Đặt vấn đề
Là giáo viên dạy toán trong các trờng THCS tôi nhận thấy phần đông các em
học yếu môn toán vì các lý do sau :
1/ Không hiểu kiến thức và không nắm vững kiến thức .
2/ Lý do quan trọng hơn là : Các em cha biết cách làm toán mà ta gọi là ph-
ơng pháp, nhất là các phơng pháp đặc trng cho từng dạng, cho từng loại toán.Muốn
chứng minh cho một đẳng thức, một bất đẳng thức thì phải làm sao ? Tìm giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất của một biểu thức hàm số thì phải làm thế nào? ... Các em không
nắm chắc.
Vì vậy làm thế nào để giúp HS hiểu rõ bản chất của các loại toán, vân dụng
kiến thức vào để giải hay cụ thể hơn là phơng pháp giải các loại toán thế nào. Giải
quyết đợc vấn đề đó không phải dễ khi mà phân phối chơng trình môn toán THCS
không dành một tiết nào cho giáo viên dạy một cách hệ thống các phơng pháp giải
các bài toán một cách cụ thể mà chúng chỉ xuất hiện đơn lẻ.
Trong chơng trình toán THCS các bài toán tìm GTLN, GTNN chiếm một vị
trí quan trọng. Các bài toán này rất phong phú, nó đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức,
vân dụng một cách hợp lý, khá độc đáo và nhiều cách giải. Vì vậy các bài toán tìm
GTLN, GTNN gọi chung là Những bài toán cức trị theo tôi là dạng toán rất hay,
nó giúp HS phát triển trí thông minh, sáng tạo, khả năng t duy toán học cao.
Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức, đọc các tài liệu, nghiên cứu thực tế
giảng dạy của giáo viên, cách học tập của HS, qua những năm dạy toán ở trờng
THCS, kết hợp với vốn kiến thức sau những năm đợc đào tạo tại trờng S phạm tôi đã
rút ra đợc một số bài học kinh nghiệm và mạnh dạn lấy đề tài nghiên cứu Bài toán
cực trị và phơng pháp giải.
Nội dung đề tài
1
I/ Yêu cầu :
1/ Với giáo viên :
- Xây dựng cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị và phơng pháp giải cho từng
dạng toán.
- Phân loại các bài tập và hệ thống từ dễ đến khó.


k thì cha đủ để kết luận về
GTNN hoặc GTLN của biểu thức .
Ví dụ :
Tìm GTNN của biểu thức : A = (x 1)
2
+ (x 3)
2

2
Giải :
Ta có : (x 1)
2
0 x (1)
(x 3)
2
0 x (2) A 0 x nhng không thể kết luận đợc
Min A = 0 vì không xảy ra đồng thời (1) và (2).
Ta có : A = x
2
2x + 1 + x
2
6x + 9 = 2(x
2
4x + 5) = 2(x - 2)
2
+ 2 2 x
Vậy Min A = 2 đạt đợc x 2 = 0 x = 2.
2/ Một biểu thức có thể có GTLN, GTNN hoặc chỉ có một trong hai giá trị
trên :

0 x 2(x 3)
2
0 x
2(x 3)
2
3 - 3 x
Min A = - 3 (x 3) = 0 x = 3
Vậy Min A = - 3 x = 3
Ví dụ 2 :
Tìm GTNN của biểu thức B = (x 1)
2
+ (x 5)
2
Giải :
Ta có B = (x
2
2x + 1)

+ (x
2
10x + 25)
= 2x
2
12x + 26
= 2(x
2
6x + 9) + 8
= 2(x 3)
2
+ 8

6
Ta có (x - 3)
2
0 x - (x - 3)
2
0 x
- (x - 3)
2
6 - 6 x
Max C = - 6 đạt đợc x 3 = 0 x = 3
Vậy Max C = - 6 x= 3
Ví dụ 4 :
Tìm GTNN của D =
Giải :
TXĐ : Đ = { x R/ x 2004} Chú ý :
Khi tìm GTLN, GTNN của biểu thức có chứa căn thức ta phải chú ý tới miền
xác định của biểu thức.
4
2004xx

Đ
4
8017
x
4
8015
D MinVậy

++=
+==












0
2
1
4
8015
2
1
4
8015
4
1
(
2
2
2
Đ x2004 -x

2
+ 5x + 4 + 1)
2
– 1
= (x
2
+ 5x + 5)
2
– 1
Ta cã (x
2
+ 5x + 5)
2
≥ 0 ∀x ⇒ (x
2
+ 5x + 5)
2
– 1 ≥ - 1 ∀x
⇒ Min E = - 1 ⇔ x
2
+ 5x + 5 = 0
⇒
VËy Min E = - 1 ⇔
VÝ dô 6 :
T×m GTNN cña biÓu thøc F(x,y) = x
2
+ 2y
2
– 2xy – 4y + 5
Gi¶i :

T×m GTNN cña biÓu thøc
G = x
2
+ 2y
2
– 3z
2
– 2xy + 2xz – 2x – 2y – 8z +2010
Gi¶i :
Ta cã : G = x
2
+ 2y
2
– 3z
2
– 2xy + 2xz – 2x – 2y – 8z +2010
= (x- y + z – 1)
2
+ (y + z – 2)
2
+ (z – 1)
2
+2004
V× : (x- y + z – 1)
2
≥ 0 ∀ x,y,z
(y + z – 2)
2
≥ 0 ∀ y,z
(z – 1)

+
=
2/ Các bài tập áp dụng :
Bài 1 :
Tìm GTNN của các biểu thức :
A = 2x
2
+ 3x + 1
B = (x - 1)(x - 2)(x - 3)
C = x
4
+ 2x
3
+ 3
D =
Bài 2 :
Tìm GTLN của các biểu thức :
E = - 5x
2
- 4x + 1
F = - (2x 1)
2
1
Bài 3 :
Tìm GTNN của biểu thức :
H = x
2
+ 2y
2
- 2xy + 2x


Min B = 2 x(2 x) 0 0 x 2
6
1993xx

4
4 4xxx B
22
++=
2x2xx2 x) - (2
4 4xxx B
22
x
22
=++=+=
++=
x
Ví dụ 3 :
Tìm GTNN của biểu thức
Giải :
Tập xác định : D = { x R/ x - 1}

Ta có :

Vậy Min C = 2
Ví dụ 4 :
Tìm GTLN của biểu thức
Giải :
Tập xác định : Đ = { a R/ a 1}
Ta có :

22
=+=
=
++=
1 a 1 a 1 a 1 a D
1 a (1 a ( D
1 a 8 1 -a1 a 4 - 1 -a D
22
x 16x - 64x E
++=
232
1997 3994x - xxx F
+++=
2
19963992
)1)1
++++++=
3333
x 2(1 xx 2(1x G
4
1
44
+++=
xxxx
22
H
21111
)1()1(
22
=++++++++=

1
+ a
2
+ ......+ a
n
là hằng số (a
1
.a
2
...... a
n
)Max
a
1
= a
2
= ......= a
n
b/ Nếu a
1
.a
2
...... a
n
là hằng số (a
1
+ a
2
+ ......+ a
n


+++
0x với
x
x
A

+
+
=
3
16
( )
3
3
26
3
25
36
3
25
3
3
25
3
9
3
259
3
16

x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

x
x
A
4x
33
25
3x
=
+
=+
3y)y)(2xx).3(4.2(3
6
1
+=
36B.6
6
1
B

12 = 5a + 3b
Ví dụ 5 :
Cho a, b là hai số dơng, thoả mãn ab = 216.
Tìm GTNN của biểu thức : E = 6a + 4b
Giải :
Vì a, b là hai số dơng 6a, 4b cũng là hai số dơng. áp dụng BĐT Cauchy ta có :
6a + 4b
Vậy Min E = 144 đạt đợc 6a = 4b a = 12, b = 18
Ghi nhớ : Qua các ví dụ áp dụng BĐT Cauchy ta thấy bất đẳng thức
Cauchy chỉ áp dụng đợc với hai số dơng. Ngoài điều kiện đó ta không thể áp dụng
đợc.
+ Nếu biết đợc tổng của các số dơng là hằng số thì ta tìm đợc giá trị lớn nhất
của các số đó.
+ Nếu biết đợc tích của các số dơng là hằng số thì ta tìm đợc giá trị nhỏ nhất
của các số đó.
2/ Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Tìm GTLN của biểu thức sau :
F =
Bài 2 : Tìm GTNN của biểu thức sau :
9
1
=+
y
b
x
a
1
=+
y
b

y
bx
x
ay
2
+
b
a
y
x
y
bx
x
ay
ab2ba
ab2ba
MinC
0yx,C
==++
++
=
>
5
6
b2,a65b3a
5
12
DMax:Vậy
5
12

, b
2
, ......, b
n
ta có BĐT
(a
1
b
1
+ a
2
b
1
+ ......+ a
n
b
n
)
2
(a
2
1
+ a
2

2
+ ......+ a
2

n

+ 1
2
) = 50 |x + 2y|
Hay - M

Vậy Max M = 5 Min M = - 5
Ví dụ 2 :
Cho x, y là hai số thực thoả mãn x
2
+ y
2
=1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức :
N =
Giải :
áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có :
N
2
=
Ta có (x
2
+ y
2
) 2(x
2
+ y
2
) = 2
Ví dụ 3 :
Cho x, y, z là ba số thực thoả mãn xy + yz + xz = 4. Tìm GTLN, GTNN của biểu
thức : P = x

b
a
n
n
2
2
1
1
===
........
50
50
50
2
4
25
2
25
=
=
y
x
2
4
25
2
25
=
=
y

2

Mặt khác áp dụng hai lần BĐT Bunhiacopxki ta có :
(x
2
+ y
2
+ z
2
)
2
(1
2
+ 1
2
+ 1
2
)( x
4
+ y
4
+ z
4
) (2)
Từ (1) và (2) ta có 3( x
4
+ y
4
+ z
4

2
+ t
2
)
Từ giả thiết ta suy ra :
Kết hợp (1) và (2) ta có :
S
2
S 2 0 - 1 S 2
11
3
32
3
16
3
16
z y x
444
====
++
z y x khi P MinVậy
( ) ( )
babybaax
ba
ba
yx
b
y
a
x

++






























2
4
1
4
1
tt
4
1
yy
4
1
xx
++



















1
x
a
=+
y
b