ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI
VŨ THỊ HẢI THANH
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60 46 40
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS Nguyễn Đình Sang
Hà Nội - 2012
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
1 Cực trị hàm số 1
1.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Các phương pháp tìm cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Áp dụng điều kiện cần, điều kiện đủ . . . . . . . 2
1.2.2 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức . . . . . . . 9
1.3 Một số bài toán tổng quát và ứng dụng . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Bài toán tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Bài tập tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 19
2.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số . . . 19
2.1.2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một tập hợp 20
2.1.3 Một số tính chất của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.4 Một số định lý về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 24

Chương 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Phần đầu của chương trình bày định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số trên một tập, điều kiện đủ để tồn tại giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của hàm một biến và các tính chất của giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất. Trong phạm vi chương trình phổ thông, hàm số nhiều
biến không được nghiên cứu. Vì vậy để tìm giá trị lớn nhất, giá nhỏ nhất
của hàm nhiều biến, ta phải quy về bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của một tập hợp số. Phần tiếp theo luận văn trình bày một
số phương pháp khác nhau để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất trong đó dành nhiều thời gian cho phương pháp bất đẳng thức.
Phần cuối chương là một số bài toán vận dụng phối hợp nhiều phương
pháp.
Lời cảm ơn
Hoàn thành được luận văn này, ngoài sự nỗ lực của bản thân, tôi đã
nhận được sự chỉ bảo, giúp đỡ từ nhiều phía của các thầy, cô giáo, gia
đình và bạn bè.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy kính mến PGS.TS.
Nguyễn Đình Sang, người đã trực tiếp truyền thụ kiến thức, quyết định
hướng nghiên cứu và tận tình hướng dẫn cho tôi hoàn thành bản luận
văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học,
Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, những
người đã trực tiếp giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại
trường cùng toàn thể bạn bè và người thân đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ,
động viên tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận
văn này.
Ứng dụng của bài toán cực trị có rất nhiều, nhưng vì giới hạn trong
phương pháp toán sơ cấp và hạn chế trong một luận văn thạc sĩ nên bản
luận văn mới chỉ trình bày được một phần nào đó. Do thời gian có hạn
và năng lực có phần hạn chế nên chắc chắn luận văn không tránh khỏi

C tập số phức
[a; b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}
(a; b) = {x ∈ R|a < x < b}
(a; b] = {x ∈ R|a < x ≤ b}
v
Chương 1
Cực trị hàm số
Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày khái niệm về cực trị hàm số.
Điều kiện để có cực trị hàm số, đưa ra một số ví dụ minh họa điều kiện
cần, điều kiện đủ cũng như giới thiệu các phương pháp tìm cực trị kèm
theo các ví dụ và bài tập.
1.1 Kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 1.1. Cho khoảng (a; b) ⊂ R và hàm số f : (a; b) → R.
Ta nói rằng, hàm f đạt cực đại địa phương(tương ứng cực tiểu địa
phương) tại x
0
∈ (a; b) nếu: ∃δ sao cho (x
0
− δ; x
0
+ δ) ⊂ (a; b) và
f(x
0
) ≥ f(x) (tương ứng f(x
0
) ≤ f(x)), với mọi x ∈ (x
0
− δ; x
0
+ δ) và

Chương 1. Cực trị hàm số
các khoảng (a; x
0
) và (x
0
; b).
- Nếu f

(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x
0
thì hàm số
đạt cực tiểu tại điểm x
0
.
- Nếu f

(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x
0
thì hàm số
đạt cực đại tại điểm x
0
.
Định lý 1.3. Giả sử hàm số f (x) xác định trên khoảng (a; b), x
0
là một
điểm dừng của f (x). Hàm f(x) khả vi cấp 1 và cấp 2 tại x
0
. Khi đó:
- Nếu f


i
thì hàm số đạt
cực trị tại x
i
.
Ví dụ 1.1. Tìm cực trị của hàm số:
y =
3

x(1 − x)
2
Lời giải.
Hàm y xác định và liên tục trên R.
Với mọi x = 0 và x = 1
y

=
1 − 3x
3
3

x
2
(1 − x)
2
Chương 1. Cực trị hàm số
y

= 0 ⇔ x =
1

3
, giá trị cực đại của hàm số là y(
1
3
) =
3
√
4
3
.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu của hàm số là y(1) = 0.
Chú ý: Khi qua điểm x = 0 đạo hàm y

không đổi dấu nên hàm số đã
cho không có cực trị tại điểm x = 0.
Ví dụ 1.2. Tìm cực trị của hàm số:
y =


−x
2
+ 2x + 3


Lời giải.
Hàm y xác định trên R.
Ta có
y =



x
y

y
−∞
−1
1 3
+∞
− +
0
− +
+∞+∞
00
44
00
+∞+∞
3
Chương 1. Cực trị hàm số
Từ bảng biến thiên ta suy ra
Giá trị cực đại của hàm số y(1) = 4
Giá trị cực tiểu của hàm số y(−1) = 0; y(3) = 0
Ví dụ 1.3. Tìm cực trị của hai hàm số sau:
f(x) =

xe
−
1
x
với x = 0
0 với x = 0

(x) > 0, ∀x = 0
Mặt khác, do
lim
x→0
−
xe
−
1
x
= −∞
Nên hàm f (x) không liên tục tại x = 0.
Từ đó suy ra hàm f (x) không có cực trị.
Hàm g(x) liên tục với mọi x,vì lim
x→0
e
−
1
x
2
= 0.
Ta thấy với mọi x = 0
g

(x) =
2
x
3
e
−
1

n!
)e
−x
, n ∈ N
∗
.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên R.
Ta có
y

= −
x
n
n!
e
−x
, n ∈ N
∗
• Với n = 2k, k ∈ N
Khi đó
y

= −
x
n
n!
e
−x
< 0, ∀x ∈ R

5
Chương 1. Cực trị hàm số
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R vì lim
x→0
f(x) = 2.
Nhận thấy: f(x) − f(0) = −x
2
(2 + sin
1
x
) < 0, ∀x = 0
Mặt khác
f

(x) = −2x(2 + sin
1
x
) + cos
1
x
Với x
k
=
1
kπ
, k ∈ Z, ta có:
cos
1
x

, (i = 1, 2, 3, ) của phương trình f

(x) = 0;
- Tìm f

(x) và tính f

(x
i
) :
Nếu f

(x
i
) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x
i
.
Nếu f

(x
i
) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x
i
.
Ví dụ 1.6. Tìm cực trị của hàm số:
y = x − sin2x + 2
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên R.
Ta có y


3
2
+ 2 + kπ, k ∈ Z.
• Vì y

(−
π
6
+ kπ) = 4sin(
π
3
+ k2π) < 0
Nên hàm số đạt cực đại tại x = −
π
6
+ kπ và giá trị cực đại của hàm
số là y(−
π
6
+ kπ) = −
π
6
+
√
3
2
+ 2 + kπ, k ∈ Z.
Ví dụ 1.7. Tìm cực trị của hàm số:
y =
e

2
⇒ y

(0) = 1 > 0
Như vậy y

(0) = 0; y

(0) > 0
Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là y(0) = 1
Ví dụ 1.8. Tìm cực trị của hàm số:
y =

x
2
+ x + 1 +

x
2
− x + 1
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên R.
Ta có
y

=
2x + 1
2
√
x


x = 0
√
x
2
− x + 1 +
√
x
2
+ x + 1 = 1
7
Chương 1. Cực trị hàm số
Do

x
2
− x + 1+

x
2
+ x + 1 =

(x +
1
2
)
2
+
3
4

x
2
+x+1
4(x
2
+ x + 1)
+
4
√
x
2
− x + 1 −
(2x−1)
2
√
x
2
−x+1
4(x
2
− x + 1)
Suy ra y

(0) =
3
2
> 0
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và giá trị cực tiểu của hàm số là
y(0) = 2.
Ví dụ 1.9. Cho hàm số y = (x − m)




m = −1
m = 1
m > 0
⇔ m = 1
Vậy m = 1 hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm x = 0.
Ví dụ 1.10. Cho hàm số y = −2x + k
√
x
2
+ 1.
Tìm k để hàm số có cực tiểu.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định và liên tục với mọi x ∈ R.
Ta có
y

= −2 +
kx
√
x
2
+ 1
=
kx − 2
√
x
2


> 0, ∀x ∈ R, nên hàm số đã cho có cực tiểu khi và
chỉ khi phương trình y

= 0 có nghiệm.
y

= 0 ⇔ 2

x
2
+ 1 = kx
⇔

kx ≥ 0
4(x
2
+ 1) = k
2
x
2
⇔

x ≥ 0 (1)
(k
2
− 4)x
2
= 4 (2)
Phương trình y

0
+ δ) ⊂ D, ∀δ > 0 và f không phải là hằng số trong một
lân cận của x
0
thì hàm số đạt cực tiểu tại x
0
.
+ Nếu ta tìm được giá trị x
1
mà f (x) ≤ f(x
1
), ∀x
1
∈ (x
1
−δ, x
1
+δ)
với (x
1
− δ, x
1
+ δ) ⊂ D, ∀δ > 0 và f không phải là hằng số trong một
lân cận của x
1
thì hàm số đạt cực đại tại x
1
.
9
Chương 1. Cực trị hàm số

π
2
+ k2π, k ∈ Z, giá trị cực đại của hàm
số là y = 1.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = k2π, giá trị cực tiểu của hàm số là
y = −1.
Ví dụ 1.12. Xét hàm số:
f(x, y) = (x
2
+ y
2
)e
−(x
2
+y
2
)
Tìm cực trị của hàm số f.
Đây là một hàm số 2 biến, trong phạm vi chương trình phổ thông ta
không sử dụng được hai quy tắc tìm cực trị trong trường hợp này. Ví dụ
này được giải bằng phương pháp bất đẳng thức như sau.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên R.
Ta thấy

f(x; y) ≥ 0, ∀(x; y)
f(0; 0) = 0
Suy ra f (x; y) ≥ f(0; 0), ∀(x; y)
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại một điểm duy nhất khi x = y = 0, và giá
trị cực tiểu của hàm số là f (0; 0) = 0.

+

(

x
3
+ 1 − 1)
2
=




x
3
+ 1 + 1



+




x
3
+ 1 − 1




), với c > 0
Hay F (x) < F (x
0
), x ∈ {0 < |x − x
0
| < δ}
Vậy x
0
cũng là điểm cực đại của hàm F (x).
Tương tự với trường hợp x
1
là điểm cực tiểu.
• Giả sử x
0
là điểm cực đại của hàm F (x), tức là
0 < F (x) < F (x
0
), x ∈ {0 < |x − x
0
| < δ}
Lại có F (x) = cf
2
(x), với c > 0, f(x) > 0, x ∈ {0 < |x − x
0
| < δ}
Từ đó suy ra f(x) < f (x
0
), x ∈ {0 < |x − x
0
| < δ}

+ x + 1 ⇒ F

(x) = 2x + 1
F

(x) = 0 ⇔ x = −
1
2
Lập bảng biến thiên của hàm F (x):
x
F

(x)
F (x)
−∞
−
1
2
+∞
−
0
+
+∞+∞
3
4
3
4
+∞+∞
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm F (x) đạt cực tiểu tại x = −
1

Nên ϕ[f(x)] ≤ ϕ[f(x
0
)], ∀x ∈ D
Như vậy hàm ϕ[f(x)] cũng đạt cực đại tại điểm x
0
Chứng minh tương tự với trường hợp cực tiểu.
Kết luận: hàm f(x) và ϕ[f(x)] có cùng các điểm cực trị.
Ví dụ 1.15. Tìm cực trị của hàm số:
y = 2
x
x
2
+1
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định với mọi x ∈ R.
Vì hàm y = log
2
x là hàm đồng biến với x > 0, nên hàm y = 2
x
x
2
+1
có
cùng các điểm cực trị với hàm f(x) = log
2
2
x
x
2
+1

0
+
0
−
+∞+∞
−
1
2
−
1
2
1
2
1
2
−∞−∞
Từ bảng biến thiên ta thấy, hàm f (x) đạt cực tiểu tại x = −1 và đạt
cực đại tại x = 1.
Do đó hàm y cũng đạt cực tiểu tại x = −1, giá trị cực tiểu của hàm y
là y(−1) =
1
√
2
.
Hàm y đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực đại của hàm y là y(1) =
√
2.
Bài toán 3. Cho hàm số ϕ(x) là hàm liên tục, đồng biến với mọi x ∈ R
và f(X) là hàm số đạt cực tiểu tại X
0

Nên ϕ[f(x)] ≤ ϕ[f(x
0
)], ∀x ∈ D
Như vậy hàm ϕ[f(x)] cũng đạt cực tiểu tại điểm x
0
Chứng minh tương tự với trường hợp cực đại.
Kết luận: hàm f(x) và ϕ[f(x)] có cùng các điểm cực trị.
Ví dụ 1.16. Tìm cực trị của hàm số:
y = sin ln x
Lời giải.
Vì hàm y = sin X là hàm tuần hoàn nên ta chỉ cần xét trong

−
π
2
;
π
2

Nhận thấy: hàm y = sin X đạt cực đại tại X =
π
2
.
Áp dụng kết quả bài toán 3 ta suy ra hàm y = sin ln x đạt cực đại tại
ln x =
π
2
⇔ x = e
π
2

+
x
2
− 2x − 1
x − 1
e
x
2
−5x+6
x−1
y

= 0 ⇔
x
2
− x − 2
x − 1
e
x
2
−5x+6
x−1
= 0
⇔
(x + 1)(x − 2)
x − 1
e
x
2
−5x+6

+∞+∞
Từ bảng biến thiên ta suy ra:
Giá trị cực tiểu của hàm số y(−1) = −2e
−6
, y(2) = 1
Bài tập 1.2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y = |x|e
−|x−1|
b) y = |x|
1
√
2
|1 − x|
1−
1
√
2
c) y =
1
2
(cos x + |cos x|)
Lời giải.
a) Xét các trường hợp:
• Với x < 0, ta có
y =
−x
e
1−x
y


2
.
• Với 0 ≤ x < 1, ta có
y =
x
e
1−x
; y

=
x + 1
e
1−x
15
Chương 1. Cực trị hàm số
Nhận thấy y

> 0, ∀x [0; 1)
Suy ra y ≥ y(0), ∀x [0; 1)
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu của hàm số là
y(0) = 0.
• Với x ≥ 1, ta có
y =
x
e
x−1
y

=
1 − x

)
1
√
2
(
1
√
2
)
1−
1
√
2
c) Giá trị cực tiểu của hàm số là y = 0, tại điểm x =
π
2
.
Giá trị cực đại của hàm số là y = 1, tại điểm x = 0
Bài tập 1.3. Cho f (x) = x
n
+ (a − x)
n
với a > 0 và n ∈ Z, n ≥ 2
Tìm cực trị của hàm f (x).
Lời giải.
Hàm số dã cho xác định với mọi x ∈ R
Ta có
f

(x) = nx

2x = a
a = 0
⇔ x =
a
2
Từ đó suy ra f

(x) = 0 ⇔ x =
a
2
.
Lại có
f

(x) =n(n − 1)

x
n−2
+ (a − x)
n−2

⇒ f

(
a
2
) =n(n − 1)

(
a

a
2
) = 2(
a
2
)
n
.
Bài tập 1.4. Cho m, n là các số tự nhiên. Tìm cực trị của hàm số
y = x
m
(1 − x)
n
Gợi ý:
• Tại x = 0: khi m chẵn, hàm số đạt cực tiểu. Giá trị cực tiểu của hàm
số là: y(0) = 0
Khi m lẻ, hàm số không có cực trị.
• Tại x = 1: khi n chẵn, hàm số đạt cực tiểu. Giá trị cực tiểu của hàm
số là: y(1) = 0
Khi n lẻ, hàm số không có cực trị.
• Tại x =
m
m+n
hàm số đạt cực đại, giá trị cực đại của hàm số là:
y(
m
m + n
) =
m
m

(
√
2 + cos
1
x
) với x = 0
0 với x = 0
Lời giải.
a) Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R, vì lim
x→0
f(x) = 0
Do
f

(x) =
2π
2
x
3
e
−
π
2
x
2
(
√
2 + sin
π
2

Từ đó suy ra giá trị cực tiểu của hàm số là f(0) = 0
b) Chứng minh tương tự phần a), ta có:
Giá trị cực tiểu của hàm g(x) là g(0) = 0.
18
Chương 2
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
2.1 Các khái niệm cơ bản
Trong phần này ta sẽ nêu ra một số khái niệm cơ bản về giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số một biến, hàm số nhiều biến và của
một tập hợp.
2.1.1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Định nghĩa 2.1. Cho hàm số y = f (x) xác định trên D ⊂ R. Khi đó:
• Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f (x) trong miền D nếu
đồng thời xảy ra hai điều kiện:
1) f (x) ≤ M với mọi x ∈ D;
2) Tồn tại x
1
∈ D sao cho f(x
1
) = M.
Ký hiệu: M = max
x∈D
f(x).
• Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) trong miền D
nếu đồng thời xảy ra hai điều kiện:
1) f (x) ≥ m với mọi x ∈ D;
2) Tồn tại x
2
∈ D sao cho f(x
2