TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

LƯU THỊ HỒNG THÙY

TÍNH NỬA LIÊN TỤC DƯỚI CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ MẠNH
SUY RỘNG CÓ THAM SỐ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích

Người hướng dẫn khóa luận

TS. Nguyễn Văn Tuyên

HÀ NỘI, 2016


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy Nguyễn Văn Tuyên,
thầy đã truyền thụ kiến thức, tận tình giúp đỡ, hướng dẫn em trong suốt quá
trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện khóa luận này.
Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, các thầy cô giáo khoa Toán đã giúp đỡ em trong quá trình học tập
tại trường và tạo điều kiện cho em để hoàn thành khóa luận này. Trong quá
trình nghiên cứu, không tránh khỏi nhưng sai sót và hạn chế. Em kính mong
nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và toàn thể bạn đọc
để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 4 năm 2016



1.1.1. Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3. Nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Bài toán tối ưu véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1. Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . .

9

1.2.2. Điểm hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.3. Sự tồn tại của điểm hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.4.



Lời mở đầu
Bài toán cân bằng véctơ là mô hình thống nhất của một số bài toán,
chẳng hạn như, bài toán tối ưu véctơ, bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ,
bài toán bù véctơ và bài toán điểm yên ngựa véctơ (xem [6, 7] và các tài liệu
được trích dẫn trong đó). Nghiên cứu tính ổn định của ánh xạ nghiệm của
bài toán cân bằng véctơ là một chủ đề quan trọng trong Lý thuyết tối ưu
véctơ. Gần đây, tính nửa liên tục, đặc biệt là tính nửa liên tục dưới của ánh
xạ nghiệm của bài toán tối ưu có tham số, bất đẳng thức biến phân véctơ có
tham số và bài toán cân bằng véctơ có tham số đã thu hút sự quan tâm của
nhiều nhà toán học (xem [3, 5, 8, 10, 12, 14]).
Kỹ thuật vô hướng hóa là một phương pháp tiếp cận hữu hiệu để nghiên
cứu tính nửa liên tục dưới và tính liên tục của ánh xạ nghiệm của các bất
đẳng thức biến phân véctơ có tham số và các bài toán cân bằng véctơ có
tham số. Sử dụng phương pháp vô hướng hóa, Cheng và Zhu [3] đã nghiên
cứu tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm của
bất đẳng thức biến phân véctơ yếu có tham số trong không gian Euclide hữu
hạn chiều. Từ các ý tưởng của Cheng và Zhu [3], Gong [9] nghiên cứu tính
liên tục của ánh xạ nghiệm của bài toán cân bằng véctơ yếu có tham số. Dựa
trên phép biểu diễn vô hướng hóa của ánh xạ nghiệm và tính chất hợp của
một họ ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới, Cheng và các đồng nghiệp [4] đã thiết
lập tính nửa liên tục dưới và tính liên tục của ánh xạ nghiệm của bài toán
cân bằng véctơ suy rộng có tham số bằng một chứng minh mới khác với [9].
Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi, có rất ít kết quả về tính liên
tục của ánh xạ nghiệm của bài toán cân bằng véctơ mạnh có tham số. Trong
[8], bằng cách sử dụng một kết quả về tính trù mật và phương pháp vô hướng

1



Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1.

Một số kiến thức cơ bản về Giải tích lồi

1.1.1.

Tập lồi

Khái niệm tập lồi là khái niệm quan trọng trong lý thuyết tối ưu. Tập
lồi là tập mà khi lấy 2 điểm bất kì của tập thì đoạn thẳng nối 2 điểm đó cũng
nằm trong tập đó.
Định nghĩa 1.1. Tập X ⊂ Rn được gọi là tập lồi nếu với mọi x1 , x2 ∈ X và
với mọi λ ∈ [0, 1] thì (1 − λ)x1 + λx2 ∈ X.
Bổ đề 1.1. Cho I là tập chỉ số bất kì. Nếu các tập Xi ⊂ Rn (i ∈ I), là các
tập lồi thì tập X =

Xi là tập lồi.
i∈I

Chứng minh. Xét 2 trường hợp sau:
Xi = ∅ thì X là tập lồi tầm thường.

+Nếu X =
i∈I

Xi = ∅, ta có: ∀x, y ∈


x = λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λm xm
và
λ1 + λ2 + ... + λm = 1.
Định nghĩa 1.3. Bao lồi của X (kí hiệu: convX) là giao của tất cả các tập
lồi chứa X.
Bổ đề 1.3. Nếu X ⊂ Rn là tập lồi thì khi đó int X và X cũng là các tập lồi.

4


Chứng minh. Cho B là một hình cầu đơn vị. Nếu x1 ∈ int X, x2 ∈ int X,
khi đó, ta có thể tìm ε > 0 sao cho x1 + εB ⊂ X và x2 + εB ⊂ X. Do đó,
(1 − λ)x1 + λx2 + εB ⊂ X với λ ∈ [0, 1]. Vì vậy, (1 − λ)x1 + λx2 ∈ int X. Vậy
int X là tập lồi.
Để chứng minh phần 2 của bổ đề, ta cho xk → x và y k → y với xk ∈ X
và y k ∈ X. Khi đó, dãy của các điểm: (1 − λ)xk + λy k được chứa trong X và
hội tụ tới (1 − λ)x + λy ∈ X. Vậy X là tập lồi.

1.1.2.

Hàm lồi

Định nghĩa 1.4. Cho f : Ω → R là một hàm số thực mở rộng trên tập lồi
Ω ⊂ Rn :
(i)

Hàm f được gọi là hàm lồi nếu:
f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y), ∀x, y ∈ Ω, ∀λ ∈ [0, 1].

(ii)

(1 − λ)f (x) + λf (y). Vậy ta được f là hàm lồi
Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Jensen). Cho f : Rn → R. Hàm f là lồi khi và
chỉ khi với mọi λ1 , λ2 , ..., λm ≥ 0;

m
i=1 λi

m

f

= 1; ∀x1 , x2 , ..., xm ∈ Rn . Ta có:
m

λi xi

≤

i=1

λi f (xi ).

(1.1)

i=1

Chứng minh. Giả sử f lồi, ta chứng minh (1.1) bằng quy nạp theo m.
Dễ dàng thấy rằng, (1.1) đúng với m = 1, m = 2.
Giả sử (1.1) đúng đến m = k ≥ 2, ta phải chứng minh (1.1) đúng với
m = k + 1. Với λ1 , λ2 , ..., λk+1 ≥ 0;

=f

λk+1 xk+1 +

i=1

i=1
k

=f

λi xi

λk+1 xk+1 + (1 − λk+1 )
i=1

λi
xi
1 − λk+1
k

≤ λk+1 f (xk+1 ) + (1 − λk+1 )f
i=1
k

≤ λk+1 f (xk+1 ) + (1 − λk+1 )
i=1

λi
xi


C được gọi là nón đúng nếu cl(C) + C\l(C) ⊆ C, hoặc tương đương
cl(C) + C\l(C) ⊆ C\l(C).

Ví dụ 1.2. Trong không gian Rn , cho
C = Rn+ = {x ∈ Rn | xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n}.
7


Khi đó, C là một nón lồi.
Thật vậy, với mọi x ∈ C thì xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n và với mọi α > 0 ta
có: αx = (αx1 , αx2 , ..., αxn ), αxi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n. Do đó αx ∈ C, vậy C là
một nón.
Mặt khác, với mọi x, y ∈ C, mọi α > 0 thì αxi ≥ 0, αyi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n và
với mọi λ ∈ [0, 1] ta có (1−λ)x+λy = ((1−λ)x1 +λy1 , ..., (1−λ)xn +λyn ) ∈ C,
nên C là một tập lồi. Vậy C là một nón lồi.
Bổ đề 1.4. Cho C là một nón lồi. Khi đó, nếu x1 ∈ C, x2 ∈ C, ..., xm ∈ C và
α1 > 0, α2 > 0, ..., αm > 0 thì α1 x1 + α2 x2 + ... + αm xm ∈ C.
Chứng minh. Bằng tính lồi, ta có:
α1 x1 + α2 x2 + ... + αm xm
∈ C.
α1 + α2 + ... + αm
Ta có thể nhân vế trái với α1 + α2 + ... + αm và vì C là nón nên α1 x1 + α2 x2 +
... + αm xm ∈ C. Ta có điều phải chứng minh.
Định nghĩa 1.9. Tập cone (X) = {αx | x ∈ X, α ≥ 0} được gọi là nón sinh
bởi tập X.
Bổ đề 1.5. Nếu X là tập lồi thì cone (X) là một tập lồi.
Định nghĩa 1.10. Cho x ⊂ Rn , tập CX (x) = cone (X − x) được gọi là nón
các phương chấp nhận được của X tại x.
Định nghĩa 1.11. Cho X ⊂ Rn là một tập lồi. Tập

E, x = y;
(v) Tuyến tính trong trường hợp E là không gian véctơ thực nếu (x, y) ∈ B
suy ra (tx + z, ty + z) ∈ B với mọi x, y, z ∈ E, t > 0;
(vi) Đóng trong trường hợp E là không gian véctơ tôpô, nếu nó là đóng như
một tập con của không gian tích E × E.
Để làm rõ định nghĩa này, chúng ta xét một số ví dụ cổ điển sau. Cho
E là một cộng đồng dân cư của một thành phố và chúng ta định nghĩa quan
hệ hai ngôi như sau (số dân cư được gán bởi x, y, z,...)
9


1. (x, y) ∈ B1 nếu x, y là những người tuổi cao hoặc có tuổi.
2. (x, y) ∈ B2 nếu x, y là hai giới tính khác nhau.
3. (x, y) ∈ B3 nếu x, y là những người có họ.
Ta thấy rằng B1 là phản xạ, bắc cầu, không đối xứng, đầy đủ. B2 không
phản xạ, đối xứng, không bắc cầu, không đầy đủ. B3 là phản xạ, không bắc
cầu, đối xứng, không đầy đủ.
Định nghĩa 1.15. Quan hệ hai ngôi là một quan hệ thứ tự nếu nó là phản
xạ, bắc cầu.
Thật vậy, nếu B là một quan hệ thứ tự mà là tuyến tính trong một
không gian véctơ thì tập
C = {x ∈ E : (x, 0) ∈ B}
là một nón lồi. Hơn nữa, nếu B là không đối xứng thì C là nhọn. Ngược lại,
mỗi nón lồi trong E cho một quan hệ hai ngôi
BC = {(x, y) ∈ E × E : x − y ∈ C}
là phản xạ, bắc cầu và tuyến tính. Ngoài ra, nếu C là nhọn thì BC là không
đối xứng. Bây giờ, chúng ta sẽ xét một vài thứ tự sinh ra bởi các nón lồi. Đôi
khi chúng ta viết: x

C

yi với i = 1,..., n;
10


x >C y khi và chỉ khi xi

yi với i = 1,..., n và ít nhất một bất đẳng

thức là ngặt;
x

1.2.2.

C

y khi và chỉ khi xi > yi với mọi i = 1,..., n.

Điểm hữu hiệu

Cho E là không gian véctơ tôpô thực với quan hệ thứ tự ( ) được sinh
bởi một nón lồi C.
Định nghĩa 1.16. Cho A là một tập con khác rỗng của E. Ta nói rằng:
(i) x ∈ A là một điểm hữu hiệu lí tưởng (hoặc cực tiểu lí tưởng) của A tương
ứng với C nếu y

x, ∀y ∈ A;

Tập các điểm cực tiểu lí tưởng của A được kí hiệu là IM in (A | C).
(ii) x ∈ A là điểm hữu hiệu (cực tiểu-Pareto hoặc cực tiểu) của A tương ứng
với C nếu x

W M in(A) = M in(A) ∪ {(x, y) : y = −1, x

0}.

Bây giờ cho C = (R1 , 0) ⊆ R2 . Ta có :
IM in(B) = ∅,
P rM in(B) = M in(B) = W M in(B) = B,
IM in(A) = ∅,
P rM in(A) = M in(A) = W M in(A) = A.
Từ định nghĩa của các điểm hữu hiệu, ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.1. Cho A ⊆ E thì :
(i) x ∈ IM in(A) khi và chỉ khi x ∈ A và A ⊆ x + C;
(ii) x ∈ IM in(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − C) ⊆ x+ l(C) hoặc tương đương:
∃y ∈ A sao cho x > y. Đặc biệt khi C là nhọn, x ∈ M in(A) khi và chỉ khi
A ∩ (x − C) = {x};
(iii) Khi C = E, x ∈ W M in(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − int C) = ∅ hoặc tương
đương với ∃y ∈ A sao cho x

y.

Mệnh đề 1.2. Cho tập khác rỗng A ⊆ E có:
P rM in(A) ⊆ M in(A) ⊆ W M in(A).
Hơn nữa, nếu IM in(A) = ∅ thì IM in(A) = M in(A) và nó là tập một
điểm khi C là nhọn.
Chứng minh. Lấy x ∈ P rM in(A). Nếu x ∈ M in(A) có y ∈ A và x − y ∈
C\l(C). Lấy nón lồi K, K = E với int K ⊆ C\l(C) và x ∈ M in(A | K). Thì
x − y ∈ int K ⊆ K\l(K). Điều này mâu thuẫn với x ∈ M in(A | K) suy ra
P rM in(A) ⊆ M in(A).
12




1.2.3.

Sự tồn tại của điểm hữu hiệu

Định nghĩa 1.18. Cho lưới {xα : α ∈ I} từ E được gọi là lưới giảm
(tương ứng với C) nếu xα >C xβ với α, β ∈ I, β > α.
Định nghĩa 1.19. Cho A ⊆ E được gọi là C- đầy đủ (tương ứng C- đầy
đủ mạnh) nếu nó không có phủ dạng {(xα − cl(C))c : α ∈ I} (tương ứng
{(xα − C)c : α ∈ I}) với {xα } là một lưới giảm trong A.
Định lý 1.3. Giả sử C là một nón lồi đúng và A là một tập khác rỗng trong
E. Thì M in(A | C) = ∅ khi và chỉ khi A có một nhát cắt C- đầy đủ và khác
rỗng.
Chứng minh. Nếu M in(A | C) = ∅ thì mọi điểm của tập này cho ta một nhát
cắt C- đầy đủ vì không tồn tại lưới giảm. Ngược lại, cho Ax khác rỗng là
một nhát cắt C- đầy đủ của A. Theo Mệnh đề 1.3 thì ta chỉ cần chứng minh
M in(Ax | C) = ∅. Xét tập P bao gồm tất cả các lưới giảm trong A. Vì A = ∅
suy ra P = ∅. Với a, b ∈ P ta viết a

b nếu b ⊆ a. Rõ ràng ( ) là quan hệ

thứ tự trong P , và một xích bất kì trong P đều có cận trên. Thật vậy, giả sử
{aλ ; λ ∈ Λ} là một xích trong P . Gọi B là tập tất cả các tập con hữu hạn B
của Λ được sắp thứ tự bởi bao hàm và đặt
aB = ∪ {aα : α ∈ B} .
Và
ao = ∪ {aB : B ∈ B} .
Thì ao là một phần tử của P và ao


Các phần tử của M in(F (x)|C) được gọi là giá trị tối ưu của (VOP). Tập các
điểm hữu hiệu của (VOP) được kí hiệu là S(X, F ). Thay thế IM in, P rM in,
W M in cho M in(F (X) | C) chúng ta có các khái niệm IS(X, F ), P rS(X, F )
và W S(X, F ).
Quan hệ giữa các điểm hữu hiệu, hữu hiệu thực sự và hữu hiệu yếu của
VOP được trình bày trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.4. Cho (VOP), chúng ta có các bao hàm thức sau:
P rS(X, F ) ⊆ S(X, F ) ⊆ W S(X, F ).
Hơn nữa, nếu IS(X, F ) = ∅ thì IS(X, F ) = S(X, F ).
Chứng minh tương tự Mệnh đề 1.2
15


Bổ đề 1.6. Giả sử C là lồi, X là tập compact khác rỗng và F là C- liên tục
trên trong X với F (x) + C là C-đầy đủ, đóng với mọi x ∈ X thì F (X) là
C-đầy đủ.
Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng F (X) không là C-đầy đủ. Điều này có
nghĩa là có một lưới giảm {aα : α ∈ I} của F (X) sao cho
{(aα − cl(C))c : α ∈ I}
là phủ của F (X). Lấy xα ∈ X với aα ∈ F (xα ). Không mất tính tổng quát,
giả sử lim xα = x ∈ X. Khi đó, với mỗi lân cận V của F (x) trong E có một
chỉ số β ∈ I sao cho
aα ∈ V + C, ∀α

β.

aα ∈ aδ + C, ∀δ

α.


là nón đối ngẫu của C. Kí hiệu tựa phần trong (quasi-interior) của C ∗ là C ,
được xác định như sau:
C := {f ∈ Y ∗ : f (y) > 0, ∀y ∈ C\{0Y }}.
17


Cho D là một tập con khác rỗng của Y . Bao nón của D, kí hiệu là cone (D),
được định nghĩa như sau:
cone (D) = {td : t ≥ 0, d ∈ D}.
Kí hiệu bao đóng của D là cl(D). Một tập con M lồi khác rỗng của nón lồi
C gọi là cơ sở của C nếu C = cone (M ) và 0 ∈
/ cl(M ). Dễ dàng thấy rằng
C = ∅ khi và chỉ khi C có một cơ sở.
Cho tập A ⊂ X, A = ∅ và cho ánh xạ F : A × A → 2Y \{∅}. Xét bài
toán cân bằng véctơ mạnh suy rộng:
(GSVEP) tìm x ∈ A sao cho F (x, y) ∩ (−C\{0Y }) = ∅, ∀y ∈ A.

(2.1)

Một điểm x thỏa mãn điều kiện (2.1) được gọi là một nghiệm hữu hiệu của bài
toán (GSVEP). Tập nghiệm hữu hiệu của (GSVEP) được kí hiệu là S(A, F ).
Sự tồn tại nghiệm của lớp bài toán này đã được nghiên cứu trong [6]
và các tài liệu được trích dẫn trong đó.
Khi tập A và ánh xạ F được nhiễu bởi tham số µ lấy giá trị trên tập
Λ ⊂ Z, chúng ta xét bài toán cân bằng véctơ mạnh suy rộng có tham số sau:
(PGSVEP) tìm x ∈ A(µ) sao cho F (x, y, µ) ∩ (−C\{0Y }) = ∅, ∀y ∈ A(µ),
trong đó A : Λ → 2X \{∅} là một ánh xạ đa trị, F : B ×B ×Λ ⊂ X ×X ×Z →
2Y \{∅} là ánh xạ đa trị với A(Λ) =

µ∈Λ A(µ)

inf
z∈F (x,y,µ)

và Sf kí hiệu cho tập nghiệm f -hữu hiệu của bài toán cân bằng véctơ mạnh
suy rộng (GSVEP):
Sf = {x ∈ A :

f (z) ≥ 0, ∀y ∈ A}.

inf
z∈F (x,y)

Một véctơ x ∈ A gọi là nghiệm hữu hiệu thực sự dương (positive proper
efficient solution) của (GSVEP) nếu tồn tại f ∈ C sao cho inf z∈F (x,y) f (z) ≥
0, ∀y ∈ A.
Trong chương này, chúng ta luôn giả sử rằng Sf (µ) = ∅ với mọi f ∈
C ∗ \{0} và µ ∈ Λ. Bằng cách sử dụng phương pháp vô hướng hóa, chúng tôi
sẽ thiết lập một số điều kiện đủ cho tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm
S(·). Trước hết, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản được sử dụng
trong chương này.
Cho µ ∈ Λ và x ∈ A(µ). Định nghĩa F (x, A(µ), µ) :=

y∈A(µ) F (x, y, µ).
Ω

Giả sử W và Ω là các không gian tôpô Hausdorff thực và G : W → 2 là một
ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng và cho ω
¯ ∈ W.
19


(ii)

Nếu G có giá trị compact (nghĩa là, G(w) là một tập compact với mỗi

w ∈ W ), thì G là u.s.c tại w¯ khi và chỉ khi với mọi lưới {wα } ⊂ W với
wα → w¯ và mọi xα ∈ G(wα ), tồn tại x¯ ∈ G(w)
¯ và một lưới con {xβ } của
{xα } sao cho xβ → x¯.
Định nghĩa 2.2. (xem [11])
(i)

Ánh xạ đa trị F : A × A → 2Y được gọi là C- đơn điệu trên A × A, khi

và chỉ khi F (x, y) + F (y, x) ⊆ −C.
(ii) Ánh xạ đa trị F : A × A → 2Y được gọi là C- đơn điệu chặt trên A × A,
khi và chỉ khi F là một C− ánh xạ trên A × A và với mọi x, y với x = y,
F (x, y) + F (y, x) ⊆ −int C.
(iii) Ánh xạ đa trị F : A × A → 2Y được gọi là C- giống lồi trên X khi và
chỉ khi F (X) + C là một tập lồi trong Y .
20