ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – HƯỚNG DẪN GIẢI
Năm học: 2005 – 2006
Bài 1 (2 điểm). Cho biểu thức A(x) = (x
2
– 4x + 3)
2005
.(x
2
+ 4x + 3)
2006
. Gọi S là tổng các hệ số của đa
thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức đã cho. Hãy tính S
Giải: Tổng các hệ số của đa thức sau khi bỏ dấu ngoặc là:
S = A(1) = (1 – 4 + 3)
2005
(1 + 4 + 3)
2006
= 0
Bài 2 (3 điểm). Chứng minh rằng không thể tìm được hai số lẻ mà tổng các bình phương của chúng bằng
bình phương của một số nguyên
Giải: Giả sử hai số lẻ có dạng 2m + 1 và 2n + 1 (m, n ∈ Z). Ta có:
(2m + 1)
2
+ (2n + 1)
2
= 4m
2
+ 4m + 1 + 4n
2
+ 4n + 1 = 4k + 2 (k ∈ Z)
Ta cần chứng minh không có số chính phương nào có dạng 4k + 2. Thật vậy: Xét số nguyên a bất kì, ta

(1) thì:
5
1
=−
a
a
b) Tính giá trị của a
Giải: a) (1) ⇔
1 1 1
a a a
a a a
    
+ − = +
 ÷ ÷  ÷
    
⇔
1
a 1
a
− =
Bình phương hai vế:
1
a 3
a
+ =
.
Mặt khác ta có:
2 2 2
1 1 1
a a 4 a 5





− =


⇒
3 5
2a 3 5 a
2
+
= + ⇔ =
Bài 4 (5 điểm). Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: ba bất đẳng thức sau không thể đồng thời
xảy ra:
a + b < c + d (1)
(a + b)(c + d) < ab + cd (2)
(a + b)cd < (c + d)ab (3)
Cách 1: Đặt A = c + d – a – b > 0, B = ab – ac – ad – bc – bd + cd > 0, C = abc + abd – acd – bcd > 0.
Xét phương trình P(x) = (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = 0 ⇔ x
4
+ Ax
3
+ Bx
2
+ Cx + abcd = 0
Phương trình P(x) = 0 có các hệ số dương, do đó không thể có nghiệm dương.
Theo cách đặt thì phương trình P(x) = 0 lại có 2 nghiệm dương a và b (vô lí) ⇒ đpcm.
C ách 2: Giả sử 3 bất đẳng thức trên là đúng.
Từ (1) và (2) ⇒ (a + b)

AD BD
CD DE
=
⇒ AD.DE = CD.BD
Hay: AD(AE – AD) = BD.CD ⇔ AD
2
= AD.AE – BD.CD (1)
ΔABD ΔACE (g.g) ⇒
AB AE
AD AC
=
⇒ AD.AE = AB.AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AD
2
= AB.AC – BD.CD
b) Theo tính chất đường phân giác:
AB BD
AC CD
=
⇒ AB.CD = AC.BD
Hay: AB(BC – BD) = AC.BD ⇔ AB.BC = AB.BD + AC.BD
⇔ AB.BC = BD(AB + AC)
Do đó:
BD BC BD a
Hay :
AB AB AC AB b c
= =
+ +
c) Kẻ đường kính AF và đường cao AH. Ta có: S =
1

C
B
A