BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

PHẦN 8: CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG THỰC TIỄN
CHỦ ĐỀ 8: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Bài 1

Tính thể tích thùng chứa rượu là một hình tròn xoay có 2 đáy là hình tròn bằng nhau và chiều cao bình là 16cm . Đường cong c

Hướng dẫn giải:
Không mất tính tổng quát ta xem tâm của đường tròn là tâm O của gốc tọa độ, khi đó ta có
x 2 + y 2 = 81

phương trình là

, khi đó thể tích của bình là hình tròn xoay bị giới hạn bởi đường

y = 0; x = −8; x = 8

x 2 + y 2 = 81

tròn

và,
8

V =π ∫

−8

ABCD

Giả sử nền trại là hình chữ nhật

có

AB = 3

mét,

BC = 6

mét, đỉnh của parabol là

I

. Chọn hệ trục

 3  3 
A  − ;0 ÷, B  ;0 ÷, I ( 0;3 )
Oxy
 2  2 
O
AB
tọa độ
sao cho:
là trung điểm của cạnh
,
, phương trình của
y = ax + b ( a ≠ 0 )

Bài 3
Để trang trí cho một phòng trong một tòa nhà, người ta vẽ lên tường một hình như sau: trên mỗi cạnh của hình lục giác đều có

Hướng dẫn giải:
Giả sử ABCDEF là hình lục giác đều có cạnh bằng 2 dm, ta tính diện tích một cánh hoa: Chọn hệ trục tọa
độ Oxy sao cho O là trung điểm của cạnh

AB

A ( 1;0 ) , B ( −1;0 ) , I ( 0;3 )
,

y = ax 2 + b ( a ≠ 0 )
trình của parabol có dạng:

và đỉnh I của parabol. Phương

, Do
1

S1 =
diện tích mỗi cánh hoa là:

Vậy : Diện tích của hình là:

∫ ( −3 x

−1

2

Tính thể tích hình xuyến tạo thành do quay hình tròn (C): x2 + (y–2)2  1 quanh trục Ox.

Hướng dẫn giải:

( C)
Hình tròn

(
Ta có

I ( 0; 2 )
có tâm

, bán kính

R =1

x2 + ( y − 2) = 1
2

là

 y = 2 + 1 − x2
2
y − 1) = 1 − x 2 ( −1 ≤ x ≤ 1) ⇒ 
 y = 2 − 1 − x 2

Thể tích cần tính:
1


BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

Hướng dẫn giải:
Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là :
10

S = ∫ ( 3t 2 + 5 ) dt = 966m
4

Chọn đáp án D.

1380m
Hướng dẫn giải:
v ( t0 ) = 0

t0
Gọi

là thời điểm vật dừng lại . Ta có

t0 = 16
. Suy ra

16

S = ∫ ( 160 − 10t ) dt = 1280( m)
0



1
Q1 w
2
THPT LẠC HỒNG
Hướng dẫn giải:
i = i0 sin wt

t
Cường độ dòng điện tại thời điểm
π
6

Q1 = ∫ i0 sin wtdt =
0

là

i0
⇒ i0 = 2Q1w
2w

T=

2π
w

với
Chọn đáp án B.


t=a

đến thời điểm

t =b

Quãng đường vật đi được trong khoảng

L = s ( b) − s ( a ) .

là

Mặt khác, ta đã biết

f
là một nguyên hàm của

s '( t ) = f ( t )

s( t) = F ( t) +C

C
. Thành thử, tồn tại một hằng số

, do

sao cho

. Vậy


khoảng thời gian 0,5 giây đó, ô tô di chuyển được quãng đường là

6


BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

3π
4

=

t

(

s

)

(SGK 12 NC)

Hướng dẫn giải:
S=

3π
4



3t 2 t 3
v( t) =
+ +C
2
3

2

.Suy ra

v( t) =

3t 2 t 3
+ + 10
2
3

. Vậy
10
 3t 2 t 3

4300
S = ∫
+ + 10 ÷dt =
(m)
2 3
3

0


nên

C = 25

v ( t ) = −9,8t + 25.
. Vậy

0
là thời điểm đạn đạt tới độ cao lớn nhất. Tại đó viên đạn có vận tốc bằng

T=

v(T ) = 0
Vậy

v ( 0 ) = 25

.

25
≈ 2,55
9,8

. Suy ra

(giây).

2 S ≈ 31,89 ( m )
Vậy quãng đường viên đạn đi được cho đến khi rơi xuống là

Hướng dẫn giải:
Thời điểm
kể từ lúc

A

A

và

B

gặp nhau là 20 giây

xuất phát.

A

Đồ thị vậận tốc của
OMN .

Quãng đường

là đường gấp khúc

A

đã đi được là

OMNQ

xuất phát cùng vị trí với

. Đồ thị

HP

A

.

nên quãng đường

B

96 ( m )
đi được là

.

9


BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

Mặt khác, quãng đường

vận tốc của


chính là

PQ = 24
nên

. Vậy vận tốc của

B

tại

24 ( m / s )
là

.

4000
=
1 + 0, 5t

N '( t )

Hướng dẫn giải:

N ( t) = ∫

4000
dt = 8000 ln ( 1 + 0,5t ) + 250000
1 + 0,5t


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

v ( 0 ) = 6 ⇒ c = 6 ⇒ v ( t ) = 3ln ( t + 1) + 6
v ( 10 ) = 3ln11 + 6 ≈ 13 ( m / s )
≈ 13 ( m / s )
Kết quả:

sin ( π t )
1
v( t) =
+
( m / s)
2π
π
SGK BT 12 NC

Hướng dẫn giải:
1,5

S=

0

Quãng đường

 1

∫  2π +

sin ( π t ) 


t2 + 4 
S = ∫ 1, 2 +
dt = 0,8 − 13ln 3 + 13ln 7 ≈ 11,81
t + 3 
0 

Hướng dẫn giải :
f ( x ) = ( 120 − x ) x − ( 120 − x ) 40 = − x 2 + 160 x − 4800
Lợi nhuận hàng tháng của nhà sản xuất là :
Chọn đáp án D.

12m / s

2

Hướng dẫn giải :

Vận tại thời điểm

t

giây là

Gia tốc tại thời điểm

t

v ( t ) = ( s ( t ) ) ' = 3t 2 − 6t + 4


v ( 0 ) = 5 ⇔ 2 ln ( 0 + 1) + c = 5 ⇔ c = 5
Mà vận tốc ban đầu 5m/s tức là :

.

v ( t ) = 2 ln ( t + 1) + 5
Nên
v ( 10 ) = 2 ln ( 11) + 5 ≈ 9,8
Vận tốc của vật sau 10s đầu tiên là :
Chọn đáp án A.

43π ( dm

3

)

3dm
5dm
3dm

Hướng dẫn giải :
Đặt hệ trúc với tâm

O

, là tâm của mặt cầu ; đường thẳng đứng là

Ox



V = π ∫ ( 25 − x 2 ) dx = 132π

S = 109m.
−3

. Chọn đáp án A.

Hướng dẫn giải :

v ( t ) = ∫ a ( t ) dt =

10
+ C.
1 + 2t

Ta có
v ( 0 ) = 30 ⇔ C = 20
Theo đề ta có
2

 10

S = ∫
+ 20 ÷dt = 5ln 5 + 100 ≈ 108m.
2t + 1

0

Vậy quãng đường vật đó đi được sau 2 giây là :


x, x ∈ [ −15;15]
hoành độ
S ( x)
cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là

(xem hình)

NP = y, MN = NP tan 450 = y = 15 − x2

Dễ thấy
15


BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

S ( x) =
Khi đó

1
1
1
1
MN .NP = ( 225 − x 2 ) S ( x ) = MN .NP = ( 225 − x 2 )
2
2
2
2

0

=

 P2 ( t ) − P1 ( t )  dt =

5 + 5 15

0 ≤ t ≤ 5 + 5 15

sẽ xác định bằng tích phân sau:

∫ ( 400 + 10t ) − ( 50 + t )  dt
2

0

5+ 5 15

∫ ( 350 + 10t − t ) dt
2

0

16


BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG


a

là:

v = ∫ a.dt

v = ∫ adt = ∫

−20

( 1 + 2t )

2

dt

Áp dụng công thức trên , ta có :
Đến đây ta đặt :
u = 1 + 2t ⇒ du = 2dt ⇒ dt =

v=∫

du
2

−10
10
10
du = ∫ −10u −2 du = + K =

Tia lửa chịu sự tác động của trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc
Ta có biểu thức vận tốc

v

theo thời gian

t

có gia tốc

a

là :

v = ∫ adt = ∫ −9,8dt = −9,8t + C
t = 0, v = 15m / s ⇒ C = 15
Ở đây, với :

v = −9,8t + 15
Vậy ta được biểu thức vận tốc có dạng :
Đến đây, ta nghĩ đến việc nếu lấy tích phân của vận tốc
Do đó, ta xét bài toán ứng dụng tiếp theo dưới đây.

v

lần nữa thì sẽ cho ta kết quả gì?

18


Lấy tích phân biểu thức vận tốc, ta sẽ có được bểu thức quãng đường:

s = ∫ vdt = ∫ ( −9,8t + 15 ) dt = −4,9 t 2 + 15t + K

Theo đề bài, ta được khi

t = 0 ⇒ s = 0 ⇒ K = 0.

s = −4,9t 2 + 15t.
Vậy biểu thức tọa độ của quảng đường là :
t = 2,5 ( s )
Khi

s = 6,875 ( m )
, ta sẽ được

19


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

Chọn đáp án D.

127, 5 ( m )
Hướng dẫn giải :
Muốn tìm quãng đường, ta lấy tích phân hàm vận tốc, ta được:

s = ∫ vdt = ∫ ( v0 + at ) dt = ∫ ( 5 + at ) dt

BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

Ô tô còn đi thêm được 2 giây.
2

2

4t 2
s = ∫ v ( t ) = ∫ ( −4t + 8) dt = ( −
+ 8t )
2
0
0

2

= 8( m)

0

Quãng đường cần tìm là :
Chọn đáp án D.

V = a

3

Hướng dẫn giải :


,tại

, giới hạn vật thể

.

Việc nắm giữ vững công thức (*) giúp quý độc giả có thể tính được thể tích của vật thể mà đề bài đã yêu
cầu, cụ thể như sau:
Oxyz
V
Ta sẽ gắn hệ trục tọa độ
vào vật thể này, tức là ta sẽ đi tính thể tích vật thể
giới hạn bởi hai mặt
x2 + y 2 = a2 , x2 + z 2 = a2 ( a > 0)
trụ:

21


BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

x ∈ [ 0; a ]
, thiết diện của vật thể (vuông

Hình vẽ trên mô tả một phần tám thứ nhất của vật thể này, với mỗi
Ox


Hướng dẫn giải :
t0 = 0 ( s )
Quãng đường vật đi được kể từ thời điểm

t = 5( s)
đến thời điểm

5

5

5

0

0

0

s = ∫ v ( t ) = ∫ ( 2t + 5 ) dt = ( t 2 + 5t )

là :

= 50 ( m )

Quãng đường cần tìm là :
Chọn đáp án A.

22


1,5

Chọn đáp án D.

2, 66 ( cm )
Hướng dẫn giải :

Thời gian bơm nước được 6 giây.
Mức nước càn tìm là :
6

6

4
1
3
h ( t ) = ∫ h ' ( t ) dt = ∫ 3 t + 8dt = ( t + 8 ) 3
5
20
0
0

6

0

4
3
12
= ×14 3 − ≈ 2, 66 ( cm )

+ ( y − 3) = 4
2

là

( x − 3) 2 + ( y − 3) 2 = 4  X 2 + Y 2 = 4
⇒

 X − Y + 2 = 0
 x − y + 2 = 0


− 6− 2
 X1 =
2
⇔

6− 2
X2 =

2

S=

∫(

X2

X1



TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN

2

x2 
4
4
S1 = 2 ∫  8 − x 2 − ÷dx = 2π + ; S = S
−
S
=
6
π
−
2
hinhtron
1
2 
3
0
3

S1
≈ 0, 435
S2
Suy ra



= 2 2 − 3S − ∫ x 2 + 1dx
0

1

T = ∫ x 2 + 1dx

a = 3, b = 2, c = 8

0

Tiếp tục sử dụng công thức tích phân từng phần để tính

được

Chọn đáp án C.

25