GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM
Face : Hoàng Trọng Tấn

Tel : 0909520755 ,
Page : Trắc Nghiệm Toán

PP GIẢI NHANH BÀI
TOÁN MẶT CẦU NGOẠI
TIẾP HÌNH CHÓP

HOÀNG TRỌNG TẤN
0909520755,TÂN PHÚ,TPHCM


GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM
Face : Hoàng Trọng Tấn

Tel : 0909520755 ,
Page : Trắc Nghiệm Toán

PP tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp các loại
Loại 1 : Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông.
Gọi d là độ dài đoạn thẳng trên thì ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp là: R

d
2

Ví dụ : Cho hình chóp SABC có tam giác ABC vuông tại B , SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC) và SC=2a . Tính diện tích và thể tích mặt cầu ngoài tiếp hình chóp trên
Giải :
Dễ thấy tam giác SAC vuông tại A , tam giác SBC vuông tại B từ đó hình chóp này loại

Face : Hoàng Trọng Tấn

Tel : 0909520755 ,
Page : Trắc Nghiệm Toán

Gọi h là độ cao hình chóp và k là chiều dài cạnh bên thì ta có bán kính mặt cầu là :
k2
2h

R

Ví dụ : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC , có AB=a và cạnh bên SA=2a , tính diện tích
và thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên
Giải : gọi G là trọng tâm tam giác thì ta có SG vuông góc với mặt phẳng (ABC)
Thế thì SA k,SG h nên R mặt cầu :
R

SA2
2SG
SA2

R

2 SA2

AG 2

SA2

R


R
2 SA2

AB 2
2

2

Loại 3 : Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

2 14
a
7


GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM
Face : Hoàng Trọng Tấn

Tel : 0909520755 ,
Page : Trắc Nghiệm Toán

Gọi h là chiều cao hình chóp và Rd là bán kính của đáy thì bán kính mặt cầu :
R

Rd

h
2



2

2

a 21
2

Ví dụ : cho hình chóp SABC có cạnh SA vuông góc với đáy , ABC là tam giác đều cạnh =
a , SA dài 2a . Tính diện tích và thể tích mặt cầu ngoại tiếp SABCD
Giải : Ta có Rday

2
AM
3

2
3
AB.
3
2

3
AB và SA=h
3

Áp dụng công thức ta có :
2 3
AB
6

2

2

R

a 2

Ví dụ : cho hình chóp SABC có cạnh SA vuông góc với đáy , ABC là tam giác cân tại A
và AB=a và góc A =120 độ , SA dài 2a . Tính diện tích và thể tích mặt cầu ngoại tiếp
SABC


GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM
Face : Hoàng Trọng Tấn

Giải : Ta có : Rday

AB.BC .CA
4S ABC

Áp dụng công thức ta có : R
Diện tích : S

4 (a 2)2

a.a 3.a

a và SA=2a



8 2 3
a
3

Loại 4: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Đối với loại này thì mặt bên vuông góc thường là tam giác vuông , tam giác cân hoặc
đều
Gọi h là chiều cao hình chóp và Rb , Rd là bán kính của mặt bên , mặt đáy , GT là độ dài
giao tuyến của mặt bên và đáy thì bán kính mặt cầu :
R

Rb 2

Rd 2

GT 2
4

Ví dụ : cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy . Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp


GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM
Face : Hoàng Trọng Tấn

Tel : 0909520755 ,
Page : Trắc Nghiệm Toán
AB , bán kính đáy Rd


Rd 2
2

a 2
2

a2
4

a 21
6

Ví dụ : cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SAB cân tại S
và có cạnh SA=2a, Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
Giải : Giao tuyến của mặt bên và đáy là : GT
kính mặt bên (SAB) là Rb

SA.SB.AB
4S SAB

4 15
a,
15

R

a 4 15
15

R

Các loại mặt cầu khác thì ta nên sử dụng hệ trục cho dễ xử lý hơn là làm thuần túy

Bài Tập vận dụng
Câu 1: Hình cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đều tam giác có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng
2a là
A.

4

3a 3
27

B.

3a 3

32
9

C.

32

2a 3
27

Câu 2: Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB
; SA

a 5 và SA

Face : Hoàng Trọng Tấn

Tel : 0909520755 ,
Page : Trắc Nghiệm Toán

3a 3
2a 3
a3
a3
B.
C.
D.
3
3
3
6
Câu 4: Thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là
A.

2a 3
2a 3
4 a3
B.
C.
12
3
3
Câu 5: Thể tích hình cầu ngoại tiếp hình tứ diện đều có cạnh bằng a là
A.


1296
Câu 7: Thể tích của hình cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh bằng a là
A.

3a 3
4 a3
C.
D. a 3
2
3
Câu 8. Mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a (mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của
hình lập phương) có thể tích bằng:
A. 4

3a 3

a3
A.
6

B.

4 a3
B.
3

8 a3
C.
3



B.

4 a3
3

C.

4 a3 2
3

D. 2a3

Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Diện tích mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp bằng:
4 a2
A.
3

B. 4 a 2 2

C. a2

D. 2a2

Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = a 2 , SA(ABC),
SC tạo với đáy một góc 450. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng:


GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM

8 a3 2
3

B.

4 a3 2
3

C.

4 a3 3
3

D.

4 a3
3

Câu 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = a 3 ,
SAB SCB 900 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a 2 . Tính diện
tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.

A. 2 a 2

B. 8 a 2

C. 16 a 2

D. 12 a 2


B. Trung điểm cạnh SC.

C. Giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

D. Trọng tâm tam giác SAC.

Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB

SA

(ABC ) , SA
A. 2 5cm

1cm, BC

3cm ,

4 cm . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng:

B. 5cm

C.

2cm

D.

19
cm
2


a

B.

2
4 1

3

a

C.

3
2 1

3

a

D.

3
4 1

3

a


tiếp tứ diện GABC theo a bằng:
A.

7 2
a
6

B.

49 2
a
36

C.

49
a2
144

D.

49
a2
108

Câu 23: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt bên và
đáy bằng 450 . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:
A.

3 a2


1 2
a
2

b2

c2

C. abc

D.

c2

Câu 25: Cho tứ diện DABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt
đáy. Biết AB = 3a, BC = 4a, DA = 5a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp DABC có bán
kính bằng:
A.

5a 2
2

B.

5a 2
3

C.


8

B.

a3 6
6

C.

a3 6
4

D.

a3 6
6