NHỊ THỨC NEWTON
1. Công thức Newton
Định lí:
0 1 1 2 2 2 1 1
( ) ...
n n n n n n n n
n n n n n
a b C a C a b C a b C ab C b
− − − −
+ = + + + + +
2.Nhận xét
Trong khai triển Newton (a+b)
n
có các tính chất sau
* Gồm có n+1 số hạng
* Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n
*Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
*Các hệ số có tính đối xứng:
k n k
n n
C C
−
=
* Số hạng tổng quát :
1
k n k k
k n
T C a b
−
+
=

n n n
C C C+ + + =
*
0 1 2
... ( 1) 0
n n
n n n n
C C C C− + − + − =
3. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Xác định các yếu tố trong khai triển như
*Xác định hệ số của x
k
trong khai triển
* Xác định hệ số không chứa x
PP: Dùng công thức khai triển , khi đó
1
k n k k
k n
T C a b
−
+
=
VD1: Tìm hệ số của x
7
trong khai triển biểu thức sau

10
9
7 8 9
) ( ) (1 2 )

x+
thành đa thức
2 9 10
0 1 2 9 10
...a a x a x a x a x+ + + + + , hãy tìm hệ số a
k
lớn nhất (
0 10k≤ ≤
).
VD4: Cho khai triển
1 1
0
3 3
2 2
(2 2 ) (2 ) ... (2 )
x x
x x
n n n n
n n
C C
− −
− −
+ = + +
(n là số nguyên
dương). Biết trong khai triển đó
3 1
5
n n
C C= và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm x và n?.
VD5: Xét khai triển

PP: Dựa vào khai triển nhị thức Newton
0 1 2 2
(1 ) ...
n n n
n n n n
x C xC x C x C+ = + + + + , ta
chọn những giá trị x thích hợp
Ví dụ 1.Cmr:
0 2 2 1 3 2 1
2 2 2 2 2 2
) ... ...
n n
n n n n n n
a C C C C C C
−
+ + + = + + +

0 1 1 0
) ...
k k k k
m n m n m n m n
b C C C C C C C
−
+
+ + + =
Ví dụ 2: Tính các tổng sau

0 1 2
1 1 1
) ...

26
trong khai triển nhị thức Newton của
7
4
1
( )
n
x
x
+
, biết
1 2 20
2 1 2 1 2 1
... 2 1
n
n n n
C C C
+ + +
+ + + = − .
Ví dụ 5: Áp dụng khai triển nhi thức Newton của (x
2
+x)
100
, chứng minh rằng
2 99 1 100 99 198 100 199
100 100 100 100
1 1 1 1
100 ( ) 101 ( ) ... 199 ( ) 200 ( ) 0
2 2 2 2
C C C C− + − + =

n n n n n
S C C C C C
n
−
= − + − + +
+
Bài tập
1. Xét khai triển
20
1
(2 )x
x
+
a) Viết số hạng thứ k+1 trong khai triển
b) Số hạng nào trong khai triển không chứa x
2. Xác định hệ số của x
4
trong khai triển
2 10
( ) (3 2 1)f x x x= + +
3. Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau

28
3
15
) ( ) ( )
n
a f x x x x
−
= +

a a a
− +
= =
. Tính n=?
5. Tìm hệ số chứa x
8
trong khai triển nhị thứ Newton của
5
3
1
( )
n
x
x
+
, biết rằng
1
4 3
7( 3)
n n
n n
C C n
+
+ +
− = +
6. Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của [1+x
2
(1-x)]

2.2 3.2 4.2 ... (2 1)2 2005
n n
n n n n n
C C C C n C
+
+ + + + +
− + − + + + =
10. Tìm hệ số của x
7
trong khai triển thành đa thức của (2-3x)
2n
, biết n là số ngun
dương thỏa mãn
1 3 5 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
... 1024
n
n n n n
C C C C
+
+ + + +
+ + + + =
.
11. Giả sử
2
0 1 2
(1 2 ) ...
n n
n
x a a x a x a x+ = + + + +

n n
I x dx
n n
−
= − =
− +
∫
. Hãy tính tổng sau
1 2 3
1 1 1 ( 1)
1 ...
3 5 7 2 1
n
n
n n n n
S C C C C
n
−
= − + − + +
+
15. Tính các tổng sau

1 3 2 3 3 3
2 3
0 1 2 3
1 1 2 2 3 3
) 2 3 ...
2 2 2
) ...
3 4 1

1
1 1
1
1
1
1 1
2 1
2
1 2 3 4
4
1)
2)
3)
4) 2 (2 )
5) 4 6 4 (4 )
k k k
n n n
k k
n n
k k k
n n n
k k k k
n n n n
k k k k k k
n n n n n n
A kA A
kC nC
C C C
C C C C k n
C C C C C C k n

n n
A A
M
n
+
+
=
+
biết
2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 149
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + =
8. Tính tổng
2
1
1 1 1
2 ... ...
p n
n n n
n
p n
n n n
C C C
S C p n
C C C
− −