ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – HƯỚNG DẪN GIẢI
Năm học: 2006 – 2007
Bài 1 (3 điểm). Cho
A 2005 2007= +
;
B 2 2006=
. A lớn hơn hay nhỏ hơn B? Hãy chứng minh
Giải: Vì 20062 - 1 < 20062 nên (2006 - 1) ( 2006 + 1) < 20062
⇒ 2005 . 2007 < 20062 ⇒ 2.
2007.2005
< 2. 2006
⇒ 2.2006 + 2.
2007.2005
< 4. 2006 ⇒ (
2005
+
2007
)2 < 4.
2006
⇒
2005
+
2007
< 2.
2006
. Vậy A nhỏ hơn B
Bài 2 (4 điểm). Cho 1 ≤ m ≤ 2 và 1 ≤ n ≤ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
3 3
(m n)
A

+ + − + − −
Dấu “=” xảy ra ⇔ m = n = 2
Bài 3 (4 điểm). Giải phương trình:
x x 2 2 x 1+ − = −
(1)
Giải: ĐK: x ≥ 2. Ta có: (1) ⇒
x 1 2 x 1 1 x 2 0− − − + + + =
⇔
2
( x 1 1) x 2 0− − + − =
⇔
x 1 1 0
x 2
x 2 0

− − =

⇔ =

− =


Bài 4 (5 điểm). Cho hàm số y = x
2
có đồ thị là đường cong (P) và hai điểm M, N thuộc (P) có hoành độ
lần lượt là –1 và 2
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua M, N
b) Vẽ đồ thị (P) trên hệ trục tọa độ xOy và tìm tọa độ điểm E thuộc đoạn đường cong M, N của đồ thị
(P) sao cho ∆MNE có diện tích lớn nhất
Giải: a) Đường thẳng có phương trình là: y = ax +b

(1 4)3 (m 1)(m 1) (m 4)(2 m)
2 2 2
 
+ + + + −
= − +
 ÷
 
3 2 2 3
15 m m m 1 2m 8 m 4m
2 2
+ + + + + − −
= −
( )
2 2
2
3 3 1 9 27 3 1 27
m m 2 m m
2 2 2 4 8 2 2 8
 
   
= − − − = − − − = − − ≤
 
 ÷  ÷
   
 
 
Vậy: với E(1/2; 1/4) thì ΔMNE có diện tích lớn nhất
Bài 5 (4 điểm). Độ dài các cạnh của một tam giác là các số nguyên liên tiếp không nhỏ hơn 3 đơn vị độ
dài. Chứng minh rằng đường cao hạ xuống cạnh có độ dài lớn thứ hai thì chia cạnh này thành hai phần có
hiệu độ dài bằng 4