Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

MẶT CẦU VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ ANH TUẤN

Tâm,bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp, lăng trụ.
CHÚ Ý. Các đáp án về bài tập mặt cầu trong chương này Thầy sẽ không dùng công thức tính nhanh,
mà chỉ dụng tính toán chi tiết bình thường, mục đích là để các em phát triển tốt hơn kỹ năng hình
không gian. Khi đi thi, nếu bài nào dùng được công thức tính nhanh của mặt cầu (hầu hết là dùng
được( thì các em nên dùng công thức tính nhanh.
I. Câu hỏi nhận biết
Câu 1. Cho hai điểm A, B phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua A và B là
A. mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB .

B. đường thẳng trung trực của AB .

C. mặt phẳng song song với đường thẳng AB . D. trung điểm của đoạn thẳng AB .
Hướng dẫn.
Chọn A.
Gọi I là tâm mặt cầu đi qua hai điểm A, B cố định và phân biệt thì ta luôn có IA  IB . Do đó I thuộc
mặt phẳng trung trực của đoạn AB .
Câu 2. Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b,c . Gọi (S) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp
chữ nhật đó. Tâm của mặt cầu (S) là
A. một đỉnh bất kì của hình hộp chữ nhật.
B. tâm của một mặt bên của hình hộp chữ nhật.
C. trung điểm của một cạnh của hình hộp chữ nhật.
D. tâm của hình hộp chữ nhật.


R 2
.
4

D.

R 2
.
8

C.

O

A

r

H

Hướng dẫn

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên  P  thì
● H là tâm của đường tròn giao tuyến của  P  và  S  .
● OA,  P    OA,AH   60 0.
Bán kính của đường tròn giao tuyến. r  HA  OA.cos600 

R
.

r

1 2
a  b2  c 2 . Do đó diện tích mặt cầu (S) là. S  4r 2  (a 2  b2  c 2 ) .
2

Câu 5. Cho đường tròn (C) và điểm A nằm ngoài mặt phẳng chứa (C) . Có tất cả bao nhiêu mặt cầu
chứa đường tròn (C) và đi qua A ?
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

A. 2.

Chuyên đề: Mũ - Logarit

B. 0.

C. 1.

D. vô số.

Hướng dẫn.
Chọn

Câu 6. Từ điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O;R) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với mặt cầu ?
A. Vô số.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Hướng dẫn.
Chọn A.

T1

+ Gọi () là mặt phẳng chứa đường thẳng MO thì dễ dàng thấy

α

(C)

rằng mp () luôn cắt mặt cầu S(O;R) theo giao tuyến là đường
tròn (C) có tâm O , bán kính R . Trong mp () , ta thấy từ điểm M

M

O
T2

nằm ngoài (C) ta luôn kẻ được 2 tiếp tuyến MT1 ,MT2 với đường tròn (C) . Hai tiếp tuyến này cũng
chính là tiếp tuyến với mặt cầu S(O;R) .

OA=k.

d

M

Trong mặt phẳng (d,O) , xét tam giác OMA vuông tại M có MH là đường

cao.

R2
Ta có. OM  OH.OA  OH 
. Do đó H cố định. Vậy M thuộc mặt
k

O

2

A

H

phẳng vuông góc với OA tại H .
Câu 8. Cho đường tròn (C) ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a , chiều cao AH . Quay
đường tròn (C) xung quanh trục AH , ta được một mặt cầu. Thể tích của khối cầu tương ứng là.
A.

4 a 3 3
.

O

2
a 3
Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp ABC , thì O  AH và OA  AH 
3
3

.
B

H

C

Bán kính mặt cầu được tạo thành khi quay đường tròn (C) quanh trục AH

là
3

a 3
4
4 a 3 
4a 3 3
R  OA 
. Vậy thể tích của khối cầu tương ứng là. V  R 3   
(đvtt).


3

D.

S1 3
 .
S2 2

Hướng dẫn.
Chọn A.

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

Xét tam giác ABC vuông tại A , ta có.

B

AC  BCsin 300  a; AB  BCcos 300  a 3 .
300
A

Diện tích toàn phần hình nón là.

Câu 10. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA  a , OB  2a , OC  3a
. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC là.
A. a 3

B.

3a
.
2

C.

a 6
.
2

D.

a 14
.
2

Hướng dẫn
Gọi M là trung điểm BC ,
suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp OBC.
Kẻ Mx   OBC  (như hình vẽ).
Suy ra Mx là trục của OBC .

Trong mặt phẳng  OA,Mx  , kẻ trung trực d của đoạn thẳng OA cắt Mx tại I .
Khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

D.

a 2
.
6

Hướng dẫn
Ta có 60o  SI,  ABC   SI,AI  SIA .
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

S

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33
d

- Trang | 5 -

x
J

A

C


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit



Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc BAD  1200 . Cạnh bên SA  a 3
và vuông góc với đáy  ABCD  .

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ACD nhận giá trị.
A.

a 13
2 3

B.

.

2a
.
3

C.

a 13
.
3

D.

a 13
3 3

.


D
G

a 39
R  IA  IG  GA 
. Chọn A.
6
2

I

2

E

C

B

Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA  BC  a . Cạnh bên SA  2a
và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là.
A.

a 2
.
2

B. 3a.


Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm SC nên IS  IC  IA .  2 
Từ  1 và  2  , ta có IS  IA  IB  IC
hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
SC
SA2  AC2 a 6
Vậy bán kính R  IS 
. Chọn
� diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = 3a, BC = 4a, SA  (ABC) , cạnh
bên SC tạo với đáy góc 600. Khi đó thể tích khối cầu ngoại tiếp S.ABC là.
A. V 

a 3
3

B. V 

50a 3
3

C. V 

5a 3
3

D. V 

500a 3
3

Hướng dẫn.


Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  2a , AD  a . Cạnh bên SA
vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng 450 . Gọi N là trung điểm SA , h là chiều cao của khối
chóp S.ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N.ABC . Biểu thức liên hệ giữa R và h
là.
5 5
4
h.
A. 4R  5h.
B. 5R  4h.
C. R 
D. R 
h.
4
5 5
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 14 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

Hướng dẫn
Ta có 450  SC,  ABCD   SC,AC  SCA .
Trong SAC , ta có h  SA  AC  a 5.

CB  SA

Lại có AH  SB .

Suy ra AH   SBC  AH  HC nên tam giác AHC vuông tại H và có O là trung điểm cạnh huyền
AC nên suy ra OH  OC .  2 

Từ  1 và  2  , suy ra
R  OH  OB  OD  OC 

a 2
. Chọn
2

C.

Câu 27. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A , cạnh huyền BC  6  cm  , các cạnh bên
cùng tạo với đáy một góc 60 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là
A. 48cm 2 .

B. 12cm 2 .

C. 16cm 2 .

D. 24cm 2 .

Hướng dẫn
Chọn A.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABC  . Gọi O là trung điểm của BC .

2
2
SBC đều cạnh bằng 6  cm   SO  3 3  SI  .SO  .3 3  2 3 .
3
3

 

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là. S  4 2 3

2



A

60

60



C

H

 48 cm 2 .

O
Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD  2a , AB  BC  CD  a .

SD
SA2  AD2
R

 a 2 . Suy ra  2. Chọn
2
2
a

D.

Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Đường thẳng SA  a 2
vuông góc với đáy  ABCD  . Gọi M là trung điểm SC , mặt phẳng    đi qua hai điểm A và M đồng
thời song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại E, F . Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm S, A, E, M, F
nhận giá trị nào sau đây?
a
a 2
A. a 2.
B. a .
C.
D. .
.
2
2
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 16 -


Lại có 
*
 BC   SAB   BC  AE .  * B
 BC  SA

D
O
C

Từ  *  và  * *  , suy ra AE   SBC   AE  SB . Tương tự ta cũng có AF  SD.
Do đó SEA  SMA  SFA  900 nên năm điểm S, A, E, M, F cùng thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm
của SA , bán kính R 

SA a 2
. Chọn

2
2

C.

Câu 30. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BC  a . Cạnh bên SA vuông
góc với đáy  ABC  . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh bên SB và SC . Thể tích
của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKCB là.
a 3
2a 3
.
A.
B. 2a 3 .
C.


2
2
2

4
2a 3
Vậy thể tích khối cầu V  R 3 
(đvtt). Chọn A.
3
3
Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , BD  a . Hình chiếu vuông góc

H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy  ABCD  là trung điểm OD . Đường thẳng SD tạo với mặt đáy một

góc bằng 600 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD nhận giá trị nào sau đây?
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 17 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

A.

a
.

4
4
cos SDH 2

Trong tam giác vuông SHB , có
SB  SH2  HB2 

a 3
.
2

Xét tam giác SBD , ta có SB2  SD2  a2  BD2 .
Suy ra tam giác SBD vuông tại S .
Vậy các đỉnh S, A, C cùng nhìn xuống BD dưới một góc vuông nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABCD là O , bán kính R 

1
a
BD  . Chọn
2
2

C.

Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Mặt bên SAB là tam giác vuông
tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là.
A.

2a 3
.

Ta có 
OM

SH


Từ  1 và  2  , ta có OS  OA  OB  OC  OD.
Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD , bán kính R  OA 

a 2
.
2

4
2a 3
Suy ra V  R 3 
(đvtt). Chọn A.
3
3
Câu 33. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 18 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)


2

Trong tam giác vuông SHA , ta có SH  AH.tan SAH 

3a
.
2

Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với  SAB  nên bán kính mặt cầu R  d G,  SAB  .
1
2
Ta có d G,  SAB   d C,  SAB   d H,  SAB  .
3
3
Gọi M, E lần lượt là trung điểm AB và MB .

CM  AB
HE  AB


Suy ra 
a 3 và 
1
a 3.
HE  CM 
CM 
2
4
2


Câu 34. Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Tính bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình lăng trụ đó.

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 19 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

A.

a 39
.
6

B.

a 12
.
6

Chuyên đề: Mũ - Logarit

C.

2a 3


A

a2
2a 3
 a2 
.
3
3

C
a

G
B

2a 3
.
3

Câu 35. Một hình lập phương có diện tích mặt chéo bằng a 2 2 . Gọi V là thể tích khối cầu và S là diện
tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương nói trên. Khi đó tích S.V bằng.
A. S.V 

3 3 2 a 5
2

B. S.V 

3 2 a 5

+) Vậy SV 

3 3 2 a 5
 Chọn A.
2

Câu 36. Cho hình lập phương ABCD.A' B'C' D' có độ dài mỗi cạnh là 10cm . Gọi O là tâm mặt cầu đi
qua 8 đỉnh của hình lập phương. Khi đó, diện tích S của mặt cầu và thể tích V của hình cầu là.
A. S  150 (cm2 ); V  125 3(cm 3 ) .

B. S  100 3 (cm2 ); V  500 (cm 3 ) .

C. S  300 (cm2 ); V  500 3 (cm 3 ) .

D. S  250 (cm2 ); V  500 6 (cm 3 ) .

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 20 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

Hướng dẫn.
A

 

4
4
+ Thể tích khối cầu. V  R 3   5 3
3
3

C'

B'

 300 (cm 2 ) .
3

 500 3 (cm 3 ) .

Câu 37. Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy là tam giác vuông tại A , AB  2a 3 . Đường chéo
BC tạo với mặt phẳng  AACC  một góc bằng 60 . Gọi  S  là mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã

cho. Bán kính của mặt cầu  S  bằng
A.

a
.
2

B. a.

C. 3a.


a 21
.
4

C.

a 21
.
2

D.

a 21
.
8

Hướng dẫn
Ta có 600  AB',  ABC   AB',AB  B'AB .
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 21 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

2
2
4

B.

Câu 39. Cho lăng trụ đứng ABC.A' B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng  AB'C'  tạo với
mặt đáy góc 600 và điểm G là trọng tâm tam giác ABC . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
G.A' B'C' bằng.

A.

85a
.
108

B.

3a
.
2

C.

3a
.
4

31a
.

Gọi G' là trọng tâm tam giác đều A' B'C' , suy ra G' cũng là tâm đường
tròn ngoại tiếp A' B'C'.

C'
G'
B'

Vì lặng trụ đứng nên GG'   A' B'C'  .
Do đó GG' là trục của tam giác A' B'C' .

Trong mặt phẳng  GC'G'  , kẻ trung trực d của đoạn thẳng GC' cắt GG' tại I . Khi đó I là tâm mặt
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 22 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

cầu ngoại tiếp khối chóp G.A' B'C' , bán kính R  GI.
Ta có GPI
 R  GI 

GG'C' 

GP GG'

33.D

37.D

2.D

6.A

10.D

14.C

18.B

22.C

26.C

30.A

34.C

38.B

3.C

7.A

11.B


36.C

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

Giáo viên

: Lê Anh Tuấn

Nguồn

:

Hocmai.vn

- Trang | 23 -