SKKN: Rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học phẳng

Mục lục

2 : Nộ dung sáng kiến kinh nghiệm.....................................................................4
2.1

Cơ sở lí luận của SKKN.........................................................4

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN............................4
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề..............................4
1.

Trang bị lại cho học sinh các kiến thức cơ bản nhất về đường tròn...........4

2.

Trang bị cho học sinh kỹ năng tự đặt câu hỏi và tự trả lời câu hỏi............6

3.

Một số bài toán cơ bản......................................................... ......................7

4.

Một số bài tập tự

luyện… ..........................................................................17
2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp
và Nhà trường ...........................................................................................18


SKKN: Rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học phẳng
1.1. Lí do chọn đề tài
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là phần kiến thức mà các em được học
từ năm lớp 10 với các nội dung khá cơ bản và đơn giản. Nhưng trong các kỳ thi
THPT QG và thi HSG cấp tỉnh thì đây là câu ở mức “vận dụng thấp và vận dụng
cao”.
Đối với học sinh miền núi nơi Tôi trực tiếp giảng dạy, Tôi thấy ít học sinh
làm chọn vẹn được câu này trong các kỳ thi.
Hiện tại chưa có tài liệu nào bàn sâu về vấn đề: Chia phần kiến thức này
thành các dạng: - Có sử dụng tính chất của đường tròn
- Có sử dụng tính chất của hình vuông
- Có sử dụng tính chất của hình chữ nhật
- Có sử dụng tính chất của hình …
Vì vậy việc tôi lựa chọn cách này để viết SKKN là cấp thiết, góp phần nâng
cao chất lượng giáo dục trong nhà trường.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Tôi viết SKKN này với mục đích: Phổ biến đến các thành viên trong tổ
chuyên môn nơi tôi công tác, giúp các em học sinh đạt điểm cao trong kỳ thi THPT
QG và trong kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh. Nếu các đồng nghiệp ở trường khác thấy có
ích thì tôi sẵn sàng chia sẻ.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài này nghiên cứu, tổng kết về lớp các bài toán viết phương trình đường
thẳng, phương trình đường tròn, xác định tọa độ điểm có sử dụng đến tính chất của
đường tròn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Tôi nêu lên phần lí thuyết và một số tính chất hay của đường tròn.
- Nêu lên bài toán cơ bản và cách suy nghĩ để giải bài toán này.
- Một số bài tập vận dụng và nâng cao.
……………………………………………………………………………………. 3
Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình

Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình
Trường THPT Cẩm Thuỷ 1


SKKN: Rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học phẳng
- Trong phần này phải nhấn mạnh cho học sinh nắm vững một số tính chất
sau:
 Nếu điểm M nằm trong đường tròn C ( I , R ) thì mọi đường thẳng qua điểm M
đều cắt C ( I , R ) tại hai điểm phân biệt A, B . Nhưng để đoạn AB ngắn nhất thì
đường thẳng đó phải vuông góc với IM tại M .
(Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh tính chất này để ghi nhớ vận dụng)

I

A

M

B

 Nếu điểm M nằm ngoài đường tròn C ( I , R ) thì giáo viên phải cho học sinh
nắm vững các kiến thức sau:
+/ Qua M kẻ được hai tiếp tuyến với C ( I , R ) , gọi A, B là hai tiếp điểm thì ta
thấy:
♥ Tứ giác MAIB nội tiếp
♥ MI là đường phân giác của ∠AMB
♥ Khi MA ⊥ MB thì tứ giác MAIB là hình vuông
…

……………………………………………………………………………………. 5

đặc biệt.
• Vị trí tương đối của hai đường tròn.
2/ Trang bị cho học sinh kỹ năng tự đặt câu hỏi và tự trả lời câu hỏi.
H? Yêu cầu bài toán là gì?
……………………………………………………………………………………. 6
Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình
Trường THPT Cẩm Thuỷ 1


SKKN: Rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học phẳng
H? Để thực hiện yêu cầu đó ta có những hướng suy nghĩ nào?
H? Giả thiết bài toán cho gì?
H? Với giả thiết đó, ta có mấy cách giải quyết bài toán này và ta sẽ làm bài này
theo cách nào? vì sao?
Khi gặp khó khăn, ta tiếp tục đặt câu hỏi?
H? Ta gặp khó khăn ở đâu?
H? Có phần giả thiết nào chưa sử dụng không?
H? Ta đã gặp bài toán nào tương tự bài này chưa?
...
3/ Một số bài toán cơ bản
Bài toán 1:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phương trình C ( I , R ) , M ( xM ; yM ) nằm bên
trong C ( I , R ) . Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M ( xM ; yM ) đồng thời cắt
C ( I , R ) tại hai điểm A, B sao cho:

a/ AB = k ( 0 < k < 2 R )
b/ AB nhỏ nhất
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
 Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này.
+/ Câu trả lời mong muốn

a/ Có 2 đường thẳng cần lập là ∆1 : x − 2 = 0 và ∆ 2 : 3x − 4 y − 10 = 0
b/ ∆ : x + 2 y = 0
Bài toán 2:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phương trình C ( I , R ) , M ( xM ; yM ) nằm ngoài
C ( I , R ) . Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M ( xM ; yM ) đồng thời cắt C ( I , R ) tại

hai điểm A, B sao cho:
a/ AB = k ( 0 < k < 2 R )
b/ Diện tích tam giác IAB lớn nhất
c/ Diện tích tam giác IAB bằng S0 .
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
 Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này.
……………………………………………………………………………………. 8
Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình
Trường THPT Cẩm Thuỷ 1


SKKN: Rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học phẳng
+/ Câu trả lời mong muốn:
a/ Từ AB = k ( 0 < k < 2 R ) , ta tìm được khoảng cách từ I đến ∆ . Chuyển bài
toán đã cho về bài toán quen thuộc “viết phương trình đường thẳng qua M ( xM ; yM )
đồng thời cách I một đoạn cho trước”.
1
2

1
2

b/ S IAB = R 2 sin BIA ≤ R 2 . Suy ra diện tích tam giác IAB lớn nhất khi
sin BIA = 1 hay IA ⊥ IB . Từ đó ta tính được độ dài đoạn AB , quay lại “bài toán 1”.

Hướng dẫn:
a/ ∆1 : x − 3 y = 0 và ∆ 2 : x + 3 y − 12 = 0
……………………………………………………………………………………. 9
Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình
Trường THPT Cẩm Thuỷ 1


SKKN: Rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học phẳng
b/ Từ diện tích tam giác IAB lớn nhất ta tính được AB = 10 , quay lại câu a.
c/ Diện tích tam giác IAB bằng

5 3
, ta chỉ ra được ∠AIB = 600 hoặc
4

∠AIB = 1200 . Từ đó ta tính được AB = 5 hoặc AB = 15 .

Bài toán 3:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phương trình C ( I , R ) , phương trình đường
thẳng ∆ . Xác định tọa độ điểm M thuộc ∆ sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến
đến C ( I , R ) đồng thời:
a/ Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
b/ Góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng ϕ .
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
 Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này.
+/ Câu trả lời mong muốn:
Trong cả hai ý, học sinh lập luận để tính được khoảng cách từ M đến tâm I ,
khi đó bài toán đã cho trở về bài toán quen thuộc.
 Yêu cầu học sinh làm bài toán cụ thể.
2

uuur

uuur

uur

+/ I là trung điểm của OH .( OH = 3OG = 2OI )
d/ Gọi A ', B ', C ' lần lượt là chân đường cao hạ từ A, B, C xuống cạnh đối diện.
CMR:
+/ AO vuông góc với B ' C ' .
+/ BO vuông góc với A ' C ' .
+/ CO vuông góc với A ' B ' .
e/ CMR 6 điểm M , N , P, A ', B ', C ' cùng năm trên một đường tròn(Đường tròn
Ole đi qua 9 điểm).
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
 Yêu cầu học sinh chứng minh và ghi nhớ các tính chất hay trong bài toán 4.
 Yêu cầu học sinh làm ví dụ cụ thể.
Ví dụ cụ thể 1: “Đề thi HSG lớp 12 cấp trường năm học 2015-2016”
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC. Đường thẳng chứa
đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình là
……………………………………………………………………………………. 11
Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình
Trường THPT Cẩm Thuỷ 1


SKKN: Rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học phẳng
3 x + 5 y − 8 = 0, x − y − 4 = 0 . Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D ( 4; −2 ) . Viết phương trình
các đường thẳng AB, AC; Biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3.

Đáp số: AB : 3x + y − 4 = 0; AC : y − 1 = 0.
 Học sinh 2.
- Xác định được tọa độ điểm M
- Viết phương trình đường thẳng AD
- Xác định được tọa độ điểm A
- Viết phương trình đường trung trực của đoạn BC .
……………………………………………………………………………………. 12
Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình
Trường THPT Cẩm Thuỷ 1


SKKN: Rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học phẳng
- Viết phương trình đường trung trực của đoạn AD
- Xác định được tọa độ điểm I

A

- Viết phương trình đường tròn C ( I , R = IA )
- Xác định được tọa độ điểm B, C
Đáp số: AB : 3x + y − 4 = 0; AC : y − 1 = 0.
B

K

I

K

M


Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình
Trường THPT Cẩm Thuỷ 1


SKKN: Rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học phẳng
- Viết được phương trình đường tròn ( C ) : ( x + 1) + ( y − 3) = 10
2

3

- Tìm được tọa độ điểm B ( −2;0 ) , C ( 2; 4 ) → BC : x − y + 2 = 0
Bài toán 5:
Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm I , D là điểm chính giữa của
cung BC (không chứa A ); Hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại P . Đường thẳng
AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác APC tại E .

CMR PE // BC .
A

I
C
B
J
D
M

Q

E


 5 5

Bài toán 6:
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn ( C ) ; I , K là tâm đường tròn
nội, ngoại tiếp tam giác ABC ; D là giao điểm thứ hai của đường thẳng AI với ( C ) .
Chứng minh rằng D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCI .
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
 Yêu cầu học sinh chứng minh và ghi nhớ kết quả của bài toán.

A

K
I
B

C
D

Kết quả mong đợi:
- Ta dễ chứng minh được DB = DC
……………………………………………………………………………………. 15
Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình
Trường THPT Cẩm Thuỷ 1


SKKN: Rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học phẳng
- Chứng minh được DB = DI
- Suy ra điều phải chứng minh
 Yêu cầu học sinh làm bài tập vận dụng.(HSG cấp trường khối 11, năm
học 2016-2017)

Thổ”
……………………………………………………………………………………. 16
Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình
Trường THPT Cẩm Thuỷ 1


SKKN: Rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học phẳng
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn
đường kính BD . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BC , BD và
P là giao điểm của hai đường thẳng MN , AC . Biết đường thẳng AC có phương

trình x − y − 1 = 0 , M ( 0; 4 ) , N ( 2; 2 ) và hoành độ điểm A nhỏ hơn 2. Tìm tọa độ các
điểm P, A, B .


ĐS: P  ; ÷, A ( 0; −1) , B ( −1; 4 )
2 2
5 3

Bài 3: “Bộ đề thi Tự luận Toán học: Nguyễn Văn Nho – Lê Bảy - Nguyễn Văn
Thổ”
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4 x + 2 y − 15 = 0. Gọi I
là tâm đường tròn (C ). Đường thẳng ∆ đi qua M (1; − 3) cắt (C ) tại hai điểm A và B.
Viết phương trình đường thẳng ∆ biết tam giác IAB có diện tích bằng 8 và cạnh AB
là cạnh lớn nhất.
ĐS: Có hai đường thẳng ∆ thỏa mãn là y + 3 = 0 và 4 x + 3 y + 5 = 0.
Bài 4:“Kiểm tra đội tuyển HSG lớp 12, năm học 2014-2015”
2
2
2

toán như vậy và cách hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tự đặt câu hỏi, tự trả
lời những câu hỏi của mình trong quá trình làm một bài toán nói chung và nhất là
trong bài hình học sẽ làm cho học sinh có cảm giác không sợ khi gặp bài toán hình
học tổng hợp. Với cách làm đó Tôi thấy học sinh học hình học tốt hơn nhiều, điểm
thi THPT QG của các em có nhiều điểm cao hơn; trong kỳ thi HSG cấp tỉnh Nhà
trường đạt nhiều giải cao hơn ở bộ môn Toán. Cụ thể như sau:
Qua hai năm kiểm tra đối chứng, thu được kết quả sau:
* Về thi HSG cấp tỉnh môn Toán và MTCT môn toán.
Năm học
2015-2016
2016-2017

HSG tỉnh
Nhất miền núi

MTCT cấp tỉnh
2 giải KK

(1 Nhì, 3 ba, 1 KK)
Nhất miền núi

Nhất miền núi

(1 Nhất, 3 ba)

(1 Nhì, 2 ba, 1 KK)

* Về kết quả thi THPT QG đối với môn toán.
Năm học


mặt phẳng” ở kỳ thi HSG giỏi cấp tỉnh và thi THPT QG, vì thế đã nhiều em
đạt điểm cao hơn trong kỳ thi THPT QG, trong kỳ thi HSG cấp tỉnh đạt
nhiều giải cao hơn, đặc biệt năm học 2016-2017 Nhà trường đã có em đạt
giải Nhất môn toán với số điểm cao nhất tỉnh.
Trong chuyên đề này, không thể tránh khỏi mhững thiếu sót và hạn
chế. Rất mong được sự góp ý của quý bạn đọc, các thầy cô giáo, các bạn
đồng nghiệp và các em học sinh để chuyên đề này được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
3.2. Kiến nghị.

Không

……………………………………………………………………………………. 19
Giáo viên: Trịnh Ngọc Bình
Trường THPT Cẩm Thuỷ 1


SKKN: Rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học phẳng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Hình học 10 nâng cao
2. Bài tập hình học 10 nâng cao
3. SGV Hình học 10 nâng cao
4. Hình học 10
5. Bài tập hình học 10
6. SGV Hình học 10
7. Bộ đề thi Tự luận Toán học: Nguyễn Văn Nho – Lê Bảy - Nguyễn Văn Thổ
8. Báo Toán học tuổi trẻ.
9. Đề thi ĐH, THPT QG các năm.