1
TUYỂN TẬP CÔNG THỨC GIẢI NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN
Biên soạn: Đoàn Trí Dũng - Điện thoại: 0902.920.389
VẤN ĐỀ 1: CÁC CÔNG THỨC THỂ TÍCH TỨ DIỆN KHÓ:
abc
• Công thức 1: VS.ABC =
1 − cos2 α − cos2 β − cos2 ϕ + 2 cos α cos β cos ϕ
6
1
• Công thức 2: VABCD = AB.CD.d (AB, CD) sin AB, CD
6
2S1 S2 sin α
• Công thức 3: VSABC =
(Công thức thể tích góc nhị diện)
3a
√
a3 2
• Công thức 4: Thể tích tứ diện đều VABCD =
12 √
2
• Công thức 5: Thể tích tứ diện gần đều: VABCD =
(a2 + b2 − c2 ) (b2 + c2 − a2 ) (a2 + c2 − b2 )
12
VẤN ĐỀ 2: GÓC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:

• Góc loại 1: (SA, (P )) = SAH (Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy).
• Góc loại 2: (SB, (SIC)) = BSF (Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đứng chứa đường cao SI).
• Góc loại 3: (SK, (SDE)) = KSG (Góc giữa đường cao SK và mặt bên (SDE)).
VẤN ĐỀ 3: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG:

• Góc loại 1: ((SAB), (P )) = SCD (Góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy).

abc
+ Nếu đáy là tam giác thường thì áp dụng công thức Heron: RD =
4 p (p − a) (p − b) (p − c)
1
2
• Mặt cầu loại 3: Nếu O.ABC là tam diện vuông tại O thì R = (OA2 + OB 2 + OC 2 ).
4
SA2
• Mặt cầu loại 4: Nếu chóp có các cạnh bên bằng nhau thì: R =
. Trong đó O là tâm của đáy và:
2SO
+ Nếu đáy là tam giác đều thì O là trọng tâm, trực tâm.
+ Nếu đáy là tam giác vuông thì O là trung điểm cạnh huyền.
+ Nếu đáy là hình vuông, hình O là giao điểm hai đường chéo và là trung điểm mỗi đường.
AB 2
• Mặt cầu loại 5: Nếu hai mặt vuông góc với nhau thì R2 = R12 + R22 −
trong đó AB là giao tuyến.
4
• Mặt cầu loại 6: Chóp S.ABC tổng quát có chiều cao SH và tâm đáy là O thì ta giải phương trình:
2 để tìm x. Với x tìm được ta có R2 = x2 + R2 .
(SH − x)2 + OH 2 = x2 + RD
D
3V
.
• Mặt cầu loại 7: Bán kính mặt cầu nội tiếp: r =
Stp
• Một số vấn đề khác của mặt cầu:
√
2√ 2
a + b2 + c2 .

+ Đặc biệt nếu AB và CD vuông góc nhau thì: VABCD = AB.CD.OO .
6
• Hình 3: (AB, OO ) = A AB.
• Hình 4: d(AB, OO ) = O M .
• Hình 5: Nếu ABCD là một hình vuông nội tiếp trong hình trụ √
thì đường chéo của hình vuông cũng
bằng đường chéo của hình trụ. Nghĩa là: Đường chéo hình vuông = 4R2 + h2 .
VẤN ĐỀ 7: CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÌNH NÓN, KHỐI NÓN VÀ NÓN CỤT:

• Hình 1:
1
+ Các công thức nón cụt: V = πh R2 + Rr + r2 , Sxq = πl (R + r) , Stp = π R2 + r2 + l (R + r) .
3
+ Thiết diện vuông góc trục cách đỉnh một khoảng x cắt hình nón theo một đường tròn có bán kính là r.
r
x
+ Nếu h là chiều cao của hình nón ban đầu thì ta có tỉ số:
= .
R
h
+ Thiết diện chứa trục là một tam giác cân.
√
+ Nếu tam giác đó vuông cân thì h = R. Nếu tam giác đó là tam giác đều thì h = R 3.
• Hình 2:
+ Thiết diện đi qua đỉnh mà không chứa trục cắt hình nón theo một tam giác cân SAB:
+ (SO, (SAB)) = OSM , ((SAB), (ABC)) = SM O.
+ Nếu M là trung điểm của AB thì AB⊥ (SM O).
VẤN ĐỀ 8: CÁC VẬT THỂ TRÒN XOAY TRONG KHÔNG GIAN:
h
• Các công thức chỏm cầu: Sxq = 2πRh và V = πh2 R −

R3 tan α.

3

x
a 3
1
+ Sparabol
=
. Vparabol = πR2 h
h
R
2
π2
• Thể tích cái phao: V =
(R + r)(R − r)2 .
4

Selip = πab.

VẤN ĐỀ 9: CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA OXYZ:
• Xác định điểm thông qua hệ thức vector:

 2 (xA − xM ) − 3 (xB − xM ) = 0
−−→
−−→ →
−
2 (yA − yM ) − 3 (yB − yM ) = 0 .
+ Lý thuyết cơ bản: 2M A − 3M B = 0 thì:



5
→
− −
−
+ Ba vector đồng phẳng: →
a, b →
c = 0 (Nếu = 0 là không đồng phẳng).
−−→ −→ −−→
+ Bốn điểm đồng phẳng: AB, AC AD = 0 (Nếu = 0 là không đồng phẳng).
1 −−→ −→
1 −−→ −→ −−→
AB, AC AD , diện tích tam giác: SABC =
AB, AC .
+ Thể tích: VABCD =
6
2
−−→ −−→ −−→
+ Thể tích hình hộp: VABCD.A B C D = AB, AD AA . Chú ý: Nếu một hình hộp chữ nhật biết diện
√
tích ba mặt bên thì thể tích của nó: V = S1 S2 S3 .
→, −
→ −−→
[−
u
1 u2 ] AB
với A ∈ d1 , B ∈ d2 .
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng: d (d1 , d2 ) =
→, −
→

→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
+ Mối quan hệ vuông góc: P ⊥P ⇒ n ⊥ n , d⊥d ⇒ u ⊥ u , P ⊥d ⇒ n = u .
−−→
−
−
−
Nếu d ⊂ P ⇒ →
n ⊥→
u , A, B ⊂ P ⇒ →
n ⊥AB.
→
− − →
→
− −
−
−
+ Mối quan hệ vuông góc của 2 cặp vector: →
a⊥b, →
a ⊥−c ⇒ →
a = b ,→
c .

+ Bài toán 3: Nếu VO.ABC min thì M là trọng tâm tam giác ABC.
1
1
1
+ Bài toán 4: Nếu
+
+
min thì M là trực tâm tam giác ABC.
2
2
OA
OB
OC 2
a b c
1√ 2
+ Bài toán 5: Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là I
, ,
. Bán kính: R =
a + b2 + c2 .
2 2 2
2
Chú ý về tam diện vuông: Tổng bình phương diện tích các mặt bên bằng bình phương diện tích mặt
2
2
2
2
còn lại: SOAB
+ SOBC
+ SOCA
= SABC

n→
• Bài toán 3: Viết (P ) chứa d sao cho ((P ), (Q)) nhỏ nhất: −
P = [ud , [ud , nQ ]].
→= −
−
→ −−→
• Bài toán 4: Viết d nằm trong (P ) và qua A sao cho d(M, d) nhỏ nhất: −
u
n→
P , nP , AM .
d
−
→ −
→ −−→ với A bất kỳ trên d.
n→
• Bài toán 5: Viết (P ) chứa d sao cho d(M, (P )) lớn nhất: −
P = ud , ud , AM


6
−−→
→= −
u
n→
• Bài toán 6: Viết d nằm trong (P ) và qua A sao cho d(M, d) lớn nhất: −
P , AM .
d
VẤN ĐỀ 11: CÁC DẠNG TOÁN SỐ PHỨC HAY VÀ KHÓ:
• Nếu quỹ tích của M (z) là đường tròn tâm I(a, b) bán kính R đồng thời module của số phức cần tìm
max = IJ + R

2
in+1 − 1
nin+1 − (n + 1)in + 1
.
• Một số tổng đặc biệt: 1+i+i2 +...+in =
và 1+2i+3i2 +...+(n+1)in =
i−1
(i − 1)2
−−→−−−→
• Một số đẳng thức đặc biệt: |z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2(|z1 |2 + |z2 |2 ) và zz + zz = 2OM OM .
z
• Nếu
là số thuần ảo thì ∆OM M là tam giác vuông tại O.
z
VẤN ĐỀ 12: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍCH PHÂN:
1
1
ax + b
dx =
ln
•
+C
(ax + b) (cx + d)
ad − bc
cx + d
1
x
1
1
x


a

f (x) dx = 0. Nếu f (x) là hàm chẵn thì
−a

a

f (x) dx = 2
−a

f (x) dx
0

b

• Dạng toán tìm hằng số C: F (b) =

f (x) dx + F (a).
a

b

b
1
(pf (x) + qf (a + b − x))dx.
p+q a
a
a
• Nếu tích phân phân thức có bậc tử lớn hơn hoặc bằng bậc mẫu phải chia đa thức.

•v=

f (a + b − x)dx =

a (t) dt: Vận tốc là nguyên hàm của gia tốc theo thời gian.
b

•s=

v (t) dt: Quãng đường là tích phân của vận tốc giữa hai thời điểm t = a và t = b.
a
b

f 2 (x) − g 2 (x) dx

• Thể tích tròn xoay quanh trục hoành: V = π
a
b

• Thể tích tròn xoay quanh trục tung V = 2π

|xf (x)| dx
a


7
b

• Thể tích của vật thể có thiết diện với diện tích S(x): V =


a0
• Đồng biến trên đoạn có độ dài δ:
và nghịch biến trên đoạn có độ dài δ:
.
|x2 − x1 | = δ
|x2 − x1 | = δ
• Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của hàm số bậc ba y = f (x) =
ax3 + bx2 + cx + d là y = mx + n trong đó mx + n là dư thức trong phép chia f (x) cho f (x).
2 b2 − 3ac
bc
x+d− .
• Phương trình đường thẳng qua hai cực trị: y = −
9a
9a
b
c
• Định lý Viet với cực trị: x1 + x2 = −
x1 x2 =
.
3a
3a
b
• Phương trình bậc 3 có ba nghiệm lập thành cấp số cộng khi có 1 nghiệm là x = − , lập thành cấp số
3a
3 d
nhân nếu 1 nghiệm là x = −
.
a
• Cách nhận diện đồ thị hàm số bậc 3:

a
+ Tam giác ABC đều khi tan 300 = 2 ⇔ a = 3 3.
a
√
a
1
0
+ Tam giác ABC có góc 120 khi tan 600 = 2 ⇔ a = √
.
3
a
3
√
√
5
+ Tam giác ABC có diện tích là S khi S = a2 a ⇔ a = S 2 .
abc
2S
+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp R =
, bán kính đường tròn nội tiếp: r =
.
4S
a+b+c
• Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng nếu 9b2 = 100ac.
+ Tam giác ABC vuông cân khi

√

=


|cxM + d|
2
|ad − bc|
2
+ IA =
và IB = |cxM + d| với I là giao 2 tiệm cận.
|c|
|cxM + d|
|c|
2
+ Diện tích tam giác IAB không đổi: SIAB = 2 |ad − bc|.
c
Đặc biệt chú ý: Điểm M thỏa mãn một trong các yếu tố: Tổng khoảng cách đạt giá trị nhỏ nhất/Chu
vi tam giác IAB nhỏ nhất/Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất/Khoảng cách từ I tới tiếp
tuyến đạt giá trị lớn nhất thì điểm M đó phải thỏa mãn tính chất: IA = IB ⇔ |y (xM )| = 1.
• Cách nhận diện đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất:
+ Khoảng cách từ M tới TCN:

a
. Nếu tiệm cận ngang nằm trên Ox thì ac > 0 còn nếu nằm dưới thì ac < 0.
c
d
+ Tiệm cận đứng x = − . Nếu tiệm cận đứng nằm bên trái Oy thì cd > 0 còn nếu bên phải thì cd < 0.
c
b
+ Giao Oy: y = . Nếu giao điểm này nằm trên Ox thì bd > 0 còn nếu nằm dưới thì bd < 0.
d
b
+ Giao Ox: x = − . Nếu giao điểm này nằm bên trái Oy thì ab > 0 còn nếu bên phải thì ab < 0.
a

r%
n
(1 + r%) − 1
+ Khi hoàn thành trả góp thì ta giải phương trình: P (1 + r%)n = a
.
r%
• Bài toán 2: Đem số tiền a hàng tháng đi gửi ngân hàng thu được số tiền P = a(1 + r%)

VẤN ĐỀ 18: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH:
• ax2 + bx + c ≥ 0∀x ∈ R ⇔ ∆ ≤ 0, a > 0 và ax2 + bx + c ≤ 0∀x ∈ R ⇔ ∆ ≤ 0, a < 0.
• ax2 + bx + c ≥ 0∀x > 0 ⇔ ∆ ≤ 0, a > 0 hoặc a, b, c ≥ 0.
• ax2 + bx + c ≤ 0∀x > 0 ⇔ ∆ ≤ 0, a < 0 hoặc a, b, c ≤ 0.
• ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt dương khi ∆ > 0, S > 0, P > 0.
• ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt âm khi ∆ > 0, S < 0, P > 0.
• ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm trái dấu khi P < 0.
• ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 < α khi ∆ > 0, (x1 − α)(x2 − α) > 0, x1 + x2 < α.
• ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt α < x1 < x2 khi ∆ > 0, (x1 − α)(x2 − α) > 0, x1 + x2 > α.
• ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < α < x2 khi ∆ > 0, (x1 − α)(x2 − α) < 0.
• m = f (x) có nghiệm khi m ∈ [min, max]; m ≥ f (x) có nghiệm khi m ≥ min;m ≤ f (x) có nghiệm khi
m ≤ max.
• m ≥ f (x)∀x khi m ≥ max;m ≤ f (x)∀x khi m ≤ min.
Biên soạn: Đoàn Trí Dũng - Điện thoại: 0902.920.389