ThS. on Vng Nguyờn
CHUYấN
H PHNG TRèNH I XNG LOI (KIU) I
TểM TT GIO KHOA V PHNG PHP GII TON
I. H i xng loi (kiu) I cú dng tng quỏt:
f(x, y) = 0
g(x, y) = 0
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
, trong ú
f(x, y) = f(y, x)
g(x, y) = g(y, x)
ỡ
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
Phng phỏp gii chung:
i) Bc 1: t iu kin (nu cú).
ii) Bc 2: t S = x + y, P = xy vi iu kin ca S, P v
2
S 4P
.
iii) Bc 3: Thay x, y bi S, P vo h phng trỡnh. Gii h tỡm S, P ri dựng Viet o tỡm x, y.

GII
t
S x y, P xy= + =
, iu kin
2
S 4P
. H phng trỡnh tr thnh:
2
2
30
P
SP 30
S
90
S(S 3P) 35
S S 35
S
ỡ
ù
ù
=
ỡ
ù
=
ù
ù
ù ù

ớ ớ
ổ ử

Vớ d 2. Gii h phng trỡnh
3 3
xy(x y) 2
x y 2
ỡ
- = -
ù
ù
ớ
ù
- =
ù
ợ
.
GII
t
t y, S x t, P xt= - = + =
, iu kin
2
S 4P.
H phng trỡnh tr thnh:
3 3 3
xt(x t) 2 SP 2
x t 2 S 3SP 2
ỡ ỡ
+ = =
ù ù
ù ù

ớ ớ

ù
ù
ù
ớ
ù
ù
+ + + =
ù
ù
ù
ợ
.
GII
Trang
1
ThS. on Vng Nguyờn
iu kin
x 0,y 0ạ ạ
.
H phng trỡnh tng ng vi:
2 2
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 8
x y
ỡ ổ ử ổ ử
ù
ữ ữ

2
1 1 1 1
S x y ,P x y ,S 4P
x y x y
ổ ử ổ ử ổ ửổ ử
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
= + + + = + +
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứố ứ
ta cú:
2
1 1
x y 4
S 4
S 4
x y
P 4 1 1
S 2P 8
x y 4
x y
ỡ ổ ử ổ ử
ù
ữ ữ
ỗ ỗ
ù

ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ù
ố ứố ứ
ù
ợ
1
x 2
x 1
x
1
y 1
y 2
y
ỡ
ù
ù
+ =
ỡ
ù
=
ù
ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
=
ù ù

xy t=
v
(2) x y 16 2tị + = -
.
Th vo (1), ta c:
2
t 32t 128 8 t t 4- + = - =
Suy ra:
xy 16 x 4
x y 8 y 4
ỡ ỡ
= =
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
+ = =
ù ù
ợ ợ
.
II. iu kin tham s h i xng loi (kiu) I cú nghim
Phng phỏp gii chung:
i) Bc 1: t iu kin (nu cú).
ii) Bc 2: t S = x + y, P = xy vi iu kin ca S, P v
2
S 4P
(*).
iii) Bc 3: Thay x, y bi S, P vo h phng trỡnh. Gii h tỡm S, P theo m ri t iu kin (*) tỡm m.
Chỳ ý:

ï ï
Û
í í
ï ï
+ = - + = -
ï ï
ï ï
î î
Đặt
S x y 0,P xy 0= + ³ = ³
,
2
S 4P.³
Hệ phương trình trở thành:
2
S 1
S 1
P m
S 3SP 1 3m
ì
ì
=
=
ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
=
- = -

(x y) xy m
xy(x y) 3m 9
x y xy 3m 9
ì
ì
+ + =
+ + =
ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ = -
+ = -
ï ï
î
î
.
Đặt S = x + y, P = xy,
2
S 4P.³
Hệ phương trình trở thành:
S P m
SP 3m 9
ì
+ =
ï
ï
í
ï

ê
Û Û £ Ú ³ +
ê
- ³
ê
ë
.
Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
x 4 y 1 4
x y 3m
ì
ï
- + - =
ï
í
ï
+ =
ï
î
có nghiệm.
GIẢI
Đặt
u x 4 0,v y 1 0= - ³ = - ³
hệ trở thành:
2 2
u v 4
u v 4
21 3m
u v 3m 5
uv

Û
(*) có 2 nghiệm không âm

/
3m 13
0
0
13
2
S 0 m 7
21 3m
3
0
P 0
2
ì
ì
-
ï
ï
D ³
ï
ï
³
ï
ï
ï
ï
Û ³ Û Û £ £
í í

(x 4x) (y 4y) 10
x y 4x 4y 10
xy(x 4)(y 4) m (x 4x)(y 4y) m
ìì
ï + + + =
ï + + + =
ï ï
Û
í í
ï ï
+ + = + + =
ï ï
î î
.
Đặt
2 2
u (x 2) 0,v (y 2) 0= + ³ = + ³
. Hệ phương trình trở thành:
u v 10 S 10
uv 4(u v) m 16 P m 24
ì ì
+ = =
ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
- + = - = +
ï ï
î î

ï
í
ï
+ + =
ï
î
. Đáp số:
x 1 x 2
y 2 y 1
ì ì
= =
ï ï
ï ï
Ú
í í
ï ï
= =
ï ï
î î
.
2.
2 2
x xy y 3
2x xy 2y 3
ì
ï + + =
ï
í
ï
+ + = -

ï
í
ï
+ =
ï
î
. Đáp số:
x 2 x 0
y 0 y 2
ì ì
= =
ï ï
ï ï
Ú
í í
ï ï
= =
ï ï
î î
.
4.
3 3
x y 7
xy(x y) 2
ì
ï - =
ï
í
ï
- =

1 37 1 37
x x
x 2 x 1
4 4
y 1 y 2
1 37 1 37
y y
4 4
ì ì
ï ï
- +
ï ï
= =
ï ï
ì ì
= = -
ï ï
ï ï
ï ï ï ï
Ú Ú Ú
í í í í
ï ï ï ï
= = -
- - - +
ï ï ï ï
î î
= =
ï ï
ï ï
ï ï

2 2
7 3 5 7 3 5
y y
y 1 y 1
2 2
ì ì ì ì
= - = -
ï ï ï ï
- +
ï ï ï ï
= =
ï ï ï ï
ï ï ï ï
Ú Ú Ú
í í í í
- +
ï ï ï ï
= =
ï ï ï ï
= - = -
ï ï ï ï
ï ï ï ï
î î î î
.
Trang
4
ThS. on Vng Nguyờn
7.
x y y x 30
x x y y 35

x xy y xy 78
ỡ
ù
ù
+ = +
ù
ù
ớ
ù
ù
+ =
ù
ù
ợ
(chỳ ý iu kin x, y > 0). ỏp s:
x 4 x 9
y 9 y 4
ỡ ỡ
= =
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
= =
ù ù
ợ ợ
.
9.
( )

.
10. Cho x, y, z l nghim ca h phng trỡnh
2 2 2
x y z 8
xy yz zx 4
ỡ
ù + + =
ù
ớ
ù
+ + =
ù
ợ
. Chng minh
8 8
x,y,z
3 3
- Ê Ê
.
HNG DN GII
H phng trỡnh
2 2 2 2 2
x y 8 z (x y) 2xy 8 z
xy z(x y) 4 xy z(x y) 4
ỡ ỡ
ù + = - ù + - = -
ù ù

ớ ớ
ù ù

ỡ ỡ
+ = - + = - -
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
= - = +
ù ù
ợ ợ
.
Do x, y, z l nghim ca h nờn:
2 2
2
2 2
(4 z) 4(z 2)
8 8
(x y) 4xy z
( 4 z) 4(z 2)
3 3
ộ
- -
ờ
+ - Ê Ê
ờ
- - +
ờ
ở
.
i vai trũ x, y, z ta c

ù
ợ
. ỏp s:
1
x
2
1
y
2
ỡ
ù
ù
=
ù
ù
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ợ
.
12.
sin (x y)
2 2
2 1
2(x y ) 1
p +
ỡ

2
1 2 2
x x
1
2 2 2
(2) x y 2 x y 2
1
2
2 2
y
y
2
2 2
ỡ
ỡ
ù
ù
ù
ù
Ê - Ê Ê
ù
ù
ù
ù
ù
+ = ị ị ị - Ê + Ê
ớ ớ
ù ù
ù ù
Ê