H PHNG TRèNH I XNG LOI (KIU) II
1. Dng 1:
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
f(x, y) = 0
f(y, x) = 0
(i v trớ x v y cho nhau thỡ phng trỡnh ny tr thnh phng trỡnh kia)
Phng phỏp gii chung
Cỏch gii 1
Tr hai phng trỡnh cho nhau, a v phng trỡnh tớch, gii x theo y (hay ngc li) ri th vo mt trong hai
phng trỡnh ca h.
Vớ d 1. Gii h phng trỡnh
3
3
x 2x y (1)
y 2y x (2)
ỡ
ù
+ =
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù

Vy h phng trỡnh cú nghim duy nht
x 0
y 0
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
.
Vớ d 2. Gii h phng trỡnh
2x 3 4 y 4 (1)
2y 3 4 x 4 (2)
ỡ
ù
+ + - =
ù
ù
ớ
ù
+ + - =
ù
ù
ợ
Gii
iu kin:
3

(x y) 0 x y
2x 3 2y 3 4 y 4 x
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
- + = =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+ + + - + -
.
Thay x = y vo (1), ta c:
2x 3 4 x 4 x 7 2 (2x 3)(4 x) 16+ + - = + + + - =

2
2
9 x 0
11
2 2x 5x 12 9 x x 3 x
9x 38x 33 0
9
ỡ
-
ù
ù
- + + = - = =

=
ù
ù
ợ
.
Cỏch gii 2 (nờn dựng khi cỏch 1 khụng gii c)
Cng v tr ln lt hai phng trỡnh a v h phng trỡnh mi tng ng gm hai phng trỡnh tớch (thụng
thng tng ng vi 4 h phng trỡnh mi).
Vớ d 3. Gii h phng trỡnh
3
3
x 2x y (1)
y 2y x (2)
ỡ
ù
= +
ù
ù
ớ
ù
= +
ù
ù
ợ
Gii
Tr v cng (1) vi (2), ta c:
3 2 2
3 2 2
x 2x y (x y)(x xy y 1) 0
y 2y x (x y)(x xy y 3) 0

ù ù
ù ù

ớ ớ ớ ớ
ù ù ù ù
+ =
- + = + + =
- + =
ù ù ù ù
ợ
ợ ợ
ù
ợ
+
x y 0 x 0
x y 0 x 0
ỡ ỡ
- = =
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
+ = =
ù ù
ợ ợ
+
2 2 2
x y 0 y x
x 3 x 3

= - =
ù ù
ù ù
ù ù

ớ ớ ớ ớ
ù ù ù ù
= = -
+ + = =
ù ù ù ù
ợ ợ
ợ ợ
+
2 2
2 2
2 2
xy 1
x xy y 1 xy 1 x 1 x 1
x y 0 y 1 y 1
x y 2
x xy y 3
ỡ
ỡ
ỡ ỡ ỡ
ù
= -
ù
+ + = = - = = -
ù ù ù
ù

ợ ợ ợ
ù ù
ợ ợ
.
Cỏch 3. S dng hm s n iu suy ra x = y
Vớ d 4. Gii h phng trỡnh
2x 3 4 y 4 (1)
2y 3 4 x 4 (2)
ỡ
ù
+ + - =
ù
ù
ớ
ù
+ + - =
ù
ù
ợ
Gii
iu kin:
3
x 4
2
3
x 4
2
ỡ
ù
ù

2t 3 2 4 t
ổ ử
ữ
ỗ
= + > " ẻ -
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
+ -
(3) f(x) f(y) x yị = =
.
Thay x = y vo (1), ta c:

2x 3 4 x 4 x 7 2 (2x 3)(4 x) 16+ + - = + + + - =

2
11
2 2x 5x 12 9 x x 3 x
9
- + + = - = =
(nhn).
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt
11
x
x 3
9
y 3 11

+ =
ï
ï
í
ï
+ =
ï
ï
î
.
Giải
Xét hàm số
3 / 2
f(t) t 2t f (t) 3t 2 0, t= + Þ = + > " Î ¡
.
Hệ phương trình trở thành
f(x) y (1)
f(y) x (2)
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
î
.
+ Nếu
x y f(x) f(y) y x> Þ > Þ >

y
y 2
3y
x
ì
ï
+
ï
=
ï
ï
ï
í
ï
+
ï
ï
=
ï
ï
î
Giải
Nhận xét từ hệ phương trình ta có
x 0
y 0
ì
>
ï
ï
í

ï ï
Û
í í
ï ï
= +
+
ï ï
ï
î
ï
=
ï
ï
î
Trừ (1) và (2) ta được:
(x y)(3xy x y) 0 x y (3xy x y 0).- + + = Û = + + >
Với
3 2
x y : (1) 3x x 2 0= Û - - =
2
(x 1)(3x 2x 2) 0 x 1.Û - + + = Û =
Vậy hệ có 1 nghiệm
x 1
y 1
ì
=
ï
ï
í
ï

í
ï
ï
- - =
ï
ï
î
.
Giải
Điều kiện:
x 0, y 0¹ ¹
. Ta có:

1 1
(1) (x y) 1 0 y x y .
xy x
æ ö
÷
ç
Û - + = Û = Ú = -
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
+ Với y = x:
2
(2) x 1 0 x 1Û - = Û = ±
.

ï
ï
í
ï
- - =
ï
î
.
Giải
Tách biến phương trình (1), ta được:
(1) x cosx y cosyÛ - = -
(3).
Xét hàm số
/
f(t) t cost f (t) 1 sint 0, t= - Þ = + > " Î ¡
.
Suy ra
(3) f(x) f(y) x yÛ = Û =
.
Thay x = y vào (2), ta được:
3 2
x 3x 18 0 (x 3)(x 3x 6) 0 x 3.- - = Û - + + = Û =
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
x 3
y 3
ì
=
ï
ï
í

/
2
1 1
f(t) t , t \ {0} f (t) 1 0, t \ {0}
t
t
= - Î Þ = + > " Ρ ¡
.
Suy ra
(1) f(x) f(y) x yÛ = Û =
!
Sai do hàm số f(t) đơn điệu trên 2 khoảng rời nhau (cụ thể f(–1) = f(1) = 0).
BÀI TẬP
Gii cỏc h phng trỡnh sau
1)
2
2
x 3y 2 0
y 3x 2 0
ỡ
ù
- + =
ù
ù
ớ
ù
- + =
ù
ù
ợ

. ỏp s:
3
x
x 0
2
y 0 3
y
2
ỡ
ù
ù
=
ỡ
ù
=
ù
ù
ù

ớ ớ
ù ù
=
ù ù
ợ
=
ù
ù
ợ
.
3)

ù
+ + - =
ù
ù
ớ
ù
+ + - =
ù
ù
ợ
. ỏp s:
x 3
y 3
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
.
5)
x 3 2 y 3
y 3 2 x 3
ỡ
ù
+ + - =
ù

ù
ớ
ù
= +
ù
ù
ợ
. ỏp s:
x 0 x 3 x 3
y 0
y 3 y 3
ỡ ỡ
ỡ
ù ù
= = = -
ù
ù ù
ù ù ù

ớ ớ ớ
ù ù ù
=
= = -
ù ù ù
ợ
ù ù
ợ ợ
.
7)
2

ù
=
ù
ợ
. 8)
2
2
1
2x y
y
1
2y x
x
ỡ
ù
ù
= +
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
= +
ù
ù
ù
ợ
. ỏp s:
x 1

ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
.
10)
3 2
3 2
x x x 1 2y
y y y 1 2x
ỡ
ù
- + + =
ù
ù
ớ
ù
- + + =
ù
ù
ợ
. ỏp s:
x 1 x 1
y 1 y 1
ỡ ỡ

Hng dn gii
iu kin:
x 0, y 0.ạ ạ

x y 1 1
(1) x y 0 (x y) 1 0 x y y .
xy xy x
ổ ử
-
ữ
ỗ
- + = - + = = = -
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
+ Vi
x y=
: (2)
1 5
x 1 x .
2
-
= =
+ Vi
4
1
y : (2) x x 2 0.

x x 2 0ị + + =
vụ nghim.
Cỏch khỏc: