  C2nn11  C2nn 1  4n (do C22nn11 k  C2kn 1 , k  0,1,..., n).
5. Một số bài tập
5.1. Viết dạng khai triển của đa thức

8

2

b) Tìm số hạng tự do trong khai triển  x3   .
x


c) Tìm hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển (2 x  1)3  (2 x  1)4  ...  (2 x  1)10 .
d) Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (1  2 x)( x  3)13.
e) Tìm hệ số của số hạng chứa x5 y 2 z 3 trong khai triển ( x  2 y  z )10 .
f) Xác định hệ số có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong khai triển (1  2 x) n  a0  a1x  ...  an x n , biết rằng
a0 

a
a1
 ...  nn  4096.
2
2

Bài 4.
a) Biết hệ số của x 2 trong khai triển (1  3x)n là 90. Tìm số nguyên dương n.
 1

b) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển  3  x5 
x


n






n1

 x 
 x1    x 
 2 3   ...  Cnn1  2 2   2 3 











n1

Tìm số thực x và số nguyên dương n biết trong khai triển đó số hạng thứ 4 bằng 20n và Cn3  5Cn1 .

6

n

 x 
n 3 

d) Tìm hệ số của số hạng chứa x

3

1 
trong f ( x)  x  2x  5 
x


5n2

1 

x 3 
x


3n3

, x  0, biết rằng

An2Cnn1  48.
n

e) Tìm hệ số của số hạng chứa x

26

 1


2015
T1  C2015
 C2015
 C2015
...  C2015
;
0
2
4
2014
T2  C2015
 C2015
 C2015
 ...  C2015
;
0
1
2
1006
1007
T3  C2015
 C2015
 C2015
 ...  C2015
 C2015
;

T4 

1 1 2 2 3 3

0
4
2014
S3  C2015
 C22015  C2015
 C62015  ...  C2012
2015  C2015 ,
2015
S4  C12015  C32015  C52015  C72015  ...  C2013
2015  C2015,
0
4
8
2012
S5  C20
15  C2015  C2015  ...  C2015 ;
0
2
4
48
S6  C50
 3C50
 32 C50
 ...  324 C50
 325 C50
50 .

Bài 9. Cho T  Cn0  2Cn1  4Cn2  ...  2n Cnn , n  *.
a) Rút gọn T.
b) Tìm số nguyên dương n sao cho T  243.