Gia s Thnh c

www.daythem.com.vn

Bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Bài toán 1: Viết ph-ơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số.
1.Bài toán: Cho đồ thị (C) : y = f(x) và điểm M 0 ( x0 ; y0 ) (C) . Viết ph-ờng trình tiếp
tuyến của (C) tại điểm M 0 ( x0 ; y0 ) .
2.Ph-ơng pháp:
Ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) tại M 0 ( x0 ; y0 ) có dạng : y y0 f ' ( x0 )(x x0 ) .
y = f(x)

y

M0

y0
O

x

x0

Ví dụ : Cho hàm số y x 3 3x 5 (C). Viết ph-ơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
biết :
a) Tại điểm A ( -1; 7).
b) Tại điểm có hoành độ x = 2.
c) Tại điểm có tung độ y =5.
Giải:
a) Ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M 0 ( x0 ; y0 ) có dạng : y y0 f ' ( x0 )(x x0 )
Ta có: y' 3x 2 3 y' (1) 0 .

Gọi (x0; y0) là điểm cố định của đồ thị hàm số khi đó ta có:
y 0 x03 mx 02 m 1 m

( x02 1)m x03 1 y 0 0 m
x0

x02 1 0
y 0
3

x0 1 y 0 0
x0
y 0

1
0
1
2

2

Ta có: y = 3x + 2mx
y(1) = 3 + 2m. Do đó ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) tại A(1; 0) là:
y 0 (2m 3)( x 1) hay y (2m 3) x (2m 3) (1)
T-ơng tự ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) tại B(-1 ; -2 ) là:
y (3 2m) x 1 2m . (2)
* Tìm quĩ tích giao điểm của hai tiếp tuyến khi m thay đổi:
Khử m từ ph-ơng trình (1) và ph-ơng trình (2) ta đ-ợc: y

3x 2 x 2


Ph-ơng trình tiếp tuyến tại điểm M0 có dạng:
y

x 1
2
(d)
( x x0 ) 0
2
x0 1
( x0 1)

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (C) là: x = 1.
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C) là: y =1.
Toạ độ giao điểm của hai đ-ờng tiệm cận là A(1; 1).
Toạ độ giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là nghiệm của hệ:
x 1
2

( x x0 ) 0
x 2 x0 1
y
2
x0 1
( x0 1)

y 1
y 1




Dấu = khi và chỉ khi AB = AC

x0 1 2
4
2 x0 1 ( x0 1) 2 2
.
x0 1
x0 1 2

Vậy, những điểm thuộc (C) có hoành độ thoả mãn x 1 2 thì tiếp tuyến tại đó lập
với hai đ-ờng tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Bài tập 3: (HVBCVT A- 1999)
Cho hàm số: y x 3 3x 2 2 (C).Tìm các điểm thuộc (C) mà qua đó kẻ đ-ợc một và
chỉ một tiếp tuyến đến (C).
Giải:
3


Gia s Thnh c

www.daythem.com.vn

Gọi M 0 ( x0 ; x03 3x02 2) (C ) .
Ph-ơng trình tiếp tuyến (pttt) của (C) tại M0 có dạng:
y k ( x x0 ) x03 3x02 2 (d)
Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) tại M0 khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

3
2

a) CMR: khi m thay đổi đ-ờng thẳng cho bởi ph-ơng trình : y = m(x + 1) + 2 (d) luôn
cắt đồ thị hàm số (1) tại một điểm A cố định.
b) Tìm m để (d) cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến
với đồ thị tại B và C vuông góc với nhau.
Giải:
a) Ph-ơng trình hoành độ giao điểm của đồ thị (1) và đ-ờng thẳng (d) là:
x 3 3x m( x 1) 2
x 3 3x 2 m( x 1)
( x 1)( x 2 x 2) m( x 1)
( x 1)( x 2 x 2 m) 0
x 1 0
2
x x 2 m 0 (*)
Ta có x + 1 = 0 x = -1 y = 2. Do đó điểm cố định là A( -1; 2).

b) Đồ thị (1) cắt đ-ờng thẳng (d) tại 3 điểm phân biệt A, B, C khi và chỉ khi ph-ơng
trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1.
9

0
1 4(2 m) 0
m



4.
2
m

0

khi và chỉ khi:
y(x1).y(x2) = -1 9( x1 x2 ) 2 9( x1 x2 ) 2 18x1 x2 10 0
x1 x2 1
Mà x x 2 m (theo định lí viet).
1 2



Do đó: 9(2 m) 2 18(2 m) 1 0 9m 2 18m 1 0 m
Kết luận: Vậy m

3 2 2
( Thoả mãn).
3

3 2 2
thì yêu cầu bài toán đ-ợc thoả mãn.
3

Bài tập 5: Cho hàm số: y

4x 2
(C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C),
x 1

trục Oy và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3.
Giải:

4*3 2 5
.

3
3
6
( x 3) (4
) dx ( ( x 3)
)dx
8
2
x 1
8
2 x 1
0

3
3
= ( ( x 3) 3 - x 6 ln x 1 )
16
2

3

= 12 ln 2
0

99
16

(đvdt).

Bài tập 6: (ĐH Huế A - 2000).

x x (l )
( x1 1) 2
( x 2 1) 2
2
1

Vậy M1, M2 đối xứng với nhau qua giao điểm của hai đ-ờng tiệm cận của đồ thị hàm
số thì tiếp tuyến tại đó song song với nhau.
Bài toán 2: Viết ph-ơng trình tiếp tuyến qua một điểm cho tr-ớc.
1.Bài toán: Cho đồ thị (C) : y = f(x) và điểm A(a; b). Viết ph-ờng trình tiếp tuyến
y
của (C) đi qua điểm A.

A(a; b)
x
O

y = f(x)
2. Ph-ơng pháp: Viết ph-ơng trình trình thẳng qua A(a; b) với hệ số góc k d-ới
dạng: y = k(x - a) + b (d).
Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:
f ( x) k ( x a) b
có nghiệm.

f ' ( x) k
Giải ph-ơng trình f ( x) f ' ( x)(x a) b x x0 ; x1 ;...; xn

. tính ki = f(xi) với

i 0; n ,

2

2

+) Với x = -1 suy ra k = 0. Pttt là: y = 2.
+) Với x =

1
9
9
1
k
x .
. Pttt là: y
2
4
4
4

Bài tập 1:
Cho hàm số y 3x 4x 3 (C). Viết ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) qua A(1; 3).
Giải:
Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua A(1; 3) có dạng: y = k( x -1) +3 (d).
Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
3

3x 4 x k ( x 1) 3

2


3x 6 x k

x 1
x 3 3x 2 0 ( x 1) 2 ( x 2) 0
x 2
+) Với x = -1 k 9 . Pttt là: y = 9x + 7.

7


Gia s Thnh c

www.daythem.com.vn

+) Với x = 2 k 0. Pttt là: y = -2.
Bài tập 3: (ĐH D-ợc A- 1999).
Cho hàm số: y

x2 x 1
x 1

(C ). CMR: Có hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 0) và

vuông góc với nhau.
Giải:
Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua A(1; 0) với hệ số góc k có dạng:
y = k(x -1) (d).
Ta có: y

x2 x 1

k
( x 1) 2
k 0

k 1 5 (t / m)
k 0
k 0
2
1

2
2

1 k k
k k 1 0

k 1 5 (t / m)
2
2

Vì k1k2 = -1 nên hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 0) vuông góc với nhau.
Bài tập 4: Cho hàm số: y (2 x 2 ) 2 (C). Viết ph-ơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
biết tiếp tuyến đó đi qua A(0; 4).
Giải:
Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua A(0;4) có dạng: y kx 4 (d )
Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:
8


Gia s Thnh c

k
+) Với x
. Pttt là: y
9
9
3

+) Với x

2
3

k

16 3
16 3
x 4.
.Pttt là: y
9
9

Kết luận: Vậy có ba tiếp tuyến qua A(0; 4) đến đồ thị (C).
Bài tập 5:
Cho hàm số: y

x2
(C) và điểm A(0; a). Xác định a để từ A kẻ đ-ợc hai tiếp
x 1

tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm t-ơng ứng nằm về hai phía so với trục Ox

a 2

Gọi x1; x2 là các tiếp điểm. Do hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành nên
y(x1).y(x2) < 0 (x1; x2 là các nghiệm của ph-ơng trình (*))


x1 2 x2 2
x x 2( x1 x2 ) 4
.
0 1 2
0
x1 1 x2 1
x1 x2 ( x1 x2 ) 1

9


Gia s Thnh c

www.daythem.com.vn

2(a 2)

x

x

2t
1
2


0
a 1 (thoả mãn (**)).
5
a 1
5
5(a 1)
3
a 1
Vậy, 2
thì yêu cầu bài toán đ-ợc thoả mãn.

a 1
3

Bài tập 6:
1
2

Cho hàm số y x 4 3x 2

3
3
(C ) . Viết pttt của (C) đi qua A(0; ).
2
2

Giải:
3
2

+) Với x= - 2 k 2 2 . Pttt là: y = 2 2 x .
2
3
Kết luận: Vậy có ba tiếp tuyến kẻ từ A(0; ) đến đến thị (C).
2

+) Với x 2 k 2 2 . Pttt là: y 2 2 x .

* Lời bình: Đối với bài toán này học sinh th-ờng lầm hai khái niệm tiếp tuyến đi qua
và tiếp tuyến tại điểm từ đó dẫn đến việc xác định thiếu tiếp tuyến của đồ thị (C). Vì
vậy qua bài tập này phải cho học sinh nhận rõ hai loại tiếp tuyến này có sự khác nhau
rõ rệt.
10


Gia s Thnh c

www.daythem.com.vn

Bài tập 7: (ĐH Ngoại th-ơng A - 2000).
Cho hàm số y x 3 6x 2 9x 1 (C). Từ một điểm bất kì trên đ-ờng thẳng x = 2 có
thể kẻ đ-ợc bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Giải
Gọi điểm B(2; b) là điểm bất kì nằm trên đ-ờng thẳng x = 2.Ph-ơng trình đ-ờng
thẳng qua B(2; b) có dạng: y = k(x - 2) +b (d).
Đ-ờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
3
2

x 6 x 9 x 1 k ( x 2) b

x 1 k ( x 1) 1
x
1
x
1


( x 1) 1

1 x x 2 (vô nghiệm).
1
2
x 1 ( x 1)
x 1 x 1


k
( x 1) 2

(điều phải chứng minh).

11


Gia s Thnh c

www.daythem.com.vn

Bài tập 9:
x2 x 1

1
b 3 k
3
bk

x 1
x 1
2
b 3 k
1
(1)
x 1
2
Do đó (I)
1 1
k (2)
( x 1) 2

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thỏa mãn (2)
b 3 k
0

k b 3
2

2
2
k 2(b 1)k (b 3) 4 0 (*)
1 ( b 3 k ) 2 k


www.daythem.com.vn

*) Cho trực tiếp: k 5; k 1; k 3; k

3
7

...

*) Tiếp tuyến tạo với chiều d-ơng của trục Ox một góc , với



150 ;300 ;450 ;

2
; ..... Khi đó hệ số góc k = tan .
3 3

*) Tiếp tuyến song song với đ-ờng thẳng (d): y = ax + b. Khi đó hệ số góc k = a.

1
.
a
k a
tan .
*) Tiếp tuyến tạo với đ-ờng thẳng (d): y = ax + b một góc . Khi đó:
1 ka

*) Tiếp tuyến vuông góc với đ-ờng thẳng (d): y = ax + b ka 1 k


www.daythem.com.vn

Cho hàm số y x 3 3x 2 (C). Viết ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến
đó vuông góc với đ-ờng thẳng y

1
x.
9

Giải:
Ta có y' 3x 2 3 . Do tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đ-ờng
1
x nên hệ số góc của tiếp tuyến k = 9.
9
Do đó y' k 3x 2 3 9 x 2 4 x 2.
+) Với x = 2 y 4 . Pttt tại điểm có hoành độ x = 2 là: y 9( x 2) 4 y 9x 14.
+) Với x 2 y 0 . Pttt tại điểm có hoành độ x = - 2 là: y 9( x 2) 0 y 9x 18 .
1
Vậy, có hai tiếp tuyến củả (C) vuông góc với đ-ờng thẳng y x là:
9

thẳng y

y =9x - 14 và y = 9x + 18.
Bài tập 2:
Viết pttt của đồ thị hàm số y

x2 x 1
(C), biết tiếp tuyến đó song song với đ-ờng


x 1 2

1
33 2
1
y
Với x 1
. Pttt của (C) tại x 1
là: y x 2 2 4.
2
2
2
1
T-ơng tự pttt của (C) tại x 1
là: y x 2 2 4.
2

Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn bài ra.
Bài tập 3: (ĐH Đà Lạt D - 2000).
Cho hàm số y

2x 1
(C). Viết pttt của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với
x 1

đ-ờng thẳng y = - x.
Giải:
14


Bài tập 4:
Cho hàm số y x 3 3x 2 9x 3 (C). Chứng minh rằng trong số các tiếp tuyến của
(C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
Giải:
Ta có hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm bất kì của đồ thị (C) là:
k = y' 3x 2 6x 9
y' ' 6x 6 y' ' 0 6x 6 0 x 1

Xét dấu y tìm được điểm uốn U(-1; 14).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn là: k1 = -12.
Bảng biến thiên của hàm số y' 3x 2 6x 9

x
y



-1
0





+


y
-12
Từ bảng biến thiên suy ra k 12 . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = -1 (hoành độ

( x 0 m) 2

(2 x0 2 k )m 2 (2kx0 x02 )m kx02 0 m 0
2 x0 2 k 0 (1)

2kx0 x02 0 (2)
2
kx0 0 (3)
k 0

Ta có : (3)
x0 0
+) Với x0 = 0 suy ra k = -2 (thoả mãn).
x0 1
(vô nghiệm)
x0 0

+) Với k = 0

Vậy, x0 = 0 và k = -2 thì thì tiếp tuyến của (C) tại x0 song song với một đ-ờng thẳng
cố định.

Bài tập tổng hợp
Bài tập 1:
Cho hàm số y x 1
Bài tập 2:
Cho hàm số: y

2
(C). Viết ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) tại A(0; 3).


Gia s Thnh c

www.daythem.com.vn

Bài tập 7: (ĐH Khối B- 2006).
x2 x 1
Cho hàm số y
(C). Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm
x2

cận xiên của đồ thị (C).
Bài tập 8: (ĐH khối B 2008).
Cho hàm số y 4x 3 6x 1 (C). viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua M(-1; -9).
Bài tập 9: (ĐH khối D - 2007).
2x
(C). Tìm toạ độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại
x 1
1
M cắt hai trục toạ độ Ox và Oy tại A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng .
4

Cho hàm số y

B i tập 10: (Đề thi tốt nghiệp THPT Năm 2008).
Cho hàm số y x 4 2x 2 (C). Viết ph-ơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành
độ x = -2.
Bài tập 11:
Cho hàm số y ax3 bx 2 cx d (C). CMR: trong số các tiếp tuyến của (C) thì tiếp
tuyến tại điểm uốn khi a > 0 ( a < 0) có hệ số góc nhỏ nhất (lớn nhất).

sinh nâng cao khả năng tự học, tự nghiên cứu. Kết quả khảo sát cho thấy khoảng 70%
học sinh sau khi tiếp cận đầy đủ tài liệu này đều làm thành công bài toán về tiếp tuyến
của đồ thị hàm số, qua đó nâng cao điểm toán của học sinh trong các kì thi tốt nghiệp
hoặc thi Đại học, Cao đẳng góp phần nâng cao tỷ lệ trúng tuyển của nhà tr-ờng trong
những năm qua.
Mặc dù có nhiều cố gắng nh-ng do thời gian có hạn, kinh nghiệm nghiên cứu và
ứng dụng sáng kiến còn hạn chế, không liên tục và mang tính đại trà nên đề tài không
tránh khỏi những thiếu sót và mang tính chủ quan. Tác giả đề tài mong nhận đ-ợc ý
kiến đóng góp của quý thầy cô để sáng kiến đ-ợc hoàn thiện hơn./.

Tài liệu tham khảo
1. Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán của Trần Ph-ơng (NXB
Hà Nội).
2. Tuyển tập các đề thi Đại học, Cao đẳng môn toán.
3. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 (NXB Giáo Dục - 2007).
4. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 12 (NXB Giáo Dục - 2007).
5. Đề thi tốt nghiệp THPT các năm gần đây và tham khảo tài liệu trên mạng.

18