Sở GIáO DụC ĐàO TạO Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
Bắc Giang Lớp 12. Năm học 2004 2005
Ngày thi: 09 tháng 4 năm 2005
Môn Thi: Toán
Đề chính thức Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1: (4 điểm). Cho hàm số: y =
3
1
(m + 1)x
3
(2m +1)x
2
+ (m + 3)x +3 (m là tham số ).
1) (2 điểm) Xác định m để hàm số đồng biến trên [2 ; +).
2) (2 điểm) Cho m = 2. Hãy viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 4) với đồ thị hàm số
thu đợc.
Bài 2: (4 điểm). 1) (2 điểm) Giải hệ phơng trình:



=
=+
(2) )xx(y
(1) )yx(x
3
7
9
3
2
.
2) (2 điểm) Cho tam giác ABC thoả mãn: A< B < C.

1
B
1
C
1
D
1
có
A
1
(2; -1; 5); A(2; -1; 3); B(2; 1; 3); C(4; 1; 3); D(4; -1; 3) và đờng thẳng có phơng trình:
0
4
3
222
++





+=
=
+=
pnm,Rt,p,n,mvới
ptz
nty
mtx
.
Gọi khoảng cách từ các đỉnh của hình lập phơng tới đờng thẳng lần lợt là h

+++=
3
là nhỏ nhất.
Bài 5: (2 điểm). Cho f(x) = a
1
sinb
1
x + a
2
sinb
2
x + + a
n
sinb
n
x thoả mãn | f(x) | 1 với mọi
x [-1;1]. Chứng minh rằng | a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ + a
n
b
n
| 1.
________________________________________ Hết ______________________________________

.
2) (2 điểm) Tìm a để bất phơng trình sau có nghiệm:
log
2
(x
2
+ x +1) a(
2005
11 )xx
+
.
Bài 3: (4 điểm). 1) (2 điểm) Cho x, y, z thoả mãn:



=++
=++
6
0
222
zyx
zyx
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T = x
2
y+y
2
z+ z
2
x.

y
x
=

=
và hai điểm A(1; 1; 2) ; B(2; 2; 3).
Tìm điểm M trên đờng thẳng sao cho tổng MA+MB nhỏ nhất.
2) (2 điểm) Cho tứ diện ABCD có bốn đờng cao đồng quy tại một điểm H nằm trong
tứ diện. Hãy tìm điểm M ở trong tứ diện sao cho biểu thức:
f(M) = MA.S(BCD)+ MB.S(CDA)+ MC.S(DAB) +MD.S(ABC)
đạt giá trị nhỏ nhất. (ở đây ta ký hiệu S(XYZ) là diện tích tam giác XYZ.)
Bài 5: (2 điểm).
Cho x > 0. Chứng minh rằng:
( )
( )
xxx
)(loglog 2321
32
+>+
.
__________________________________________ Hết ____________________________________
Họ và tên thí sinh.....................................................................................
Số báo danh .............................................................................................
Đơn vị dự thi ............................................................................................
Sở GIáO DụC ĐàO TạO Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
Bắc Giang Lớp 9. Năm học 2004 2005
Ngày thi: 09 tháng 4 năm 2005
Môn Thi: Toán
Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (4 điểm).

1
++
+ +
222
2004
1
2003
1
1
1
++
+
222
2005
1
2004
1
1
1
++
.
là một số hữu tỉ.
Bài 2: (4 điểm). Cho phơng trình: 2x
2
+ 2(m + 2)x + m
2
+ 4m + 3 = 0. (1)
1) (2 điểm) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x
1
, x

=
=+
5y2mx
2myx
(với m là tham số).
a) Tìm số nguyên m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn: x > 0 và y < 0.
b) Tìm số nguyên m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y đều là số nguyên.
2) (2 điểm) Cho x, y, z 0 ; x + y + z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P với
222222
xzxzzyzyyxyxP
++++++++=
.
Bài 4: (6 điểm).
1) (4 điểm) Cho hai đờng tròn ( I ) và ( K ) cắt nhau tại A và B. Tia IA cắt đờng tròn ( K ) tại
điểm thứ hai là N, tia KA cắt đờng tròn ( I ) tại điểm thứ hai là M. Qua A kẻ đờng thẳng song song với
MN lần lợt cắt đờng tròn ( I ) và đờng tròn (K) tại điểm các điểm thứ hai là E và F.
a) Chứng minh 5 điểm I, M, N, K, B cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Chứng minh: BM + BN = EF.
2) (2 điểm) P là điểm nằm trong tam giác nhọn ABC. Gọi M, N, L lần lợt là chân các đờng
vuông góc hạ từ P xuống CA, AB, BC. Đặt f(P) = BL
2
+ CM
2
+ AN
2
. Hãy tìm vị trí của P sao cho f(P)
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5: (2 điểm). Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phơng trình:
33333
721 y)x(...)x()x(x




=++
=++
=++
1cba
1cba
1cba
333
222
. Tính giá trị của biểu thức: B = a
2003
+ b
2004
+ c
2005
.
Bài 2: (4 điểm). Cho phơng trình: x
2
( 2m + 1)x + m
2
2m 2 = 0. (1)
1) (2 điểm) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm. Gọi hai nghiệm đó là x
1
, x
2
.
Hãy lập một phơng trình bậc hai ẩn t có hai nghiệm là t
1

2
5
2
5
2
1111
dcbaa
d
d
c
c
b
b
a
++++++
.
2) (2 điểm) Cho hệ phơng trình:



=+
=+
4
104
myx
mymx
( với m là tham số).
a) Giải và biện luận hệ theo tham số m.
b) Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên dơng.
Bài 4: (6 điểm). 1) (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O). Tiếp tuyến với đờng tròn