ĐÊ
̀
THI HO
̣
C SINH GIO
̉
I CÂ
́
P TI
̉
NH – HƯƠ
́
NG DÂ
̃
N GIA
̉
I
Năm ho
̣
c: 2007 – 2008
Bài 1 (4 điểm). Cho a là một số tự nhiên lẻ, b là số tự nhiên. Chứng minh rằng các số a và ab + 4
không có ước số chung khác ±1
Giải: Giả sử a và ab + 4 có ước số chung khác 1 là d. Thế thì:
ab
M
d và ab + 4
M
d ⇒ ab + 4 – ab
M
d
Do đó: d \ 4 nên d = ±1; ±2; ±4. Nhưng theo giả thiết a là số lẻ nên: d = ±1

2 2 2 2
3x 5x 1 2(x 5) x 2 3x 5x 1 x 2 3(x 5)− − − − − − = − − − − − −
Dễ thấy: x = 5 là nghiệm của phương trình đã cho
– Nếu x > 5: –2(x – 5) > –3(x – 5). Phương trình có vế trái nhỏ hơn vế phải ⇒ x > 5 không là
nghiệm của phương trình đã cho
– Nếu x < 5: –2(x – 5) < –3(x – 5). Phương trình có vế trái lớn hơn vế phải ⇒ x < 5 không là
nghiệm của phương trình đã cho
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 5
Bài 4 (5 điểm).
a) Cho tam gia
́
c vuông ABC có các cạnh góc vuông là a, b và cạnh huyền là c. Chứng minh rằng:
a b
c
2
+
≥
. Với điều kiện nào của a, b thì
a b
c
2
+
=
, khi đó tính giá trị của c theo a và b
b) Cho 2 số thực a, b thỏa mãn điều kiện a
2
+ b
2
≤ 2. Chứng minh rằng: a + b ≤ 2
Giải: a) Theo ĐL Pitago: a

+
≥ + ⇔ ≥
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b. Khi đó:
2a
c 2a (hay: c 2b)
2
= = =
b) (a – b)
2
≥ 0 ⇔ 2ab ≤ a
2
+ b
2
(1). Theo giả thiết: a
2
+ b
2
≤ 2 (2)
Cộng (1) và (2): a
2
+ b
2
+ 2ab ≤ a
2
+ b
2
+ 2 ≤ 2 + 2 = 4 (vì a
2
+ b
2

; S
DBO
= S
COE
; S
BOM
= S
CMO
Suy ra: S
DNO
+ S
DBO
+ S
CMO
= S
ENO
+ S
COE
+ S
CMD
Do đó: Đường gấp khúc MON chia hình thang BCED thành
hai phần có diện tích bằng nhau. Đoạn NM cũng chia hình thang
thành hai phần có diện tích bằng nhau. Suy ra: N, O, M thẳng hàng ⇒ A, O, M thẳng hàng
N
O
E
D
M
B
C