VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I. CÁC ĐỊNH NGHĨA LIÊN QUAN ĐẾN VECTƠ

1. Khái niệm vectơ
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng

Ví dụ 1: Cho hình tứ diện ABCD. Chỉ ra các vectơ có điểm đầu A, điểm cuối là các đỉnh
còn lại của tứ diện. Các vectơ đó có cùng nằm trong một mặt phẳng không?

2. Giá của vectơ
Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

3. Hai vectơ cùng phương – cùng hướng
Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là hai vectơ cùng phương.
Nếu hai vectơ cùng phương có cùng hướng mũi tên thì gọi là hai vectơ cùng hướng.
Nếu cùng phương và ngược hướng mũi tên thì gọi là hai vectơ ngược hướng.

4. Độ dài vectơ
Độ dài vectơ là khoảng cách từ điểm đầu đến điểm cuối của vectơ đó.
Kí hiệu AB  AB .

5. Hai vectơ bằng nhau
Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.

Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.EFGH. Xét sự cùng phương, cùng hướng, ngược hướng
giữa các cặp vectơ: AB, HG , BD, HF , AB, BD , BD, EG .
Hãy kể tên các vectơ bằng với BC .

6. Vectơ-không
Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Kí hiệu 0 .
II. CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

Quy tắc hình hộp: AB  AD  AA '  AC

3. Tích của vectơ với một số
Định nghĩa: Tích của vectơ a và số k là một vectơ kí hiệu là k.a . Nếu k > 0 thì

k.a và a cùng hướng. Nếu k < 0 thì k.a và a ngược hướng. Độ dài k.a  k. a .
Quy ước: 0.a  k.0  0 .
Các tính chất: Cho hai vectơ a, b và mọi số h, k, ta có
k.(a  b)  k.a  k.b

(h  k).a  h.a  k.a

h.(k.a)  (hk).a

1.a  a,

 1 .a  a

Tính chất trung điểm: Nếu I là trung điểm AB và với điểm M bất kì thì
MA  MB  2MI

Tính chất trọng tâm: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA  GB  GC  0


Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các canh AD, BC
và G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng:
a) 2MN  AB  DC
b) AB  AC  AD  3AG .

III. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ