suy nghĩ mới
từ một bài toán
quen thuộc
Phan duy nghĩa
Phó Hiệu trởngTrờng tiểu học Sơn Long,
Hơng Sơn, Hà Tĩnh
RONG nhiều cuốn sách tham khảo
toán tiểu học có đề cập đến bài toán
sau: "Cho hình tam giác ABC.
Trên AB, BC lần lợt lấy các điểm D, E sao
cho AB = 3AD; BC = 4BE. Nối A với E, C
với D. AE cắt CD tại M. Tính tỉ số
ME
MA
"
T
Nghiên cứu kĩ bài toán này các bạn sẽ thấy
có nhiều điều thú vị sau:
Thứ nhất, bài toán có nhiều cách giải
Sau đây xin trình bày các cách giải đó:
Cách 1.
Nối B với M. Vì AB = 3AD nên AD =
2
1
BD.
Hai tam giác ACD và DCB có đáy AD và DB,
chung chiều cao hạ từ C tới AB nên S
ACD
=
2
1

BI =
2
1
x
3
4
EK =
3
2
EK.
Hai tam giác MAC và MEC có chung cạnh
đáy MC, từ tỉ số các chiều cao AH =
3
2
EK
suy ra S
MAC
=
3
2
S
MEC
. Hai tam giác này có
chung chiều cao hạ từ C tới AE nên đáy
MA =
3
2
ME. Vậy
ME
MA

giác ACD và BCD có chung đáy CD nên
chiều cao hạ từ A xuống CD bằng
2
1
chiều
cao hạ từ B xuống CD. Hai tam giác BMC
và AMC có chung cạnh MC và có chiều cao
gấp đôi nhau, suy ra: S
AMC
=
2
1
S
BMC
. Mặt
khác, hai tam giác ACM và MCE có chung
chiều cao hạ từ C xuống AE, suy ra:
MA S
AMC
S
AMC
x S
BMC
ME S
MEC
S
MEC
x S
BMC


ADM
x 3 (1). Vì
chúng chung chiều cao hạ từ M xuống AB và
có AB = 3AD.
S
ACM
= S
ABM
x 3 (2). Vì chung đáy AM và
có chiều cao gấp 3 lần nhau. Từ (1) và (2), ta
có: S
ACM
= S
ADM
x 9. Coi S
ADM
là 1 phần thì
S
ACD
là 10 phần. Hay: S
ACD
= S
ADM
x 10.
Mà: S
ACD
=
3
1
S

x 18 và S
BME
= S
BCM
: 4 = S
ADM
x 18
: 4 = S
ADM
x 4,5.
S
ABM
MA S
ADM
x 3 2
S
BME
ME S
ADM
x 4,5 3
Vậy:
ME
MA
=
3
2
.
Cách 4.
Nối B với M. Lập luận nh cách 3, ta có: S
ABM

2
.
Cách 5.
Nối B với M. Lập luận nh cách 3, ta có:
S
ABC
= 30 (phần). S
ACM
= 9 (phần).
S
AEC
=
4
3
S
ABC
=
2
45
(phần).
Suy ra: S
CME
=
2
45
- 9 =
2
27
(phần).
Hai tam giác CMA và CME có chung

AEB
(2). Hai tam giác AEB và ABC có BE
=
4
1
BC và có chung chiều cao hạ từ A tới
BC nên S
ABE
=
4
1
S
ABC
(3). Từ đây ta có:
S
ABE
=
3
1
S
AEC
(4). Từ (2) và (3), ta có:
S
AED
=
12
1
S
ABC
(5). Từ (2) và (4), ta có:

=
30
1
S
ABC
(6). Từ (5) và (6), ta có: S
AMD
=
30
12
S
AED
=
5
2
S
AED
. Hai tam giác này có chung
chiều cao DP, suy ra tỉ số hai cạnh đáy là MA
=
5
2
AE. Vậy:
ME
MA
=
3
2
.
Cách 7.

S
DBC
=
4
3
x
3
2
S
CAB
=
2
1
S
CAB
(3). Mặt
khác, ta có: Hai tam giác CAD và CAB có
chung chiều cao hạ từ C xuống AB và có AD
=
3
1
AB, nên suy ra: S
CAD
=
3
1
S
CAB
(4). Từ
(3) và (4), ta có: S

2
3
. Hay:
ME
MA
=
3
2
.
Cách 8.
Nối E với D. Lập luận nh cách 6, ta có:
S
AEC
=
4
3
S
ABC
(1). S
ACM
=
30
9
S
ABC
(2).
Từ (1) và (2), ta có: S
AEC
=
4

=
4
3
S
ABC
(1).
S
DEC
=
4
3
S
BCD
=
4
3
x
3
2
S
CAB
=
2
1
S
CAB
(2). Từ (1) và (2), ta có: S
AEC
=
2

x S
EDC
=
2
3
x
9
10
=
3
5
. Vậy:
ME
MA
=
3
2
.
Cách 10.
Nối E với D. Lập luận nh cách 6, ta có: S
AEC
=
4
3
S
ABC
. S
ACD
=
3

CAM
S
CAM
x S
ACD
=
4
9
x
9
10
=
2
5
. Vậy:
ME
MA
=
3
2
.
Cách 11.
Nối E với D. Lập luận nh cách 6, ta có: S
AMD
=
9
1
S
ACM
. Suy ra: S

AMD
x S
CAD
AE S
EAD
S
EAD
x S
CAD
=
10
1
x 4 =
5
2
. Vậy:
ME
MA
=
3
2
.
Cách 12.
Nối E với D. Lập luận nh cách 6, ta có:
S
EDM
=
9
1
S

EDM
S
EDM
x S
DEC

AE S
DAE
S
DAE
x S
DEC
=
10
1
x 6 =
5
3
. Vậy:
ME
MA
=
3
2
.
Cách 13 .
Kẻ ER song song với DC. Nối R với C, nối
E với D. Hai tam giác RCE và RDE có
chung cạnh đáy RE, các chiều cao hạ từ D
và C bằng nhau (do RE song song với DC)

và chung chiều cao hạ từ E tới AB, suy ra
BR =
4
1
BD. Mặt khác: AB = 3AD nên nếu
chia AB ra 6 phần bằng nhau thì AD là 2
phần và BD là 4 phần. Vậy BR là 1 phần và
RD là 3 phần, AR là 5 phần. Hai tam giác
MAD và MAR có chung chiều cao hạ từ M
tới AR và có AD =
5
2
AR nên S
MDA
=
5
2
S
MAR
. Nối R với M, do DM song song với
RE nên S
MDR
= S
DME
. Suy ra: S
MAR
= S
ADE
.
Vậy: S

EAB có chung chiều cao hạ từ E xuống AB
và có AD =
3
1
AB, nên suy ra:
S
EAD
=
3
1
S
EAB
=
2
5
(phần).
Vậy: S
DME
=
2
5
- 1 =
2
3
(phần). Hai tam
giác DAM và DME có chung chiều cao hạ từ
D xuống AE nên ta suy ra tỉ số hai cạnh đáy
là:
ME
MA

MOC
MC MC
= 1 +
MC
AM
= 1 +
n
1
.
Hai tam giác BNC và ANC có chung chiều
cao hạ từ C xuống AB và có
AN
BN
= m nên
suy ra : S
BNC
= m x S
ANC
. Hai tam giác
BNC và ANC có chung đáy NC nên từ tỉ số
diện tích trên suy ra chiều cao hạ từ B tới
NC bằng m lần chiều cao hạ từ A tới NC.
Hai tam giác BOC và AOC có chung cạnh
OC và có tỉ số chiều cao bằng m nên suy ra:
S
BOC
= m x S
AOC
. Hai tam giác BOC và
MOC có chung chiều cao hạ từ C xuống

ờng hợp của bài toán tổng quát khi m =
2
1
và n = 3.
- Đặc biệt nếu m = n = 1 thì
OM
OB
= 2.
Đây là một trong những tính chất của ba đ-
ờng trung tuyến trong tam giác.
Thứ ba, qua bài toán tổng quát trên ta
thấy đợc mối quan hệ giữa các tỉ số
AN
BN
,