ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRẦN NGỌC TÂM

¨
TÍNH LIÊN TỤC HOLDER
CỦA NGHIỆM VÀ
¨
ĐẶT CHỈNH HOLDER
CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG
Ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số ngành: 62460112

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

TP. Hồ Chí Minh - Năm 2017


✬

✩

Công trình này được hoàn thành tại trường Đại Học Khoa học Tự Nhiên
Tp. Hồ Chí Minh.

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Lâm Quốc Anh
GS.TSKH. Phan Quốc Khánh

Phản biện 1: TS. Nguyễn Bá Thi
Phản biện 2: TS. Nguyễn Đình Tuấn

Q:X ⇒Y.
Định nghĩa 1.1.1

(a) Q được gọi là nửa liên tục trên tại x0 nếu với mọi lân cận

U của Q(x0 ) thì tồn tại một lân cận N của x0 sao cho Q(N ) ⊆ U .
(b) Q được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 nếu với mọi tập con mở U của Y với
Q(x0 ) ∩ U = ∅ thì tồn tại một lân cận N của x0 sao cho ∀x ∈ N thì Q(x) ∩ U = ∅.
(c) Q được gọi là liên tục tại x0 nếu nó vừa nửa liên tục trên vừa nửa liên tục dưới
tại x0 .
(d) Q được gọi là liên tục trên tập con A ⊆ X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ A.

1.1.2

Tính liên tục H¨
older của ánh xạ

Xét X, Y, M là các không gian metric, l, α > 0 và θ ≥ 0.
Định nghĩa 1.1.2

(i) Ánh xạ g : X → Y được gọi là l.α-H¨older tại x¯ nếu tồn tại

một lân cận N của x¯ sao cho với mọi x1 , x2 ∈ N thì d(g(x1 ), g(x2 )) ≤ ldα (x1 , x2 ).
(ii) Ánh xạ g : X → Y được gọi là l.α-H¨older calm tại x¯ nếu tồn tại một lân cận N
của x¯ sao cho với mọi x ∈ N thì d(g(x), g(¯
x)) ≤ ldα (x, x¯).
1


(iii) Ánh xạ g : X × X × M → Y được gọi là l.α-H¨older, θ-đều trên A ⊆ X tại µ

g(x, y) + g(y, x) + ldα (x, y) ≤ 0.
(v) l.α-H¨older giả đơn điệu mạnh trên A nếu với mọi x, y ∈ A và x = y thì,
[g(x, y) ≥ 0] =⇒ [g(y, x) + ldα (x, y) ≤ 0].
Định nghĩa 1.2.2 Ánh xạ g : X × X → Y được gọi là C-đơn điệu trên A nếu với mọi
x, y ∈ A thì g(x, y) + g(y, x) ∈ −C.
2


1.3

Tính lồi và các khái niệm liên quan

Xét X, Y là các không gian metric tuyến tính, ∅ = A ⊆ X, C là một nón lồi, đóng,
có đỉnh và phần trong khác rỗng trong Y và m, h, β > 0.
Định nghĩa 1.3.1 Hàm số g : X → R được gọi là lồi trên A nếu với mọi x1 , x2 ∈ A
và t ∈ [0, 1] thì,
g(tx1 + (1 − t)x2 ) ≤ tg(x1 ) + (1 − t)g(x2 ),

(1.1)

và g được gọi là lõm nếu (1.1) được thay bởi,
g(tx1 + (1 − t)x2 ) ≥ tg(x1 ) + (1 − t)g(x2 ).
Định nghĩa 1.3.2 Hàm số g : X → R được gọi là affine trên A nếu với mọi x1 , x2 ∈ A
và t ∈ [0, 1] thì g(tx1 + (1 − t)x2 ) = tg(x1 ) + (1 − t)g(x2 ).
Định nghĩa 1.3.3 Xét ánh xạ g : X → Y có giá trị véc tơ. Khi đó.
(i) g được gọi là C-lồi trên A nếu với mọi x1 , x2 ∈ A và t ∈ [0, 1] thì,
tg(x1 ) + (1 − t)g(x2 ) ∈ g(tx1 + (1 − t)x2 ) + C,

(1.2)



Bài toán cân bằng

Cho X là không gian tô pô, A là một tập con khác rỗng của X và f : A × A → R
là hàm giá trị thực. Bài toán cân bằng vô hướng, được phát biểu như sau:
(EP) Tìm x¯ ∈ A sao cho với mọi y ∈ A thì f (¯
x, y) ≥ 0.
Bài toán đối ngẫu của (EP) như sau:
(DEP) Tìm x¯ ∈ A sao cho với mọi y ∈ A thì f (y, x¯) ≤ 0.

4


Chương 2
Tính liên tục H¨
older của nghiệm
bài toán cân bằng vô hướng
Trong chương này, ta thiết lập điều kiện đủ cho tính liên tục H¨older của ánh
xạ nghiệm chính xác của bài toán cân bằng vô hướng bằng các giả thiết về tính
lồi mạnh. Sau đó, ta thiết lập điều kiện đủ cho tính liên tục H¨older của ánh xạ
nghiệm xấp xỉ của bài toán này bằng các giả thiết về tính lồi (lõm). Giả sử rằng
các tập nghiệm luôn khác rỗng trong lân cận của điểm đang xét.

2.1

Tính liên tục H¨
older của nghiệm chính xác

Xét X là một không gian metric tuyến tính, Λ, M là các không gian metric
và A ⊆ X là tập con khác rỗng. Xét K : Λ ⇒ A là ánh xạ đa trị có giá trị lồi

h

1
β−θ

γ

d β−θ (µ1 , µ2 ).

Định lý 2.1.2 Giả sử rằng các giả thiết (i), (iv) và (iii) giống như trong Định
lý 2.1.1 với f được thay thế bởi −f và điều chỉnh giả thiết (ii) như sau:
(iid ) tồn tại một lân cận U của µ¯ sao cho với mọi x ∈ K(N ) và µ ∈ U , f (·, x, µ)
là h.β -lõm mạnh và m.1-H¨older liên tục trên conv(K(N )).
Khi đó, ta có kết luận tương tự như của Định lý 2.1.1 cho S d .
Định lý 2.1.3 Với K(λ) ≡ K , giả sử các điều kiện sau đây được nghiệm đúng:
(i) tồn tại một lân cận U của µ¯ sao cho với mọi x ∈ K và µ ∈ U , f (x, ·, µ) là
h.β -giống lồi mạnh trên K ;

(ii) với mọi µ ∈ U thì f (·, ·, µ) đơn điệu trên K × K ;
(iii) f là n.γ -H¨older trên U , θ-đều trên K với θ < β .
Khi đó, với mỗi µ ∈ U , (EP) có nghiệm duy nhất x(µ) và với mọi µ1 , µ2 ∈ U ,
ρ(S(µ1 ), S(µ2 )) ≤

n
h

1
β−θ

γ

K(λ1 ) ⊆ K(λ2 ) + lB(0, ||λ1 − λ2 ||α );

(ii) tồn tại một lân cận U của µ0 sao cho với mọi y ∈ K(N ) và µ ∈ U , f (·, y, µ)
là lõm trên K(N );
(iii) với mọi x, y ∈ K(N ), f (x, y, ·) là h.β -H¨
older trên U ;
(iv) với mỗi µ ∈ U và x ∈ K(N ), f (x, ·, µ) là q.δ -H¨
older trên K(N ).
Khi đó, với mỗi ε¯ > 0, S liên tục H¨
older trên [¯
ε, +∞) × N × U :
H(S(ε1 , λ1 , µ1 ), S(ε2 , λ2 , µ2 )) ≤ k1 |ε1 − ε2 | + k2 ||µ1 − µ2 ||β + k3 ||λ1 − λ2 ||αδ ,

với k1 , k2 , k3 là các số dương và phụ thuộc vào ε¯, l, α, h, β, q, δ .
Hệ quả 2.2.1 Giả sử các điều kiện sau đây được nghiệm đúng:
(i) K là l-Lipschitz tại λ0 , tức là, tồn tại một lân cân N của λ0 sao cho với
mọi λ1 , λ2 ∈ N ,
K(λ1 ) ⊆ K(λ2 ) + lB(0, ||λ1 − λ2 ||);

7


(ii) tồn tại một lân cận U của µ0 sao cho với mọi (λ, µ) ∈ N × U và y ∈ K(N )
thì f (·, y, µ) lõm K(N );
(iii) với mọi x, y ∈ K(N ), f (x, y, ·) là h-Lipschitz trên U ;
(iv) với mọi µ ∈ U và x ∈ K(N ), f (x, ·, µ) là q -Lipschitz trên K(N ).
Khi đó, với mỗi ε¯ > 0, S liên tục Lipschitz trên [¯
ε, +∞) × N × U :
H(S(ε1 , λ1 , µ1 ), S(ε2 , λ2 , µ2 )) ≤ k1 |ε1 − ε2 | + k2 µ1 − µ2 + k3 λ1 − λ2 ,


Trong chương này, ta nghiên cứu tính liên tục H¨older của ánh xạ nghiệm bài
toán cân bằng véc tơ, bao gồm ánh xạ nghiệm chính xác và ánh xạ nghiệm xấp
xỉ. Ta cũng giả sử rằng tập nghiệm của các bài toán đang xét luôn khác rỗng
trong lân cận của điểm đang xét.

3.1

Tính liên tục H¨
older của nghiệm bài toán cân
bằng véc tơ

Xét X, Y là các không gian metric tuyến tính, Λ, M là các không gian metric
và A là tập con khác rỗng của X . Trong không gian Y có trang bị một nón thứ
tự C lồi, đóng, có đỉnh và phần trong khác rỗng. Xét K : Λ ⇒ A là ánh xạ đa
trị có giá trị lồi khác rỗng và f : A × A × M → Y là hàm giá trị véc tơ. Với mỗi
(λ, µ) ∈ Λ × M , ta xét bài toán cân bằng véc tơ phụ thuộc tham số và bài toán

đối ngẫu của nó như sau:
(SVEP) Tìm x¯ ∈ K(λ) sao cho với mọi y ∈ K(λ) thì f (¯
x, y, µ) ∈ C.
(DSVEP) Tìm x¯ ∈ K(λ) sao cho với mọi y ∈ K(λ) thì f (y, x¯, µ) ∈ −C.
Ta ký hiệu các tập nghiệm của các bài toán (SVEP) và (DSVEP) lần lượt là
Π(λ, µ) và Πd (λ, µ).

9


Định nghĩa 3.1.1 Một ánh xạ g : X → Y được gọi là C -l.α-H¨older đối với
e ∈ intC tại x¯ nếu tồn tại một lân cận U của x¯ sao cho với mọi x1 , x2 ∈ U thì,
g(x1 ) − g(x2 ) + ldα (x1 , x2 )e ∈ C.

(iv) f là C -n.γ -H¨older đối với e trên U , θ-đều trên K(N ) với θ < β .
Khi đó, trên N × U , ánh xạ nghiệm của (SVEP) là đơn trị và thỏa mãn điều
kiện H¨older sau đây: với mọi (λ1 , µ1 ), (λ2 , µ2 ) ∈ N × U thì,
ρ(Π(λ1 , µ1 ), Π(λ2 , µ2 )) ≤

4ml
h

1
β

n
d (λ1 , λ2 ) +
h
α
β

1
β−θ

γ

d β−θ (µ1 , µ2 ).

Chuyển sang bài toán (DSVEP), ta cũng có kết quả sau.
Định lý 3.1.2 Giả sử rằng các giả thiết (i), (iv) và (iii) giống như trong Định
lý 3.1.1 với f được thay thế bởi −f và điều chỉnh giả thiết (ii) như sau:
(iid ) tồn tại một lân cận U của µ¯ sao cho với mọi x ∈ K(N ) và µ ∈ U , f (·, x, µ)
là h.β -lõm mạnh và C -m.1-H¨older đối với e trên conv(K(N )).
Khi đó, ta có kết luận tương tự như trong Định lý 3.1.1 cho ánh nghiệm Πd của

(id ) tồn tại một lân cận U của µ¯ sao cho với mọi x ∈ K và µ ∈ U , f (·, x, µ) là
h.β -giống lõm mạnh đối với e trên K .

Khi đó, trên U , ánh xạ nghiệm của (DSVEP) là đơn trị và thỏa mãn điều kiện
H¨
older tương tự như trong Định lý 3.1.3.

3.2

Nghiên cứu tính liên tục H¨
older của ánh xạ
nghiệm xấp xỉ bài toán cân bằng véc tơ yếu
bằng phương pháp vô hướng hóa

Xét X, Λ, M là các không gian định chuẩn, A ⊆ X là tập con khác rỗng. Xét
Y là không gian định chuẩn tuyến tính và Y ∗ là không gian đối ngẫu của nó,
C ⊂ Y là một nón lồi, đóng, có đỉnh và intC = ∅. Ánh xạ đa trị K : Λ ⇒ A có

giá trị lồi, đóng, khác rỗng và f : A × A × M → Y là một hàm có giá trị véc tơ.
Với mỗi (λ, µ) ∈ Λ × M , ta xét bài toán cân bằng véc tơ yếu như sau:
(WEP): Tìm x¯ ∈ K(λ) sao cho với mọi y ∈ K(λ) thì f (¯
x, y, µ) ∈
/ −intC.
Với mỗi (λ, µ) ∈ Λ × M , ε ≥ 0 và e ∈ intC , ta kí hiệu
Π(ε, λ, µ) = {x ∈ K(λ) : f (x, y, µ) + εe ∈
/ −intC, ∀y ∈ K(λ)}.

Xét C ∗ = {ξ ∈ Y ∗ : ξ(y) ≥ 0, ∀y ∈ C} là nón đối ngẫu của C . Với mỗi e ∈ intC
cho trước thì Be∗ = {ξ ∈ C ∗ : ξ(e) = 1} là một cơ sở comapact yếu∗ của C ∗ .
Với mỗi ξ ∈ Be∗ , ta ký hiệu

¯ của ξ¯, N ¯(λ0 ) của λ0
Khi đó, với mọi ε¯ > 0 và ξ¯ ∈ Be∗ thì tồn tại các lân cận N (ξ)
ξ

và Nξ¯(µ0 ) của µ0 sao cho Πξ (·, ·, ·) liên tục H¨
older trên [¯
ε, +∞) × Nξ¯(λ0 ) × Nξ¯(µ0 ),
tức là,
H(Πξ (ε1 , λ1 , µ1 ), Πξ (ε2 , λ2 , µ2 )) ≤ k1 |ε1 − ε2 | + k2 ||µ1 − µ2 ||β + k3 ||λ1 − λ2 ||αδ ,
¯ (εi , λi , µi ) ∈ [¯
với ξ ∈ N (ξ),
ε, +∞) × Nξ¯(λ0 ) × Nξ¯(µ0 ), i = 1, 2 và k1 , k2 , k3 là các số

dương phụ thuộc vào ε¯, l, α, h, β,...
Định lý 3.2.2 Xét (WEP), giả sử rằng với mỗi ξ ∈ Be∗ thì ξ -nghiệm hữu hiệu
tồn tại trong một lân cận của điểm đang xét (λ0 , µ0 ) ∈ Λ × M . Giả sử thêm rằng
(i) K là l.α-H¨older tại λ0 , tức là, tồn tại một lân cận U của λ0 sao cho với
mọi λ1 , λ2 ∈ U ,
K(λ1 ) ⊆ K(λ2 ) + l λ1 − λ2

α

B(0, 1);

(ii) tồn tại một lân cận V của µ0 sao cho với mọi y ∈ K(U ) và µ ∈ V thì
f (·, y, µ) là C -lõm trên K(U );

(iii) với mọi x, y ∈ K(U ) thì f (x, y, ·) là h.β -H¨
older trên V ;
(iv) với mỗi µ ∈ V và x ∈ K(U ) thì f (x, ·, µ) là C -lồi và q.δ -H¨

(WVEP)
(SVEP)

3.3.1

Tìm x¯ ∈ K(λ) sao cho với mọi y ∈ K(λ) thì f (¯
x, y, µ) ∈ C.

Tính lồi, lõm giảm nhẹ của hàm véc tơ

Ta ký hiệu [a, b] = {x ∈ Y | x ∈ (b − C) ∩ (a + C)} và ∆ = [−ζ, 0] ⊂ Y là một tập
con cho trước.
Định nghĩa 3.3.1 Một ánh xạ f : X → Y được gọi là C -lõm tổng quát trên
tập con lồi A ⊆ X nếu, với mọi x1 , x2 ∈ A, t ∈ [0, 1], và f (x2 ) ∈ C thì,
f (tx1 + (1 − t)x2 ) ∈ tf (x1 ) + C.

Mệnh đề 3.3.1 Nếu f là C -lõm trên tập con lồi A thì f là C -lõm tổng quát
trên A.

14


Định nghĩa 3.3.2 Một ánh xạ f : X → Y được gọi là ∆-lõm loại 1 trên tập
con lồi A ⊆ X nếu với mọi x1 , x2 ∈ A, t ∈ [0, 1] và z ∈ ∆ thì
[f (x1 ) ∈ z + C, f (x2 ) ∈ C] ⇒ [f (tx1 + (1 − t)x2 ) ∈ tz + C],

(3.1)

và f được gọi là ∆-lõm loại 2 trên tập con lồi A nếu (3.1) được thay bởi
[f (x1 ) ∈

α

B(0, 1);

(ii) tồn tại một lân cận V của µ0 sao cho với mỗi (y, µ) ∈ K(U ) × V thì f (·, y, µ)
là ∆-lõm loại 2 trên K(U );
(iii) với mọi x, y ∈ K(U ) thì f (x, y, ·) là h.β -H¨
older đối với e trên V ;
(iv) với mỗi µ ∈ V và x ∈ K(U ) thì f (x, ·, µ) là q.δ -H¨
older đối với e trên K(U ).
15


Khi đó, với mọi εˆ ∈ (0, ε¯) thì Πw là liên tục H¨
older trên (ˆ
ε, ε¯) × U × V .
Định lý 3.3.2 Xét bài toán (SVEP) và giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa
mãn:
(i) K là l.α-H¨older tại λ0 , tức là tồn tại một lân cận U của λ0 sao cho với mọi
λ1 , λ2 ∈ U thì
K(λ1 ) ⊆ K(λ2 ) + l λ1 − λ2

α

B(0, 1);

(ii) tồn tại một lân cận V của µ0 sao cho với mỗi (y, µ) ∈ K(U ) × V thì f (·, y, µ)
là ∆-lõm loại 1 trên K(U );
(iii) với mọi x, y ∈ K(U ) thì f (x, y, ·) là h.β -H¨
older đối với e in V ;

Chương 4
Tính đặt chỉnh H¨
older của bài toán
cân bằng
Trong chương này, ta trình bày tính đặt chỉnh H¨older của bài toán vô
hướng và mở rộng ra cho bài toán tựa cân bằng véc tơ. Ta giả sử rằng tập
nghiệm của các bài toán luôn khác rỗng trong lân cận của điểm đang xét.

4.1

Tính đặt chỉnh H¨
older của bài toán cân bằng
vô hướng

Xét X, Λ, M là các không gian metric. Ánh xạ đa trị K : Λ ⇒ X có
giá trị khác rỗng và f : X × X × M → R là hàm giá trị thực. Với mỗi

(λ, µ) ∈ Λ × M , ta xét bài toán cân bằng phụ thuộc tham số sau đây:
(EP) Tìm x¯ ∈ K(λ) sao cho với mọi y ∈ K(λ) thì f (¯
x, y, µ) ≥ 0.
Với ε ≥ 0 và (λ, µ) ∈ Λ × M , ta ký hiệu tập nghiệm xấp xỉ của bài
toán (EP) là S(ε, λ, µ).
Định nghĩa 4.1.1 Bài toán (EP) được gọi là đặt chỉnh H¨older tại điểm
¯ µ
(λ,
¯) nếu hai điều kiện sau đây được thỏa mãn:

¯ µ
(i) S(0, λ,
¯) là tập đơn phần tử;

K(U (λ))
¯;
¯ và µ ∈ V (¯
(ii) với mọi x ∈ K(U (λ))
µ) thì f (x, ·, µ) là n2 .δ2 -H¨older trên
¯ ;
K(U (λ))
¯ ;
(iii) f (·, ·, µ
¯) thỏa điều kiện (M) trên K(U (λ))
¯ trên U (λ)
¯ .
(iv) K là l.α-H¨older calm tại λ
¯ µ
Khi đó, bài toán (EP) đặt chỉnh H¨
older tại (λ,
¯).

4.2

Tính đặt chỉnh H¨
older của bài toán tựa cân
bằng véc tơ

Xét X, Λ, M là các không gian metric và Y là một không gian định
chuẩn. Cho ∅ = A ⊆ X và C ⊆ Y là một nón lồi, đóng, có đỉnh với phần
trong khác rỗng. Xét f : A × A × M → Y và K : A × Λ ⇒ A có giá trị
khác rỗng. Xét hai bài toán tựa cân bằng yếu và mạnh sau đây:

(WQEP) Tìm x¯ ∈ K(¯

¯) nếu hai điều kiện sau đây được thỏa mãn:
w
¯ µ
¯ µ
(i) SQ
(0, λ,
¯)/hoặc SQs (0, λ,
¯) là tập đơn phần tử ;
w
s
¯ µ
(ii) SQ
/hoặc SQ
liên tục H¨older calm tại (0, λ,
¯).

Xét hai giả thiết:

¯ µ
(W) Với h > 0, β ≥ 1 và điểm đang xét (λ,
¯) ∈ Λ × M , tồn tại các lân
¯ của λ
¯ , V (¯
¯ ,
cận U (λ)
µ) của µ
¯ sao cho ∀µ ∈ V (¯
µ) và x = y trên E U (λ)
hdβ (x, y) ≤ d(f (x, y, µ
¯), Y \ −intC) + d(f (y, x, µ

¯).
Định lý 4.2.2 Giả sử rằng các giả thiết (i), (iii) và (iv) giống như trong
Định lý 4.2.1 và giả thiết (S) được thay bằng giả thiết (W). Khi đó, bài
¯ µ
toán (WVEP) đặt chỉnh H¨older tại điểm (λ,
¯).
19


4.3

Áp dụng

4.3.1

Bài toán bất đẳng thức tựa biến phân

Cho X, Y, Λ, M là các không gian định chuẩn, X ∗ là không gian đối
ngẫu của X . Cho A ⊆ X là một tập con khác rỗng và C ⊆ Y là một nón
lồi, đóng, có đỉnh với phần trong khác rỗng. Xét T : A × M → X ∗ và

K : A × Λ ⇒ A có giá trị khác rỗng. Với mỗi (λ, µ) ∈ Λ × M , ta xét các
bài toán bất đẳng thức tựa biến phân véc tơ mạnh và yếu sau đây:
(SQVI): Tìm x
¯ ∈ K(¯
x, λ) sao cho với mọi y ∈ K(¯
x, λ) thì

T (¯
x, µ), y − x¯ ∈ C.

µ) của µ
¯ sao cho với mỗi
¯ µ ∈ V (¯
x ∈ E(U (λ)),
µ) thì T (x, ·) là n3 .δ3 -H¨older calm tại µ
¯, và
¯ , T (·, µ) bị chặn, tức là tồn tại các số ρ và M sao cho ∀x ∈
E(U (λ))
¯
E(U (λ)),
x ≤ ρ và T (x, µ) ≤ M;
20


¯ : x = y thì
(b) với mọi x, y ∈ E(U (λ))
h1 dβ1 (x, y) ≤ d(T (x, µ
¯), y − x , C) + d(T (y, µ
¯), x − y , C);
¯ và x ∈ E(U (λ))
¯ , K(·, λ) là l3 .α3 -H¨older trên
(c) với mọi λ ∈ U (λ)
¯ và K(x, ·) là l4 .α4 -H¨older calm tại λ;
¯
E(U (λ))
(d) α3 = β1 và h1 > 2Ml3 .

¯ µ
Khi đó, bài toán (SQVI) đặt chỉnh H¨
older ứng với e tại (λ,

¯ : x = y thì
(b”): với mọi x, y ∈ E(U (λ))
h1 dβ1 (x, y) ≤ d(T (x, µ
¯), y − x , R+ ) + d(T (y, µ
¯), x − y , R+ );
¯ µ
Khi đó, bài toán (QVI) đặt chỉnh H¨
older tại (λ,
¯).
21


4.3.2

Bài toán mạng giao thông

Kí hiệu N là tập hợp các nút, L là những liên kết và W = (W1 , ..., Wl )
là tập hợp những cặp đầu - cuối. Giả sử rằng Wj , j = 1, ..., l được nối với
nhau bởi một tập Pj các hành trình và Pj chứa rj , rj ≥ 1 hành trình. Đặt

F = (F1 , ..., Fm ) là dòng véc tơ đường dẫn, với m = r1 + ... + rl . Giả sử
khả năng ràng buộc là

F ∈ A := {F ∈ Rm : 0 ≤ γs ≤ Fs ≤ Γs , s = 1, ..., m},
với γs và Γs là những số thực cho trước.
Giả sử thêm rằng chi phí giao thông trên đường Fs , s = 1, .., m, phụ
thuộc vào tất cả véc tơ dòng F , là Ts (F ) ≥ 0. Khi đó véc tơ chi phí đường
đi là

T (F ) = (T1 (F ), ..., Tm (F )).

(TNP) Tìm H ∈ K(H, λ) sao cho ∀F ∈ K(H, λ) thì

T (H, µ), F − H ≥ 0.
Bổ đề 4.3.2

(a) Nếu với mọi λ ∈ Λ, g(·, λ) là L1 .α1 -H¨
older tại x
¯ thì thì

tồn tại số l1 sao cho K(·, λ) là l1 .α1 -H¨
older tại x
¯.

¯ thì tồn tại số
(b) Nếu với mọi x ∈ A, g(x, ·) là L2 .α2 -H¨
older calm tại λ
¯.
l2 sao cho K(x, ·) là l2 .α2 -H¨older calm tại λ
Định nghĩa 4.3.2 Bài toán (TNP) được gọi là đặt chỉnh H¨older tại điểm
¯ µ
(λ,
¯) nếu hai điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(i) Tập nghiệm của (TNP) là tập đơn phần tử.

¯ µ
(ii) Ánh xạ nghiệm của (TNP) liên tục H¨older calm tại (0, λ,
¯).
Hệ quả 4.3.4 Giả sử các điều kiện (a), (b) và (d) trong Hệ quả 4.3.3 được
thỏa mãn và giả thiết (c) được thay thế bởi giả thiết: