1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
VƯƠNG THÙY DUNG
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN CHO HỌC SINH
THÔNG QUA DẠY HỌC CHƯƠNG “TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT”
LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (BAN NÂNG CAO)
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 10
4
7. Giả thuyết khoa học………………………………………………….
4
8. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………….
4
9. Những đóng góp của luận văn……………………………………….
5
10. Cấu trúc luận văn…………………………………………………
5
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI…………………………
6
1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán……………………………………
6
1.1.1. Khái niệm kỹ năng…………………………………………… …
6
1.1.2. Kỹ năng giải toán………………………………………………
6
1.1.3. Vai trò của kỹ năng giải toán……………………………………
7
1.1.4. Phân loại kỹ năng trong môn Toán……………………………….
8
1.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học
chương “Tổ hợp và xác suất”……………………………………………
9
1.2.1. Thực trạng việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy
học chương “Tổ hợp và xác suất”………………………………
9
1.2.2. Những khó khăn và sai lầm của học sinh thường gặp khi giải
35
2.2.3. Kỹ năng sử dụng công thức chỉnh hợp lặp ………………………
41
2.2.4. Kỹ năng giải các bài toán hoán vị ……………………………
43
2.2.5. Kỹ năng tính toán tổ hợp không lặp ……………………………
51
2.2.6. Kỹ năng tính toán tổ hợp lặp …….……………………………….
55
2.2.7. Kỹ năng giải các bài toán liên quan nhị thức Newton …………
57
2.3. Một số bài tập về xác suất ………… ……………………………
64
2.3.1. Các bài toán cơ bản sử dụng định nghĩa cổ điển của xác suất …
64
2.3.2. Các bài toán sử dụng quy tắc tính xác suất ………………………
70
2.3.3. Các bài toán tính xác suất liên quan đến biến ngẫu nhiên rời rạc
76
2.4. Một số bài tập nâng cao ………………………… ……………
85
2.4.1. Một số phương pháp giải các bài toán tổ hợp nâng cao ………….
85
2.4.2. Các bài toán về xác suất có điều kiện …………………………
92
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM……………………………
98
3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm ….……………
98
3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm …………………………
1. Lý do chọn đề tài
Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toán
nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước ta hiện
nay. Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội
dung và phương pháp dạy học.
Trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường trung học
phổ thông, việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học học sinh có vai trò quan
trọng vì: đó là một trong các mục tiêu dạy học ở phổ thông. Việc giải toán là
hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư duy,
tính sáng tạo. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện các mục đích dạy
học toán ở trường phổ thông. Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh có tác
dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú học tập
cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụng kiến thức đã học vào tình
huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc lập
suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp tự học tối ưu.
Các kiến thức về Tổ hợp và xác suất đang ngày càng trở nên quan trọng
đối với mỗi con người trong xã hội hiện đại. Vì vậy, ở nhiều quốc gia, Tổ hợp
và xác suất đã được giảng dạy trong trường phổ thông từ lâu nhưng với mức
độ rất khác nhau. Ở nước ta, trong sách giáo khoa năm 2000 chỉ có tổ hợp mà
không có xác suất. Thực tế, xác suất mới chỉ được đưa vào chương trình phổ
thông từ năm 2007 (không kể đến chương trình thí điểm phân ban năm 1995).
Trong chương trình Toán phổ thông, tổ hợp và xác suất là một trong
những nội dung quan trọng luôn xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp phổ
thông cũng như đề thi Đại học. Tổ hợp luôn được đánh giá là một nội dung
khó. Các bài toán tổ hợp thường đòi hỏi học sinh hiểu chính xác những mối
quan hệ giữa các đối tượng được xét mà đôi khi bằng ngôn ngữ cũng khó diễn
2
đạt một cách đầy đủ. Nội dung xác suất có khá nhiều khái niệm mới và khó.
Nếu học sinh không nắm chắc các khái niệm thì không thể hiểu được các
rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học chương “Tổ hợp
và xác suất” nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường trung học
phổ thông.
3.Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp nhằm góp phần rèn luyện kỹ
năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học chương “Tổ hợp và xác suất”
lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao).
3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán.
- Nghiên cứu thực trạng kỹ năng giải toán của học sinh trong khi học
chương “Tổ hợp và xác suất”.
- Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh và phân tích lý
luận khi dạy học chương “Tổ hợp và xác suất”.
- Qua thực nghiệm sư phạm, kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài để
áp dụng vào giảng dạy.
4.Phạm vi nghiên cứu
- Phạm vi về thời gian: Trong khoảng thời gian từ tháng 3/2011 đến nay,
cùng với 4 năm kinh nghiệm giảng dạy tại trường THPT Dân tộc nội trú tỉnh
Cao Bằng và trường THPT Cao Bình - Thị xã Cao Bằng - Tỉnh Cao Bằng.
- Phạm vi về nội dung: Nghiên cứu những kỹ năng giải toán cần rèn
luyện cho học sinh khi dạy học chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học
phổ thông (ban nâng cao).
5.Mẫu khảo sát
Giáo viên tổ Toán và học sinh thuộc các trường THPT Dân tộc nội trú
tỉnh Cao Bằng và trường THPT Cao Bình, thị xã Cao Bằng, tỉnh Cao Bằng.
4
6.Vấn đề nghiên cứu
Trong nghiên cứu này, một số vấn đề sau đây được đưa ra xem xét:
nghiệm.
- Phương pháp thống kê toán học: Xử lý các số liệu thu được sau khi
điều tra.
9.Những đóng góp của luận văn
- Trình bày cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán.
- Thực trạng về việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy
học chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao).
- Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh khi dạy học
chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao).
- Kết quả của luận văn có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh
viên ngành Sư phạm Toán và giáo viên Toán ở trường THPT.
10.Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận chung, danh mục tài liệu tham khảo, luận
văn gồm ba chương như sau:
Chƣơng 1. Cơ sở lý luận của đề tài
Chƣơng 2. Xây dựng hệ thống bài tập của chƣơng “Tổ hợp và xác
suất” lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao) theo hƣớng rèn luyện kỹ
năng giải toán
Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm
6
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
Phương pháp trực tiếp. Giáo viên soạn thành những bài giảng về
những kỹ năng một cách hệ thống và đầy đủ. Phương pháp này hiệu quả hơn
và dễ nâng cao độ phức tạp của bài toán cần giải quyết.
1.1.3. Vai trò của kỹ năng giải toán
Trong các mục đích của dạy học môn Toán ở trường phổ thông thì việc
truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn
thực hiện được phải dựa trên mục đích này. Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động
nói chung, kỹ năng toán học nói riêng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mối
liên hệ giữa học với hành.
Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái
niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành
thạo vào việc giải bài tập. Có thể nói, bài tập toán chính là “mảnh đất” để rèn
luyện kỹ năng giải toán. Do đó, để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh,
giáo viên cần tăng cường hoạt động giải toán (đây cũng chính là hoạt động
chủ yếu khi dạy toán). Cụ thể hơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ
năng giải toán cho học sinh cần quan tâm chú trọng những vấn đề sau:
- Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã
cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hướng cho
học sinh biết cách phân tích đặc điểm bài toán.
- Hướng cho học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các
bài tập, các đối tượng cùng loại.
- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các
kiến thức tương ứng.
8
Ngoài ra, cần tạo nhu cầu hứng thú cho học sinh, khắc phục những ảnh
hưởng tiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện các mặt sau:
- Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó so sánh các
cách giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức.
- Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán.
1.2.1. Thực trạng việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học
chương “Tổ hợp và xác suất”
Đối với giáo viên
- Khi dạy lý thuyết
Giáo viên không khó khăn để tạo được không khí học tập sôi nổi,
hào hứng cho học sinh qua các ví dụ thực tế.
Dạy định nghĩa, công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, xác suất
thì giáo viên phải thuyết trình nhiều hơn khi dạy các nội dung toán học khác.
Giáo viên mất nhiều thời gian để tìm tòi và vẽ hình minh họa cho
các quá trình chọn lựa, mất thời gian viết bảng.
Giáo viên gặp khó khăn khi tìm tài liệu để mở rộng kiến thức và
các ví dụ ứng dụng trong thực tế.
Giáo viên chưa có hoặc có rất ít kinh nghiệm giảng dạy phần xác suất.
- Khi dạy bài tập
Giáo viên mất nhiều công sức chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa
thành một hệ thống bài tập phù hợp với nhiều trình độ nhận thức khác nhau
của học sinh.
Thời gian để giáo viên hướng dẫn và chữa bài tập trên lớp cho
học sinh không nhiều.
Đối với học sinh
- Khi học lý thuyết
10
Học sinh thường có hứng thú với những vấn đề giáo viên đặt ra
lúc bắt đầu giờ học. Tuy nhiên, khi học đến các định nghĩa và xây dựng các
công thức tính số tổ hợp, chỉnh hợp thì học sinh lại thấy trừu tượng, khó hiểu.
Những học sinh trung bình thì chưa thể phân biệt được ngay sự khác nhau
giữa tổ hợp và chỉnh hợp trong giờ lý thuyết.
Một số học sinh do chưa nắm vững được kiến thức về tổ hợp nên
khi học sang nội dung xác suất gặp rất nhiều khó khăn để nắm bắt kiến thức.
(cách chọn).
- Khó khăn, sai lầm tiếp theo của học sinh gặp phải là một bài toán
không biết khi nào sử dụng tổ hợp, khi nào sử dụng chỉnh hợp. Tuy nhiên,
khó khăn này sẽ nhanh chóng được giải quyết nếu học sinh để ý bản chất của
tổ hợp là sắp xếp tùy ý không có thứ tự, còn chỉnh hợp thì có thứ tự. Ta xét
bài toán sau:
Bài toán. Một tổ có 12 học sinh nữ và 10 học sinh nam. Cần chọn ra 6
học sinh (3 nam và 3 nữ) để ghép thành 3 đôi biểu diễn văn nghệ. Hỏi có bao
nhiêu cách ghép?
Lời giải 1. Số cách chọn thứ tự 3 nữ trong 12 nữ là
3
12
A
cách.
Số cách chọn thứ tự 3 nam trong 10 nam là
3
10
A
cách.
Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ theo yêu cầu bài toán là
33
12 10
.AA
cách.
Lời giải 2. Số cách chọn thứ tự 3 nữ trong 12 nữ là
3
12
C
cách.
Số cách chọn thứ tự 3 nam trong 10 nam là
12 10
9. .CC
cách.
Lời giải 4. Số cách chọn thứ tự 3 nữ trong 12 nữ là
3
12
C
cách.
Số cách chọn thứ tự 3 nam trong 10 nam là
3
10
C
cách.
12
Do đó số cách chọn 6 học sinh (3 nam, 3 nữ) là
33
12 10
.CC
cách.
Trong 6 học sinh chọn ra thì có
3!
cách ghép giữa các đôi
này với nhau (là hoán vị của 3 học sinh nam hoặc của 3 học sinh nữ).
Vậy số cách chọn thỏa mãn là
33
12 10
3!. .CC
cách.
Phân tích. Quan sát các lời giải trên ta thấy: ở lời giải 1 - rõ ràng là sai
1
3
C
cách.
Vậy có tất cả
1
5
C
.
1
4
C
.
1
3
C
cách chọn.
Lời giải 3. Đầu tiên, chọn 1 học sinh thì có
1
5
C
cách.
Tiếp theo chọn 2 học sinh còn lại trong 4 học sinh có
2
4
C
cách.
Vậy có tất cả
1
5
sinh trong 5 học sinh thì sẽ có 5 cách chọn. Nếu lần đầu chọn
A
(còn lại
, , ,B C D E
), lần 2 chọn
B
(còn lại
,,C D E
), lần 3 chọn
C
thì ta chọn được 3
học sinh là
,,A B C
. Nếu lần đầu chọn
B
(còn lại
, , ,A C D E
), lần 2 chọn
C
(còn lại
,,A D E
), lần 3 chọn
A
thì ta cũng chọn được 3 học sinh là
,,A B C
.
Như vậy số cách chọn ra 3 học sinh
,,A B C
đã bị lặp.
cách.
Vậy có tất cả
24
15 30
.CC
33
15 30
.CC
42
15 30
.CC
51
15 30
.CC
6
15
C
cách chọn.
Lời giải 2 (gián tiếp).
Bước 1. Chọn ra 6 học sinh bất kỳ thì có
6
45
C
cách.
Bước 2. Chọn ra 5 học sinh nam, 1 học sinh nữ có
51
30 15
.CC
cách.
Bước 3. Chọn ra 6 học sinh nam thì có
C
.
4
43
C
cách chọn.
Phân tích. Ta dễ dàng nhận thấy rằng lời giải 1 và lời giải 2 đều đúng,
còn lời giải 3 sai. Có thể phân tích như sau: giả sử bước 1 ta chọn 2 học sinh
nữ A và B, bước 2 ta chọn tiếp 4 học sinh trong đó lại có 2 học sinh nữ C, D
và 2 học sinh nam a, b; khi đó 6 học sinh được chọn là A, B, C, D, a, b. Sau
đó, với cách khác, chẳng hạn bước 1 ta chọn 2 học sinh nữ là A và C, rồi bước
2 ta chọn 4 học sinh trong đó có 2 học sinh nữ là B, D và 2 học sinh nam a, b
thì cuối cùng ta vẫn chọn được 6 học sinh là A, B, C, D, a, b. Như vậy: 2 cách
chọn như trên chỉ là một.
- Đôi khi, học sinh mắc phải sai lầm “Xét thiếu các trường hợp trong
bài toán giải bằng phương pháp gián tiếp”. Sau đây, xét hai bài toán sau:
Bài toán 1. Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu hỏi dễ, 7 câu hỏi
trung bình và 4 câu hỏi khó. Cần chọn ra 10 câu hỏi để làm đề kiểm tra sao
cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu
đề kiểm tra?
Lời giải.
Loại 1. Chọn 10 câu hỏi tùy ý trong 20 câu hỏi có
10
20
C
cách.
Loại 2. Chọn 10 câu hỏi không thỏa mãn yêu cầu bài toán (tức là có
không quá 2 trong 3 loại dễ, trung bình và khó).
Trường hợp 1. Chọn 10 câu hỏi dễ và trung bình trong 16 câu hỏi có
10
Loại 1. Chọn 7 câu hỏi tùy ý trong 20 câu hỏi có
7
20
C
cách.
Loại 2. Chọn 7 câu hỏi không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp 1. Chọn 7 câu hỏi dễ trong 9 câu hỏi có
7
9
C
cách.
Trường hợp 2. Chọn 7 câu hỏi trung bình có 1 cách.
Trường hợp 3. Chọn 7 câu hỏi dễ và trung bình trong 16 câu hỏi có
7
16
C
cách.
Trường hợp 4. Chọn 7 câu hỏi dễ và khó trong 13 câu hỏi có
7
13
C
cách.
Trường hợp 5. Chọn 7 câu hỏi trung bình và khó trong 11 câu hỏi có
7
11
C
cách.
Vậy có tất cả
7 7 7 7 7
20 9 16 13 11
đề kiểm tra.
Lời giải 3.
Loại 1. Chọn 7 câu hỏi tùy ý trong 20 câu hỏi có
7
20
C
cách.
Loại 2. Chọn 7 câu hỏi không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp 1. Chọn 7 câu hỏi chỉ có 1 loại (là 1 loại dễ hoặc trung
bình) thì có
77
97
CC
cách.
Trường hợp 2. Chọn 7 câu hỏi có đủ 2 loại:
Dễ và trung bình (trong 16 câu hỏi dễ và trung bình thì khi chọn
ra 7 câu hỏi thì 7 câu hỏi đó hoặc thuộc cả 2 loại hoặc chỉ thuộc 1
loại) thì có
7 7 7
16 7 9
C C C
cách.
Dễ và khó thì có
77
13 9
CC
cách.
Trung bình và khó thì có
77
11 7
6
C
cách. Vậy có tất cả
12
36
45CC
cách chọn.
Lời giải 2.
Số cách chọn 3 học sinh từ 7 học sinh là
3
7
35C
cách chọn.
Số cách chọn 3 học sinh mà không có nữ (là số cách chọn 3 học sinh từ
4 học sinh nam) là:
3
4
4C
cách chọn.
Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
33
74
35 4 31CC
.
Phân tích. Lời giải 1 sai ở chỗ đã đếm đi đếm lại cùng một cách chọn.
Chẳng hạn có 7 học sinh
1,2,3,4,5,6,7
, trong đó
1,2,3,4
là các học sinh
19
CHƢƠNG 2
XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CỦA CHƢƠNG “TỔ HỢP VÀ
XÁC SUẤT” LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (BAN NÂNG CAO)
THEO HƢỚNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
2.1. Nội dung chƣơng “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học phổ thông
(ban nâng cao)
2.1.1. Mục tiêu, nhiệm vụ và cấu tạo của chương “Tổ hợp và xác suất” lớp
11 trung học phổ thông (ban nâng cao)
2.1.1.1. Mục tiêu, nhiệm vụ của chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung
học phổ thông (ban nâng cao)
Chương này cung cấp cho học sinh những hiểu biết ban đầu, cơ bản về
tổ hợp và xác suất.
§1. Hai quy tắc đếm cơ bản (1 tiết)
Bài đọc thêm. Quy tắc cộng mở rộng
§2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (3 tiết)
Luyện tập (2 tiết)
§3. Nhị thức Newton (1 tiết)
Luyện tập (1 tiết)
Em có biết? Một số mẩu chuyện về nhà Toán học Pascal
Phần B. Xác suất (11 tiết)
§4. Biến cố và xác suất của biến cố (2 tiết)
Luyện tập (1 tiết)
Em có biết? Cuốn sách tiếng Việt về Xác suất – Thống kê
xuất bản lần đầu tiên ở nước ta
§5. Các quy tắc tính xác suất (2 tiết)
21
Bài đọc thêm. Sử dụng máy tính bỏ túi trong tính toán
tổ hợp và xác suất
Luyện tập (2 tiết)
Em có biết? Xác suất và số
§6. Biến ngẫu nhiên rời rạc (2 tiết)
Bài đọc thêm. Liên hệ giữa biến ngẫu nhiên rời rạc và thống kê
Luyện tập (2 tiết)
Ôn tập và kiểm tra chương (2 tiết)
2.1.2. Những chú ý khi dạy và học chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11
trung học phổ thông (ban nâng cao)
2.1.2.1. Những chú ý khi dạy chương “Tổ hợp và xác suất” lớp 11 trung học
phổ thông (ban nâng cao)
Đối với giáo viên, khi dạy chương này cần chú ý một số vấn đề sau:
- Thực tế giảng dạy cho thấy các bài toán tổ hợp luôn là một dạng
toán khó đối với học sinh. Đặc biệt học sinh rất lúng túng không biết khi nào
quan trọng không kém.
Khi giải các bài toán về tổ hợp, ta có thể giải theo hai cách chính sau
đây:
Phương pháp trực tiếp. Phương pháp này giải quyết trực tiếp các
yêu cầu bài toán đặt ra. Nói cách khác “hỏi gì, đếm nấy” là nội dung của
phương pháp này. Dựa vào yêu cầu của bài toán, ta lựa chọn hoặc quy tắc
cộng, hoặc quy tắc nhân một cách thích hợp để giải.
Phương pháp gián tiếp. Phương pháp này dựa trên nguyên lí
“Đếm những cái không cần đếm, để biết những cái cần đếm”. Nói cách khác
theo ngôn ngữ của lí thuyết tập hợp, thì phương pháp gián tiếp thực chất dựa
vào “phép lấy phần bù”.
Copyright: Tài liệu đại học ©